लेबेस्ग माप

माप सिद्धांत में, गणित की शाखा, फ्रांस के गणितज्ञ हेनरी लेबेस्ग के नाम पर लेबेस्ग माप, n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उपसमुच्चय के लिए माप निर्दिष्ट करने की मानक विधि है। n = 1, 2, या 3 के लिए, यह लंबाई, क्षेत्रफल, या आयतन के मानक माप के साथ मेल खाता है। सामान्यतः, इसे n-आयामी आयतन, n-आयतन, या केवल आयतन भी कहा जाता है। इसका उपयोग पूरे वास्तविक विश्लेषण, विशेष रूप से लेबेस्ग एकीकरण को परिभाषित करने में किया जाता है। ऐसे समुच्चय जिन्हें लेबेस्ग माप निर्दिष्ट किया जा सकता है, लेबेस्ग-मापने योग्य कहलाते हैं; लेबेस्ग-मापने योग्य समुच्चय A का माप यहाँ λ(A) द्वारा दर्शाया गया है।

हेनरी लेबेस्ग ने इस माप का वर्णन वर्ष 1901 में किया, उसके बाद अगले वर्ष लेबेस्ग इंटीग्रल के अपने विवरण के द्वारा वर्णन किया गया। दोनों को 1902 में उनके शोध प्रबंध के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।

परिभाषा

किसी भी अंतराल के लिए (गणित) $I=[a,b]$, या $I=(a,b)$, समुच्चय $\mathbb {R}$ की वास्तविक संख्याओं में, माना $\ell (I)=b-a$ इसकी लंबाई को निरूपित करें। किसी उपसमुच्चय के लिए $E\subseteq \mathbb {R}$, लेबेस्ग की बाहरी माप $\lambda ^{\!*\!}(E)$ को इन्फिनमम के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.$

उपरोक्त परिभाषा को निम्नानुसार उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। किसी भी आयताकार घनाभ के लिए $C$ जो खुले अंतराल $C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}$ का, माना गुणा है, माना$\operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})$ इसकी मात्रा को निरूपित करता है। किसी उपसमुच्चय $E\subseteq \mathbb {R^{n}}$ के लिए,

$\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.$

कुछ समुच्चय $E$ कैराथियोडोरी कसौटी पर खरे उतरते हैं, जो प्रत्येक $A\subseteq \mathbb {R}$ के लिए यह आवश्यक है:

$\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).$

ऐसे सभी $E$ का समुच्चय σ-बीजगणित बनाता है। ऐसे किसी भी $E$ के लिए , इसके लेबेस्ग माप को इसके लेबेस्ग बाहरी माप के रूप में परिभाषित किया गया है: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$.

समुच्चय $E$ जो कैराथियोडोरी कसौटी पर खरा नहीं उतरता है वह लेबेस्ग-मापने योग्य नहीं है। जेडएफसी सिद्ध करता है कि गैर-मापने योग्य समुच्चय उपस्थित हैं; उदाहरण विटाली समुच्चय है।

अंतर्ज्ञान

परिभाषा के पहले भाग में कहा गया है कि उपसमुच्चय $E$ खुले अंतराल के समुच्चय द्वारा कवरेज द्वारा वास्तविक संख्याओं को इसके बाहरी माप में घटा दिया जाता है। अंतराल के इन समुच्चयों में से प्रत्येक अर्थ में $I$, $E$ को कवर करता है, चूंकि इन अंतरालों के मिलन में $E$ सम्मिलित होता है। किसी भी कवरिंग अंतराल समुच्चय की कुल लंबाई के माप को $E$ अधिक अनुमानित कर सकती है, क्योंकि $E$ अंतरालों के मिलन का उपसमुच्चय है, और इसलिए अंतरालों में वे बिंदु सम्मिलित हो सकते हैं जो $E$ के अंदर नहीं हैं। लेबेस्ग बाहरी माप निम्नतम और उच्चतम के रूप में उभर कर आता है। ऐसे सभी संभावित समुच्चयों में से लंबाई की सबसे निचली सीमा (इन्फिनिमम) सहज रूप से, यह उन अंतराल समुच्चयों की कुल लंबाई है जो $E$ को सबसे अधिक कसकर फिट करते हैं और ओवरलैप नहीं करते हैं।

यह लेबेस्ग बाहरी माप की विशेषता है। क्या यह बाहरी माप लेबेस्ग माप में उचित अनुवाद करता है, यह एक अतिरिक्त नियम पर निर्भर करता है। $A$ उपसमुच्चय लेकर इस स्थिति का परीक्षण किया जाता है, वास्तविक संख्याओं $E$ का उपयोग करके $A$ को दो भागों में विभाजित करने के साधन के रूप: $A$ का हिस्सा जो ${\displaystyle }$