जैक फ़ंक्शन

गणित में, जैक फलन जैक बहुपद का एक सामान्यीकरण है, जिसे हेनरी जैक ने प्रस्तुत किया था। जैक बहुपद एक सजातीय बहुपद, सममित बहुपद बहुपद है जो शूर बहुपद और आंचलिक बहुपद का सामान्यीकरण करता है, और इसके स्थान पर हेकमैन-ऑप्डम बहुपद और मैकडोनाल्ड बहुपद द्वारा सामान्यीकृत होता है।

परिभाषा

जैक फलन$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$ एक पूर्णांक विभाजन का $\kappa$, पैरामीटर $\alpha$, और तर्क $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$ पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है

इस प्रकार है:

एम = 1 के लिए

$J_{k}^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )$

एम> 1 के लिए

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },$

जहां योग सभी विभाजनों पर है $\mu$ ऐसा कि तिरछा विभाजन $\kappa /\mu$ एक क्षैतिज पट्टी है, अर्थात्

$\kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}$ ($\mu _{n}$ शून्य या अन्यथा होना चाहिए $J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0$) और

$\beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},$

कहाँ $B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)$ के बराबर होती है $\kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)$ अगर $\kappa _{j}'=\mu _{j}'$ और ${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_j^{\prime }-<!--\; -\; -->i+1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}({\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_i$