इकाई वेक्टर: Difference between revisions

Latest revision as of 10:38, 15 March 2023

गणित में, सामान्यतया सदिश समतल क्षेत्र में एकल सदिश की लंबाई 1 होती है। एकल सदिश को प्रायः लोअरकेस अक्षर के द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें गोलाकार या हैट होता है। जैसा कि

उच्चारण ${\hat {\mathbf {v} }}$ -हैट के रूप में दर्शाया जाता है।

शब्द दिशा सदिश , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली एकल सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से एकल वृत्त पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ एकल क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।

एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में एकल सदिश के रूप में होता है जैसे ,

\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}

जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।^[1]^[2] सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी एकल सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

एकल सदिश को अधिकांशतः सदिश समतल के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है और समतल में प्रत्येक सदिश को एकल सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

एकल सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक एकल सदिश के रूप में होते है

\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल एकल सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे, i का उपयोग करके निरूपित किया जाता है ${\vec {\imath }}$ मानक एकल सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$ के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$ एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ , $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$ , या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$ , के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,^[1]विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।

जब समतल में एक एकल सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ एकल सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के अभिविन्यास कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन ऑर्थोगोनल एकल सदिश के रूप में होती है

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (भी नामित $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ ), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु समरूपता अक्ष के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
$\mathbf {\hat {z}}$ , समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$ , ${\hat {y}}$ , ${\hat {z}}$ द्वारा दर्शायी गई है,

{\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .

सदिश ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य के रूप में होते है $\varphi ,$ और दिशा में स्थिर नहीं होते है। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय इन एकल सदिश को भी संचालित किया जाता है। डेरिवेटिव के संबंध में $\varphi$ के रूप में होते है

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त एकल सदिश $\mathbf {\hat {r}}$ के रूप में होती है, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई समतल वामावर्त में कोण बढ़ता रहता है और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ता है। प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए ध्रुवीय कोण $\theta$ को सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। गोलाकार निर्देशांक में लिखे गए किसी भी क्रमबद्ध ट्रिपलेट के संदर्भ को विशेष रूप से ध्यान देना महत्वपूर्ण होता है, तथा भूमिकाओं के रूप में ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ अधिकांशतः उलट होते हैं। यहाँ, अमेरिकन भौतिकी कन्वेंशन^[3] का प्रयोग किया जाता है। अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है $\varphi$ बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध के रूप में होती है

\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}

गोलाकार एकल सदिश दोनों पर निर्भर करते हैं $\varphi$ और $\theta$ और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है। अधिक पूर्ण विवरण के लिए, जैकबियन आव्यूह और निर्धारक को देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है।

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}

सामान्य एकल वैक्टर

एकल सदिश के सामान्य विषय पूरे भौतिकी और ज्यामिति में पाए जाते हैं^[4]

एकल सदिश	नामपद्धति	आरेख
वक्र/फ्लक्स रेखा के लिए टेंगेंट सदिश के रूप में होते है	$\mathbf {\hat {t}}$	एक सामान्य सदिश $\mathbf {\hat {n}}$ रेडियल स्थिति सदिश द्वारा युक्त और परिभाषित समतल के लिए $r\mathbf {\hat {r}}$ और रोटेशन की कोणीय स्पर्शरेखा दिशा $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ आवश्यक है जिससे की कोणीय गति के सदिश समीकरण बने रहें।.
रेडियल स्थिति घटक और कोणीय स्पर्शरेखा घटक युक्त सतह स्पर्शरेखा समतल के लिए सामान्य रूप में होते है	$\mathbf {\hat {n}}$ In terms of polar coordinates; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
स्पर्शरेखा और सामान्य के लिए बिननॉर्मल सदिश के रूप में होते है	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$ ^[5]
किसी अक्ष/रेखा के समानांतर होता है	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	एक एकल सदिश $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ एक प्रमुख दिशा लाल रेखा और एक लंबवत एकल वेक्टर के समानांतर संरेखित होते है $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ प्रिंसिपल लाइन के सापेक्ष किसी भी रेडियल दिशा में होते है।
कुछ रेडियल दिशा में कुछ अक्ष/रेखा के लंबवत रूप में होते है	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
कुछ अक्ष/रेखा के सापेक्ष संभावित कोणीय विचलन के रूप में होते है	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	एक मुख्य दिशा के सापेक्ष 0 या π/2 रेड सहित तीव्र विचलन कोण φ पर एकल सदिश के रूप में होते है।

वक्रता निर्देशांक

सामान्यतः, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्र एकल सदिश $\mathbf {\hat {e}} _{n}$ का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है^[1] वास्तविक संख्या समतल की स्वतंत्र डिग्री के बराबर होती है। साधारणतया 3समतल के लिए, इन सदिश $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ को निरूपित किया जाता है। यह अधिकांशतः सुविधाजनक रूप में होता है प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल और दाहिने हाथ का नियम होना चाहिए।

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}

जहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा, जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा और $\varepsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक के रूप में होता है, जो कि आईजेके के रूप में क्रमबद्ध क्रम के लिए 1 है और केजेआई के रूप में क्रमबद्ध क्रमपरिवर्तन के लिए −1 के रूप में होता है।

राइट वर्सोर

एक एकल सदिश मे $\mathbb {R} ^{3}$ को डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$ को विकसित किया था। वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में $q=s+v$ एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v के रूप में होते है। यदि V एक एकल सदिश $\mathbb {R} ^{3}$ है, फिर v का वर्ग चतुर्भुज -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ 3-गोलाकार का एक वर्सोर है। जब θ एक समकोण है, तो वर्सोर एक समकोण संस्करण है इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक एकल सदिश $\mathbb {R} ^{3}$ के रूप में होता है।

यह भी देखें

कार्टेशियन निर्देशांक विधि
निर्देशांक विधि
वक्रीय निर्देशांक
चार-वेग
जैकबियन आव्यूह और निर्धारक
सामान्य सदिश
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
मानक आधार
एकल अंतराल
एकल वर्ग,एकल क्यूब , एकल वृत्त, एकल गोला और एकल हाइपरबोला के रूप में होता है
सदिश संकेतन
सदिश के बारे में
एकल आव्यूह

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "इकाई वेक्टर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-19.
↑ "Unit Vectors | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (in English). Retrieved 2020-08-19.
↑ Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
↑ F. Ayres; E. Mendelson (2009). कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला) (5th ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
↑ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

संदर्भ

G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "इकाई वेक्टर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-19.

[2] "Unit Vectors | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (in English). Retrieved 2020-08-19.

[3] Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).

[4] F. Ayres; E. Mendelson (2009). कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला) (5th ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.

[5] M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

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 {{short description|Vector of length one}}
-{{distinguish|सदिश एक आधार है}}
-गणित में, सामान्यतया सदिश समष्टि में इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है। इकाई [[सदिश]] को प्रायः लोअरकेस अक्षर द्वारा सरकमफ्लेक्स या "हैट" के रूप में दर्शाया जाता है, जैसा कि
+गणित में, सामान्यतया सदिश समतल क्षेत्र में एकल सदिश की लंबाई 1 होती है। एकल [[सदिश]] को प्रायः लोअरकेस अक्षर के द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें गोलाकार या हैट होता है। जैसा कि
 उच्चारण <math>\hat{\mathbf{v}}</math>-हैट के रूप में दर्शाया जाता है।
-शब्द '' दिशा सदिश '', जिसे सामान्यतः  डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग [[स्थानिक दिशा]] और [[सापेक्ष दिशा]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई सदिश  का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से [[इकाई वृत्त]] पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।
+शब्द ''दिशा सदिश '', जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग [[स्थानिक दिशा]] और [[सापेक्ष दिशा]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली एकल सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से [[इकाई वृत्त|एकल वृत्त]] पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ एकल क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।
-एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में यूनिट सदिश के रूप में होता है जैसे ,
+एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में एकल सदिश के रूप में होता है जैसे ,
 :<math alt="u-hat equals the vector u divided by its length">\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}</math>
-जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी -कभी यूनिट सदिश के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।
+जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी एकल सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।
-यूनिट वैक्टर को अधिकांशतः  सदिश स्पेस के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाने के लिए चुना जाता है, और अंतरिक्ष में प्रत्येक सदिश को यूनिट वैक्टर के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है।
+एकल सदिश को अधिकांशतः सदिश समतल के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाने के लिए चुना जाता है और समतल में प्रत्येक सदिश को एकल सदिश के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है।
 == ऑर्थोगोनल निर्देशांक ==
 === कार्टेशियन निर्देशांक ===
-{{Main|Standard basis}}
+{{Main|मानक आधार}}
-Unit vectors may be used to एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, एक तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z कुल्हाड़ियों की दिशा में मानक इकाई वैक्टर हैं
+एकल सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक एकल सदिश के रूप में होते है
 :<math alt= "i-hat equals the 3 by 1 matrix 1,0,0; j-hat equals the 3 by 1 matrix 0,1,0; k-hat equals the 3 by 1 matrix 0,0,1">
 \mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\,  \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}</math>
-वे पारस्परिक रूप से [[ ओर्थोगोनल ]] यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः  रैखिक बीजगणित में एक [[मानक आधार]] के रूप में संदर्भित किया जाता है।
+वे पारस्परिक रूप से[[ ओर्थोगोनल | ओर्थोगोनल]] एकल सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक [[मानक आधार]] के रूप में संदर्भित किया जाता है।
-वे अधिकांशतः  सामान्य सदिश संकेतन (जैसे, '' i '' या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं <math alt= "vector i">\vec{\imath}</math>) मानक इकाई सदिश संकेतन के अतिरिक्त  (जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math>)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math>) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोटिस <math alt="x-hat, y-hat, z-hat">(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>, <math alt="x-hat sub 1, x-hat sub 2, x-hat sub 3">(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \mathbf{\hat{x}}_3)</math>, <math alt="e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z">(\mathbf{\hat{e}}_x, \mathbf{\hat{e}}_y, \mathbf{\hat{e}}_z)</math>, या <math alt= "e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">(\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3)</math>, के साथ या उसके बिना#गणित, का भी उपयोग किया जाता है,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम उत्पन्न  कर सकता है (उदाहरण के लिए, '' I '', '' J '', '' k '' जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।
+वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे,'' i ''का उपयोग करके निरूपित किया जाता है <math alt= "vector i">\vec{\imath}</math> मानक एकल सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math> के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math> एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति <math alt="x-hat, y-hat, z-hat">(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>, <math alt="x-hat sub 1, x-hat sub 2, x-hat sub 3">(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \mathbf{\hat{x}}_3)</math>, <math alt="e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z">(\mathbf{\hat{e}}_x, \mathbf{\hat{e}}_y, \mathbf{\hat{e}}_z)</math>, या <math alt= "e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">(\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3)</math>, के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए,'' I '', ''J '', ''k ''जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।
-जब अंतरिक्ष में एक यूनिट सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ यूनिट सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (सदिश (ज्यामिति) के खंड) के [[अभिविन्यास (गणित)]] (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विधियों  में से एक है।
+जब समतल में एक एकल सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ एकल सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के [[अभिविन्यास]] कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।
 === बेलनाकार निर्देशांक ===
-{{seealso|Jacobian matrix}}
+{{seealso| जैकोबियन आव्यूह }}
-The three [[orthogonal]] unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त वैक्टर हैं:
-* <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> (भी नामित <math alt="e-hat">\mathbf{\hat{e}}</math> या <math alt="s-hat">\boldsymbol{\hat s}</math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करना जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
+बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन [[ऑर्थोगोनल]] एकल सदिश के रूप में होती है
-* <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
+* <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> (भी नामित <math alt="e-hat">\mathbf{\hat{e}}</math> या <math alt="s-hat">\boldsymbol{\hat s}</math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
-* <math alt="z-hat">\mathbf{\hat{z}}</math>, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करना;
+* <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
-वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं <math alt="x-hat">\hat{x}</math>, <math alt="y-hat">\hat{y}</math>, <math alt="z-hat">\hat{z}</math> द्वारा:
+* <math alt="z-hat">\mathbf{\hat{z}}</math>, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है
+वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं <math alt="x-hat">\hat{x}</math>, <math alt="y-hat">\hat{y}</math>, <math alt="z-hat">\hat{z}</math> द्वारा दर्शायी गई है,
 :<math alt="rho-hat equals cosine of phi in the x-hat direction plus sine of phi in the y-hat direction"> \boldsymbol{\hat{\rho}} = \cos(\varphi)\mathbf{\hat{x}} + \sin(\varphi)\mathbf{\hat{y}}</math>
 :<math alt="phi-hat equals negative sine of phi in the x-hat direction plus the cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = -\sin(\varphi) \mathbf{\hat{x}} + \cos(\varphi) \mathbf{\hat{y}}</math>
 :<math alt="z-hat equals z-hat"> \mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}.</math>
-वैक्टर <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> और <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> के कार्य हैं <math alt="coordinate phi">\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन यूनिट वैक्टर को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव <math>\varphi</math> हैं:
+सदिश <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> और <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> के कार्य के रूप में होते है <math alt="coordinate phi">\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं होते है। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय इन एकल सदिश को भी संचालित किया जाता है। डेरिवेटिव के संबंध में <math>\varphi</math> के रूप में होते है
 :<math alt="partial derivative of rho-hat with respect to phi equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction equals phi-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\rho}}} {\partial \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi}</math>
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 === गोलाकार निर्देशांक ===
-गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई वैक्टर हैं: <math alt="r-hat">\mathbf{\hat{r}}</math>, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat{\varphi}}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई विमान वामावर्त में कोण बढ़ रहा है;और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है।प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> सामान्यतः  शून्य और 180 डिग्री के बीच झूठ बोलने के लिए लिया जाता है।यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल के संदर्भ को नोट किया जाए, की भूमिकाओं के रूप में <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> अधिकांशतः  उलट होते हैं।यहाँ, अमेरिकन फिजिक्स कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> प्रयोग किया जाता है।यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:
+गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त एकल सदिश <math alt="r-hat">\mathbf{\hat{r}}</math> के रूप में होती है, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat{\varphi}}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई समतल वामावर्त में कोण बढ़ता रहता है और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ता है। प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> को सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी क्रमबद्ध ट्रिपलेट के संदर्भ को विशेष रूप से ध्यान देना महत्वपूर्ण होता है, तथा भूमिकाओं के रूप में <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> अधिकांशतः उलट होते हैं। यहाँ, अमेरिकन भौतिकी कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> का प्रयोग किया जाता है। अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध के रूप में होती है
 :<math alt="r-hat equals sin of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction plus cosine of theta in the z-hat direction">\mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}}  + \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
 :<math alt="theta-hat equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction">\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
 :<math alt="phi-hat equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = - \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}}</math>
-गोलाकार इकाई वैक्टर दोनों पर निर्भर करते हैं <math alt="phi">\varphi</math> और <math alt="theta">\theta</math>, और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं।अधिक पूर्ण विवरण के लिए, [[जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक]] देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:
+गोलाकार एकल सदिश दोनों पर निर्भर करते हैं <math alt="phi">\varphi</math> और <math alt="theta">\theta</math> और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है। अधिक पूर्ण विवरण के लिए, [[जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक|जैकबियन आव्यूह और निर्धारक]] को देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है।
 :<math alt="partial derivative of r-hat with respect to phi equals minus sine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals sine of theta in the phi-hat direction">\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
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-=== सामान्य इकाई वैक्टर ===
+=== सामान्य एकल वैक्टर ===
-{{main|Orthogonal coordinates}}
+{{main|ऑर्थोगोनल निर्देशांक}}
-Common themes of unit vectORS पूरे भौतिकी और [[ज्यामिति]] में होता है:<ref>{{cite book|title=कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला)|edition=5th|publisher=Mc Graw Hill|author1=F. Ayres |author2=E. Mendelson |year=2009|isbn=978-0-07-150861-2}}</ref>
+एकल सदिश के सामान्य विषय पूरे भौतिकी और [[ज्यामिति]] में पाए जाते हैं<ref>{{cite book|title=कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला)|edition=5th|publisher=Mc Graw Hill|author1=F. Ayres |author2=E. Mendelson |year=2009|isbn=978-0-07-150861-2}}</ref>
 {| class="wikitable"
 |-
-! scope="col" width="200" | Unit vector
+! scope="col" width="200" | एकल सदिश
-! scope="col" width="150" | Nomenclature
+! scope="col" width="150" | नामपद्धति
-! scope="col" width="410" | Diagram
+! scope="col" width="410" | आरेख
 |-
-| Tangent vector to a curve/flux line || <math> \mathbf{\hat{t}}</math> || rowspan="3" | [[File:Tangent normal binormal unit vectors.svg|200px|"200px"]] [[File:Polar coord unit vectors and normal.svg|200px|"200px"]]
+| वक्र/फ्लक्स रेखा के लिए टेंगेंट सदिश के रूप में होते है || <math> \mathbf{\hat{t}}</math> || rowspan="3" | [[File:Tangent normal binormal unit vectors.svg|200px|"200px"]] [[File:Polar coord unit vectors and normal.svg|200px|"200px"]]
-A normal vector <math> \mathbf{\hat{n}} </math> to the plane containing and defined by the radial position vector <math> r \mathbf{\hat{r}} </math> and angular tangential direction of rotation <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} </math> is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
+एक सामान्य सदिश <math> \mathbf{\hat{n}} </math> रेडियल स्थिति सदिश द्वारा युक्त और परिभाषित समतल के लिए <math> r \mathbf{\hat{r}} </math> और रोटेशन की कोणीय स्पर्शरेखा दिशा <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} </math> आवश्यक है जिससे की कोणीय गति के सदिश समीकरण बने रहें।.
 |-
-|Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component
+|रेडियल स्थिति घटक और कोणीय स्पर्शरेखा घटक युक्त सतह स्पर्शरेखा समतल के लिए सामान्य रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{n}}</math>
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 <math> \mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}} </math>
 |-
-| Binormal vector to tangent and normal
+| स्पर्शरेखा और सामान्य के लिए बिननॉर्मल सदिश के रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{b}} = \mathbf{\hat{t}} \times \mathbf{\hat{n}} </math><ref>{{cite book|title=Vector Analysis (Schaum's Outlines Series)|edition=2nd|publisher=Mc Graw Hill|author1=M. R. Spiegel |author2=S. Lipschutz |author3=D. Spellman |year=2009|isbn=978-0-07-161545-7}}</ref>
 |-
-| Parallel to some axis/line || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> || rowspan="2" | [[File:Perpendicular and parallel unit vectors.svg|200px|"200px"]]
+| किसी अक्ष/रेखा के समानांतर होता है || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> || rowspan="2" | [[File:Perpendicular and parallel unit vectors.svg|200px|"200px"]]
-One unit vector <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}</math> aligned parallel to a principal direction (red line), and a perpendicular unit vector <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot}</math> is in any radial direction relative to the principal line.
+एक एकल सदिश <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}</math> एक प्रमुख दिशा लाल रेखा और एक लंबवत एकल वेक्टर के समानांतर संरेखित होते है <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot}</math> प्रिंसिपल लाइन के सापेक्ष किसी भी रेडियल दिशा में होते है।
 |-
-| Perpendicular to some axis/line in some radial direction
+| कुछ रेडियल दिशा में कुछ अक्ष/रेखा के लंबवत रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot} </math>
 |-
-| Possible angular deviation relative to some axis/line
+| कुछ अक्ष/रेखा के सापेक्ष संभावित कोणीय विचलन के रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\angle} </math>
 || [[File:Angular unit vector.svg|200px|"200px"]]
-Unit vector at acute deviation angle ''φ'' (including 0 or ''π''/2 rad) relative to a principal direction.
+एक मुख्य दिशा के सापेक्ष 0 या π/2 रेड सहित तीव्र विचलन कोण φ पर एकल सदिश के रूप में होते है।
 |-
 |}
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 == वक्रता निर्देशांक ==
-सामान्यतः , एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई वैक्टर का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math><ref name=":0" />(वास्तविक संख्या अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-स्पेस के लिए, इन वैक्टर को निरूपित किया जा सकता है <math alt="e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3</math>।यह लगभग हमेशा सुविधाजनक होता है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए। दाएं हाथ:
+सामान्यतः, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्र एकल सदिश <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है<ref name=":0" /> वास्तविक संख्या समतल की स्वतंत्र डिग्री के बराबर होती है। साधारणतया 3समतल के लिए, इन सदिश <math alt="e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3</math> को निरूपित किया जाता है। यह अधिकांशतः सुविधाजनक रूप में होता है प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए।
 :<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j equals Kronecker delta of i and j">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij} </math>
 :<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j cross e-hat sub k = epsilon sub ijk">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot (\mathbf{\hat{e}}_j \times \mathbf{\hat{e}}_k) = \varepsilon_{ijk} </math>
-कहाँ <math> \delta_{ij} </math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और  <math alt="epsilon sub i,j,k"> \varepsilon_{ijk} </math> [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] है (जो कि IJK के रूप में आदेशित क्रम के लिए 1 है, और kji के रूप में आदेशित क्रमपरिवर्तन के लिए −1)।
+जहाँ <math> \delta_{ij} </math> [[क्रोनकर डेल्टा]], जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा और <math alt="epsilon sub i,j,k"> \varepsilon_{ijk} </math> [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] के रूप में होता है, जो कि आईजेके के रूप में क्रमबद्ध क्रम के लिए 1 है और केजेआई के रूप में क्रमबद्ध क्रमपरिवर्तन के लिए −1 के रूप में होता है।
 == राइट वर्सोर ==
-में एक इकाई सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> डब्ल्यू। आर। हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों को विकसित किया था <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>।वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक स्केलर भाग s और एक सदिश भाग v है। यदि V एक यूनिट सदिश है <math>\mathbb{R}^3</math>, फिर v का वर्ग चतुर्भुज में -1 है।इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-स्पेयर में एक [[पाठ्यक्रम में होना]] है।जब ang एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक सही संस्करण है: इसका स्केलर भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक इकाई सदिश है <math>\mathbb{R}^3</math>।
+एक एकल सदिश मे <math>\mathbb{R}^3</math> को डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>को विकसित किया था। वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v के रूप में होते है। यदि V एक एकल सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> है, फिर v का वर्ग चतुर्भुज -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-गोलाकार का एक [[पाठ्यक्रम में होना|वर्सोर]] है। जब θ एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक समकोण संस्करण है इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक एकल सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> के रूप में होता है।
 == यह भी देखें ==
-{{wiktionary|unit vector}}
+*कार्टेशियन [[निर्देशांक तरीका|निर्देशांक विधि]]
-*[[Cartesian[[निर्देशांक तरीका|निर्देशांक विधि]]
 *निर्देशांक विधि
-*Curvilinear निर्देशांक
+*वक्रीय निर्देशांक
 *[[चार-वेग]]
-*जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
+*जैकबियन आव्यूह और निर्धारक
-*सामान्य [[वेक्टर]]
+*सामान्य [[वेक्टर|सदिश]]
 *ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
 *मानक आधार
-*इकाई अंतराल
+*एकल अंतराल
-* यूनिट [[एकक वर्ग]], [[ एकक क्यूब ]], यूनिट सर्कल, यूनिट स्फीयर और [[ एकक हाइपरबोला ]]
+* एकल [[एकक वर्ग|वर्ग]],एकल क्यूब , एकल वृत्त, एकल गोला और [[इकाई हाइपरबोला|एकल हाइपरबोला]] के रूप में होता है
 * सदिश संकेतन
-*लोगों का वेक्टर
+*सदिश के बारे में
-*[[ एकक मैट्रिक्स ]]
+*[[ एकक मैट्रिक्स | एकल आव्यूह]]
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 138: / Line 138: @@
 *{{cite book|first=David J.|last=Griffiths|title=Introduction to Electrodynamics|edition=3rd|year=1998|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-805326-X|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0}}
-{{DEFAULTSORT:Unit Vector}}[[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: प्राथमिक गणित]] [[Category: 1 (संख्या)]] [[Category: वैक्टर (गणित और भौतिकी)]]
+{{DEFAULTSORT:Unit Vector}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:1 (संख्या)|Unit Vector]]
-[[Category:Created On 02/03/2023]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Unit Vector]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:Created On 02/03/2023|Unit Vector]]
+[[Category:Lua-based templates|Unit Vector]]
+[[Category:Machine Translated Page|Unit Vector]]
+[[Category:Pages with script errors|Unit Vector]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Unit Vector]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Unit Vector]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Unit Vector]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Unit Vector]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Unit Vector]]
+[[Category:प्राथमिक गणित|Unit Vector]]
+[[Category:लीनियर अलजेब्रा|Unit Vector]]
+[[Category:वैक्टर (गणित और भौतिकी)|Unit Vector]]

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