इकाई वेक्टर: Difference between revisions

Latest revision as of 10:38, 15 March 2023

गणित में, सामान्यतया सदिश समतल क्षेत्र में एकल सदिश की लंबाई 1 होती है। एकल सदिश को प्रायः लोअरकेस अक्षर के द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें गोलाकार या हैट होता है। जैसा कि

उच्चारण ${\hat {\mathbf {v} }}$ -हैट के रूप में दर्शाया जाता है।

शब्द दिशा सदिश , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली एकल सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से एकल वृत्त पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ एकल क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।

एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में एकल सदिश के रूप में होता है जैसे ,

\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}

जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।^[1]^[2] सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी एकल सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

एकल सदिश को अधिकांशतः सदिश समतल के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है और समतल में प्रत्येक सदिश को एकल सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

एकल सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक एकल सदिश के रूप में होते है

\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल एकल सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे, i का उपयोग करके निरूपित किया जाता है ${\vec {\imath }}$ मानक एकल सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$ के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$ एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$ , $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$ , $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$ , या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$ , के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,^[1]विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।

जब समतल में एक एकल सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ एकल सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के अभिविन्यास कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन ऑर्थोगोनल एकल सदिश के रूप में होती है

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (भी नामित $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$ ), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु समरूपता अक्ष के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
$\mathbf {\hat {z}}$ , समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$ , ${\hat {y}}$ , ${\hat {z}}$ द्वारा दर्शायी गई है,

{\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}

\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .

सदिश ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य के रूप में होते है $\varphi ,$ और दिशा में स्थिर नहीं होते है। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय इन एकल सदिश को भी संचालित किया जाता है। डेरिवेटिव के संबंध में $\varphi$ के रूप में होते है

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .

गोलाकार निर्देशांक

गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त एकल सदिश $\mathbf {\hat {r}}$ के रूप में होती है, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ , वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई समतल वामावर्त में कोण बढ़ता रहता है और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ता है। प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए ध्रुवीय कोण $\theta$ को सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। गोलाकार निर्देशांक में लिखे गए किसी भी क्रमबद्ध ट्रिपलेट के संदर्भ को विशेष रूप से ध्यान देना महत्वपूर्ण होता है, तथा भूमिकाओं के रूप में ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ अधिकांशतः उलट होते हैं। यहाँ, अमेरिकन भौतिकी कन्वेंशन^[3] का प्रयोग किया जाता है। अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है $\varphi$ बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध के रूप में होती है

\mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}}

{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}

गोलाकार एकल सदिश दोनों पर निर्भर करते हैं $\varphi$ और $\theta$ और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है। अधिक पूर्ण विवरण के लिए, जैकबियन आव्यूह और निर्धारक को देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है।

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}}

{\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}

सामान्य एकल वैक्टर

एकल सदिश के सामान्य विषय पूरे भौतिकी और ज्यामिति में पाए जाते हैं^[4]

एकल सदिश	नामपद्धति	आरेख
वक्र/फ्लक्स रेखा के लिए टेंगेंट सदिश के रूप में होते है	$\mathbf {\hat {t}}$	"200px" "200px" एक सामान्य सदिश $\mathbf {\hat {n}}$ रेडियल स्थिति सदिश द्वारा युक्त और परिभाषित समतल के लिए $r\mathbf {\hat {r}}$ और रोटेशन की कोणीय स्पर्शरेखा दिशा $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ आवश्यक है जिससे की कोणीय गति के सदिश समीकरण बने रहें।.
रेडियल स्थिति घटक और कोणीय स्पर्शरेखा घटक युक्त सतह स्पर्शरेखा समतल के लिए सामान्य रूप में होते है	$\mathbf {\hat {n}}$ In terms of polar coordinates; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
स्पर्शरेखा और सामान्य के लिए बिननॉर्मल सदिश के रूप में होते है	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$ ^[5]
किसी अक्ष/रेखा के समानांतर होता है	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	"200px" एक एकल सदिश $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ एक प्रमुख दिशा लाल रेखा और एक लंबवत एकल वेक्टर के समानांतर संरेखित होते है $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ प्रिंसिपल लाइन के सापेक्ष किसी भी रेडियल दिशा में होते है।
कुछ रेडियल दिशा में कुछ अक्ष/रेखा के लंबवत रूप में होते है	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
कुछ अक्ष/रेखा के सापेक्ष संभावित कोणीय विचलन के रूप में होते है	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	"200px" एक मुख्य दिशा के सापेक्ष 0 या π/2 रेड सहित तीव्र विचलन कोण φ पर एकल सदिश के रूप में होते है।

वक्रता निर्देशांक

सामान्यतः, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्र एकल सदिश $\mathbf {\hat {e}} _{n}$ का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है^[1] वास्तविक संख्या समतल की स्वतंत्र डिग्री के बराबर होती है। साधारणतया 3समतल के लिए, इन सदिश $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ को निरूपित किया जाता है। यह अधिकांशतः सुविधाजनक रूप में होता है प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल और दाहिने हाथ का नियम होना चाहिए।

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}

\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}

जहाँ $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा, जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा और $\varepsilon _{ijk}$ लेवी-सिविटा प्रतीक के रूप में होता है, जो कि आईजेके के रूप में क्रमबद्ध क्रम के लिए 1 है और केजेआई के रूप में क्रमबद्ध क्रमपरिवर्तन के लिए −1 के रूप में होता है।

राइट वर्सोर

एक एकल सदिश मे $\mathbb {R} ^{3}$ को डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$ को विकसित किया था। वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में $q=s+v$ एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v के रूप में होते है। यदि V एक एकल सदिश $\mathbb {R} ^{3}$ है, फिर v का वर्ग चतुर्भुज -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ 3-गोलाकार का एक वर्सोर है। जब θ एक समकोण है, तो वर्सोर एक समकोण संस्करण है इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक एकल सदिश $\mathbb {R} ^{3}$ के रूप में होता है।

यह भी देखें

कार्टेशियन निर्देशांक विधि
निर्देशांक विधि
वक्रीय निर्देशांक
चार-वेग
जैकबियन आव्यूह और निर्धारक
सामान्य सदिश
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
मानक आधार
एकल अंतराल
एकल वर्ग,एकल क्यूब , एकल वृत्त, एकल गोला और एकल हाइपरबोला के रूप में होता है
सदिश संकेतन
सदिश के बारे में
एकल आव्यूह

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "इकाई वेक्टर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-19.
↑ "Unit Vectors | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (in English). Retrieved 2020-08-19.
↑ Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
↑ F. Ayres; E. Mendelson (2009). कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला) (5th ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
↑ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

संदर्भ

G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "इकाई वेक्टर". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-19.

[2] "Unit Vectors | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (in English). Retrieved 2020-08-19.

[3] Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).

[4] F. Ayres; E. Mendelson (2009). कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला) (5th ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.

[5] M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2nd ed.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Vector of length one}}
-{{distinguish|Vector of ones}}
-गणित में, एक आदर्श वेक्टर स्थान में एक इकाई वेक्टर एक वेक्टर_ (गणित_and_physics) (अक्सर एक [[वेक्टर (ज्यामिति)]]) है।में <math>\hat{\mathbf{v}}</math> (उच्चारण वी-एचएटी)।
-शब्द '' दिशा वेक्टर '', जिसे आमतौर पर डी के रूप में निरूपित किया जाता है, का उपयोग एक इकाई वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो [[स्थानिक दिशा]] और [[सापेक्ष दिशा]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा रहा है।2 डी स्थानिक दिशाएँ [[एकक व्रत]] पर अंक के बराबर हैं
-और 3 डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के बराबर हैं।
-[[File:2D Direction Vectors.svg|thumb|दो 2 डी दिशा वैक्टर के उदाहरण]]फ़ाइल: 3 डी दिशा वैक्टर.टिफ | अंगूठा
-एक गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में यूनिट वेक्टर है, अर्थात्, यानी,
-?>
-जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत वेक्टर शब्द को कभी -कभी यूनिट वेक्टर के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।
-यूनिट वैक्टर को अक्सर वेक्टर स्पेस के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाने के लिए चुना जाता है, और अंतरिक्ष में प्रत्येक वेक्टर को यूनिट वैक्टर के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है।
+गणित में, सामान्यतया सदिश समतल क्षेत्र में एकल सदिश की लंबाई 1 होती है। एकल [[सदिश]] को प्रायः लोअरकेस अक्षर के द्वारा चिह्नित किया जाता है, जिसमें गोलाकार या हैट होता है। जैसा कि
-== ऑर्थोगोनल निर्देशांक ==
+उच्चारण <math>\hat{\mathbf{v}}</math>-हैट के रूप में दर्शाया जाता है।
-=== कार्टेशियन निर्देशांक ===
+शब्द ''दिशा सदिश '', जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग [[स्थानिक दिशा]] और [[सापेक्ष दिशा]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली एकल सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से [[इकाई वृत्त|एकल वृत्त]] पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ एकल क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।
-{{Main|Standard basis}}
-Unit vectors may be used to एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, एक तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z कुल्हाड़ियों की दिशा में मानक इकाई वैक्टर हैं
+एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में एकल सदिश के रूप में होता है जैसे ,
+:<math alt="u-hat equals the vector u divided by its length">\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}</math>
+जहां एफ यू का मानक (गणित) या लंबाई होता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी कभी एकल सदिश के लिए पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।
-: <गणित alt = i-hat 3 द्वारा 1 मैट्रिक्स 1,0,0 के बराबर है;जे-हैट 3 के बराबर है 1 मैट्रिक्स 0,1,0;के-हैट 3 के बराबर है 1 मैट्रिक्स 0,0,1>
+एकल सदिश को अधिकांशतः सदिश समतल के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाने के लिए चुना जाता है और समतल में प्रत्येक सदिश को एकल सदिश के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है।
-\ mathbf {\ hat {i}} = \ _ {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}, \, \, \ mathbf {\ hat {j}} = \ {bmatrix} 0 {bmatrix} 0 \ _1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \, \, \ mathbf {\ hat {k}} = = \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ _ {bmatrix} </math>
-वे पारस्परिक रूप से [[ ओर्थोगोनल ]] यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे आमतौर पर रैखिक बीजगणित में एक [[मानक आधार]] के रूप में संदर्भित किया जाता है।
+== ऑर्थोगोनल निर्देशांक ==
-वे अक्सर सामान्य वेक्टर संकेतन (जैसे, 'मैं' या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं
+=== कार्टेशियन निर्देशांक ===
-गणित alt = वेक्टर i> \ vec {\ imath} </math>) के बजाय मानक इकाई वेक्टर संकेतन (जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math>)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math>) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोट्स <गणित alt = x-hat, y-hat, z-hat> (\ mathbf {\ hat {Xbf {\ hat}, \ mathbf {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {y { {x}} _ 2, \\ mathbf {\ hat {x}} _ 3) </math>, <गणित alt = e-hat उप x, e-hat उप y, e-hat उप z> (\ mathbf {\ _ \ _ hat {ee} _x, \ mathbf {\ hat {e} _y, \ mathbf {\ hat {ee} _z) </math>, या <math alt = e-hat उप 1, e-hat उप 2, e- Hat उप 3> (e \ mathbf {\ hat {ee} _1, \ mathbf {\ hat {ee} _2, \ mathbf {\ hat {ee}}}} _3) </math>, के साथ या उसके बिना भी हैं। इस्तेमाल किया गया,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम पैदा कर सकता है (उदाहरण के लिए, '' I '', '' J '', '' k '' जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।
+{{Main|मानक आधार}}
-जब अंतरिक्ष में एक यूनिट वेक्टर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार वेक्टर के साथ यूनिट वेक्टर द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (वेक्टर (ज्यामिति) के खंड) के [[अभिविन्यास (गणित)]] (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक है।
+एकल सदिश का उपयोग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक एकल सदिश के रूप में होते है
-=== बेलनाकार निर्देशांक ===
+:<math alt= "i-hat equals the 3 by 1 matrix 1,0,0; j-hat equals the 3 by 1 matrix 0,1,0; k-hat equals the 3 by 1 matrix 0,0,1">
-{{seealso|Jacobian matrix}}
+\mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}, \,\,  \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}</math>
-The three [[orthogonal]] unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त वैक्टर हैं:
+वे पारस्परिक रूप से[[ ओर्थोगोनल | ओर्थोगोनल]] एकल सदिश का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक [[मानक आधार]] के रूप में संदर्भित किया जाता है।
-* <गणित alt = rho-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} </math> (यह भी नामित <math alt = e-hat> \ mathbf {\ hat {e}} </math> या <math> या <math> या <math> या <math> या <math>alt = s-hat> \ boldsymbol {\ hat s} </math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
-* <गणित alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat \ varphi} </math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
-* <गणित alt = z-hat> \ mathbf {\ hat {z}}} </math>, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है;
-वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं <गणित alt = x-hat> \ hat {x} </math>, <गणित alt = y-hat> \ hat {y} </math>, <गणित alt = z-hat> \ hat {z} </math> by:
-: <गणित alt = rho-hat X-hat दिशा में phi के cosine को y-hat दिशा में phi की साइन के बराबर करता है> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} = \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ _hat {x}} + \ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}} </math>
+वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन जैसे,'' i ''का उपयोग करके निरूपित किया जाता है <math alt= "vector i">\vec{\imath}</math> मानक एकल सदिश संकेतन के अतिरिक्त जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math> के रूप में होता है, तथा अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math> एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स होते है। अंकन पद्धति <math alt="x-hat, y-hat, z-hat">(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>, <math alt="x-hat sub 1, x-hat sub 2, x-hat sub 3">(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \mathbf{\hat{x}}_3)</math>, <math alt="e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z">(\mathbf{\hat{e}}_x, \mathbf{\hat{e}}_y, \mathbf{\hat{e}}_z)</math>, या <math alt= "e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">(\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3)</math>, के साथ या उसके बिना गणित का उपयोग किया जाता है,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां i, j, k किसी अन्य मात्रा के साथ भान्ति उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए,'' I '', ''J '', ''k ''जैसे अनुक्रमित सूचकांक प्रतीकों के साथ होता है, जो किसी सेट या सरणी या चर के अनुक्रम के तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता है।
-: <गणित alt = phi-hat X-hat दिशा में phi की नकारात्मक साइन के बराबर होता है, साथ ही y-hat दिशा में phi के cosine> \ boldsymbol {\ hat \ varphi} =-\ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}} </math>
-?
-वैक्टर <गणित alt = rho-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} </math> और <math alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat \ varphi}  गणित alt = समन्वय pi> \ varphi, </math> और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन यूनिट वैक्टर को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव  गणित> \ varphi </गणित> हैं:
+जब समतल में एक एकल सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो कार्टेशियन संकेतन के साथ सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन अदिश घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ एकल सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर होता है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष या उन्मुख अक्ष सदिश के खंड के [[अभिविन्यास]] कोणीय स्थिति का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।
-: <गणित alt = phi के संबंध में rho-hat का आंशिक व्युत्पन्न X-hat दिशा में phi के माइनस साइन के बराबर होता है, Y-hat दिशा में phi के cosine phi-hat> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ _hat {\ rho}}} {\ _ आंशिक \ varphi} = -\ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}}} </गणित>
+=== बेलनाकार निर्देशांक ===
-: <गणित alt = phi के संबंध में phi-hat का आंशिक व्युत्पन्न X-hat दिशा में phi के माइनस कोसाइन के बराबर होता है, जो y-hat दिशा में phi के माइनस साइन में माइनस rho-hat> \ frac {\ _ आंशिक \ boldsymbol {के बराबर होता है {\ hat \ varphi}} {\ _ आंशिक \ varphi} =rho}} </math>
+{{seealso| जैकोबियन आव्यूह }}
-: <गणित alt = phi के संबंध में z-hat का आंशिक व्युत्पन्न शून्य> \ frac {\ आंशिक \ mathbf {\ hat {z}}} {\ _ आंशिक \ varphi} = \ mathbf {0} </math>
-=== गोलाकार निर्देशांक ===
+बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन [[ऑर्थोगोनल]] एकल सदिश के रूप में होती है
+* <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> (भी नामित <math alt="e-hat">\mathbf{\hat{e}}</math> या <math alt="s-hat">\boldsymbol{\hat s}</math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है
+* <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए देखा जाता है कि यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के प्रति घड़ी की वामावर्त दिशा में घूमता है
+* <math alt="z-hat">\mathbf{\hat{z}}</math>, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करती है
+वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं <math alt="x-hat">\hat{x}</math>, <math alt="y-hat">\hat{y}</math>, <math alt="z-hat">\hat{z}</math> द्वारा दर्शायी गई है,
-गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई वैक्टर हैं: <गणित alt = r-hat> \ mathbf {\ hat {r}}} </math>, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है;<गणित alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} </math>, जिस दिशा में X-y विमान में कोण सकारात्मक X- अक्ष से वामावर्त होता है;और <गणित alt = theta-hat> \ boldsymbol {\ hat \ theta} </math>, जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है।प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> आमतौर पर शून्य और 180 डिग्री के बीच झूठ बोलने के लिए लिया जाता है।यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल के संदर्भ को नोट किया जाए, जैसा कि <गणित ALT = PHI-HAT> \ BOLDSYMBOL {\ HAT \ VARPHI} </MATH> और <MATH ALT = THETA-HAT> की भूमिकाओं के रूप में\ boldsymbol {\ hat \ theta} </math> अक्सर उलट होते हैं।यहाँ, अमेरिकन फिजिक्स कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> प्रयोग किया जाता है।यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:
+:<math alt="rho-hat equals cosine of phi in the x-hat direction plus sine of phi in the y-hat direction"> \boldsymbol{\hat{\rho}} = \cos(\varphi)\mathbf{\hat{x}} + \sin(\varphi)\mathbf{\hat{y}}</math>
+:<math alt="phi-hat equals negative sine of phi in the x-hat direction plus the cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = -\sin(\varphi) \mathbf{\hat{x}} + \cos(\varphi) \mathbf{\hat{y}}</math>
+:<math alt="z-hat equals z-hat"> \mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}.</math>
+सदिश <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> और <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> के कार्य के रूप में होते है <math alt="coordinate phi">\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं होते है। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय इन एकल सदिश को भी संचालित किया जाता है। डेरिवेटिव के संबंध में <math>\varphi</math> के रूप में होते है
-? {r}} = \ sin \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {x} + \ sin \ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {yt {y} + \ cos \ thbf {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ _ }} </गणित>
+:<math alt="partial derivative of rho-hat with respect to phi equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction equals phi-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\rho}}} {\partial \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi}</math>
+:<math alt="partial derivative of phi-hat with respect to phi equals minus cosine of phi in the x-hat direction minus sine of phi in the y-hat direction equals minus rho-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat \varphi}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\boldsymbol{\hat{\rho}}</math>
+:<math alt="partial derivative of z-hat with respect to phi equals zero"> \frac{\partial \mathbf{\hat{z}}} {\partial \varphi} = \mathbf{0}.</math>
-: <गणित alt = theta-hat समानता समानता X-hat दिशा में Phi के समय के समय की समानता Z-hat दिशा में y-hat दिशा माइनस साइन में रहने वाले समय के z-hat दिशा में z-hat दिशा में gerection> \ boldsymbol {{\ {\ { hat \ theta} = \ cos \ cos \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {xt {x} \ mathbf {\ hat {z}} </math>
-? } + \ cos \ verphi \ mathbf {\ hat {y} </math>
+=== गोलाकार निर्देशांक ===
-गोलाकार इकाई दोनों पर ved
-गणित alt = phi> \ varphi </ math> और  गणित alt = theta> \ theta </math>, और इसलिए 5 संभव गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं।अधिक पूर्ण विवरण के लिए, जैकबियन गणित और निर्धारक देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:
-: <गणित Alt = r-hat का आंशिक व्युत्पन्न Y-HAT डायरेक्टिव डायरेक्टिव इक्विटी में Phi के समय के एक्स-हैट दिशात्मक प्लस साइन में समय के समय के समय के समय के PHALS माइनस के संबंध में पीएच -हैट दिशा में थीटा में थीटा> \ frac {\ आंशिक \ mathbf {\ hat {r}} {\ _ आंशिक \ vaph} = -\ sin \ _ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {Xin} + \ thateeta \ cos \ virphi \ mathbf {\ hat {y}} = \ sin \ theta \ boldsymbol {\ hat \ vi} </math>
-: <गणित alt = r-hat का आंशिक व्युत्पन्न Z के y-hat प्रत्यक्ष माइनस में Phi के समय में एक्स-हैट दिशा में समय के समय के समय के थेटामोस के समान कोस के संबंध में। z में z में। x} + \ cos \ sin \ vi \ mathbf {\ hat {y}} - \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {\ hat {\ hat { </गणित>
+गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त एकल सदिश <math alt="r-hat">\mathbf{\hat{r}}</math> के रूप में होती है, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat{\varphi}}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई समतल वामावर्त में कोण बढ़ता रहता है और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ता है। प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> को सामान्यतः शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी क्रमबद्ध ट्रिपलेट के संदर्भ को विशेष रूप से ध्यान देना महत्वपूर्ण होता है, तथा भूमिकाओं के रूप में <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> अधिकांशतः उलट होते हैं। यहाँ, अमेरिकन भौतिकी कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> का प्रयोग किया जाता है। अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध के रूप में होती है
-: <गणित alt = X-Hat दिशा में समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के साथ theta-hat का आंशिक व्युत्पन्न, Y-HAT निर्देशित समान में प्रस्तुत करता है Theta में theta में phi-hat दिशा में> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ theta}} {\ _ आंशिक \ virph} = cos \ _ \ cos \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {y}} = \ cos \ boldsymbol {\ hat \ vph} </math>
+:<math alt="r-hat equals sin of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction plus cosine of theta in the z-hat direction">\mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}}  + \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
+:<math alt="theta-hat equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction">\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
+:<math alt="phi-hat equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = - \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}}</math>
+गोलाकार एकल सदिश दोनों पर निर्भर करते हैं <math alt="phi">\varphi</math> और <math alt="theta">\theta</math> और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है। अधिक पूर्ण विवरण के लिए, [[जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक|जैकबियन आव्यूह और निर्धारक]] को देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव के रूप में होते है।
-: <गणित alt = थीटा-हैट का आंशिक व्युत्पन्न थीटा के संबंध में एक्स-हैट दिशा माइनस में पीएचआई के टाइम्स कोल के माइनस के बराबर होता है और वाई-हैट दिशा में पीएचआई के समय के समय के समय का समय जेड-हैट दिशा में थीटा में थीटा की दिशा माइनस माइनस आर-हेट> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ theta}} {\ _ आंशिक \ theta} =-\ sin \ cos \ _ \ _ \ _ गणित \ hat {x}} - \ sin \ sin \ vhi \ mathbf {\ hat {y}} - \ cos \ thata \ mathbf {\ hat {\ hat {\ mathbf {\ hat {r} </math>
+:<math alt="partial derivative of r-hat with respect to phi equals minus sine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals sine of theta in the phi-hat direction">\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
+:<math alt="partial derivative of r-hat with respect to theta equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction equals theta-hat">\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}= \boldsymbol{\hat \theta}</math>
+:<math alt="partial derivative of theta-hat with respect to phi equals minus cosine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals cosine of theta in the phi-hat direction">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \varphi} =-\cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
+:<math alt="partial derivative of theta-hat with respect to theta equals minus sine of theta times cosine of phi in the x-hat direction minus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus cosine of theta in the z-hat direction equals minus r-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \cos \theta\mathbf{\hat{z}} = -\mathbf{\hat{r}}</math>
+:<math alt="partial derivative of phi-hat with respect to phi equals minus cosine of phi in the x-hat direction minus sine of phi in the y-hat direction equals minus sine of theta in the r-hat direction minus cosine of theta in the theta-hat direction">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\varphi}}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\sin \theta\mathbf{\hat{r}} -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}}</math>
-: <गणित Alt = PH-HAT का आंशिक व्युत्पन्न Y-HAT दिशा में PH के X-Hat दिशा में PHI के PHAS माइनस कोस के संबंध में Y-HAT दिशा में R-HAT दिशा के R-HAT दिशा के माइनस के बराबर होता है। TheTa -hat दिशा में तब का शून्य> \ frac {\ _ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ varpher}} {\ pertial \ virphi} = x (\ sin \ virphi \ mathbf {\ hat {y}} = -\ sin \ theta \ mathbf {\ hat {r}} -\ cos \ boldsymbol {\ hat {\ theta} </math>
-=== सामान्य इकाई वैक्टर ===
+=== सामान्य एकल वैक्टर ===
-{{main|Orthogonal coordinates}}
+{{main|ऑर्थोगोनल निर्देशांक}}
-Common themes of unit vectORS पूरे भौतिकी और [[ज्यामिति]] में होता है:<ref>{{cite book|title=कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला)|edition=5th|publisher=Mc Graw Hill|author1=F. Ayres |author2=E. Mendelson |year=2009|isbn=978-0-07-150861-2}}</ref>
+एकल सदिश के सामान्य विषय पूरे भौतिकी और [[ज्यामिति]] में पाए जाते हैं<ref>{{cite book|title=कैलकुलस (शाउम की रूपरेखा श्रृंखला)|edition=5th|publisher=Mc Graw Hill|author1=F. Ayres |author2=E. Mendelson |year=2009|isbn=978-0-07-150861-2}}</ref>
 {| class="wikitable"
 |-
-! scope="col" width="200" | Unit vector
+! scope="col" width="200" | एकल सदिश
-! scope="col" width="150" | Nomenclature
+! scope="col" width="150" | नामपद्धति
-! scope="col" width="410" | Diagram
+! scope="col" width="410" | आरेख
 |-
-| Tangent vector to a curve/flux line || <math> \mathbf{\hat{t}}</math> || rowspan="3" | [[File:Tangent normal binormal unit vectors.svg|200px|"200px"]] [[File:Polar coord unit vectors and normal.svg|200px|"200px"]]
+| वक्र/फ्लक्स रेखा के लिए टेंगेंट सदिश के रूप में होते है || <math> \mathbf{\hat{t}}</math> || rowspan="3" | [[File:Tangent normal binormal unit vectors.svg|200px|"200px"]] [[File:Polar coord unit vectors and normal.svg|200px|"200px"]]
-A normal vector <math> \mathbf{\hat{n}} </math> to the plane containing and defined by the radial position vector <math> r \mathbf{\hat{r}} </math> and angular tangential direction of rotation <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} </math> is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
+एक सामान्य सदिश <math> \mathbf{\hat{n}} </math> रेडियल स्थिति सदिश द्वारा युक्त और परिभाषित समतल के लिए <math> r \mathbf{\hat{r}} </math> और रोटेशन की कोणीय स्पर्शरेखा दिशा <math> \theta \boldsymbol{\hat{\theta}} </math> आवश्यक है जिससे की कोणीय गति के सदिश समीकरण बने रहें।.
 |-
-|Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component
+|रेडियल स्थिति घटक और कोणीय स्पर्शरेखा घटक युक्त सतह स्पर्शरेखा समतल के लिए सामान्य रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{n}}</math>
@@ Line 93: / Line 87: @@
 <math> \mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}} </math>
 |-
-| Binormal vector to tangent and normal
+| स्पर्शरेखा और सामान्य के लिए बिननॉर्मल सदिश के रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{b}} = \mathbf{\hat{t}} \times \mathbf{\hat{n}} </math><ref>{{cite book|title=Vector Analysis (Schaum's Outlines Series)|edition=2nd|publisher=Mc Graw Hill|author1=M. R. Spiegel |author2=S. Lipschutz |author3=D. Spellman |year=2009|isbn=978-0-07-161545-7}}</ref>
 |-
-| Parallel to some axis/line || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> || rowspan="2" | [[File:Perpendicular and parallel unit vectors.svg|200px|"200px"]]
+| किसी अक्ष/रेखा के समानांतर होता है || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel} </math> || rowspan="2" | [[File:Perpendicular and parallel unit vectors.svg|200px|"200px"]]
-One unit vector <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}</math> aligned parallel to a principal direction (red line), and a perpendicular unit vector <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot}</math> is in any radial direction relative to the principal line.
+एक एकल सदिश <math> \mathbf{\hat{e}}_{\parallel}</math> एक प्रमुख दिशा लाल रेखा और एक लंबवत एकल वेक्टर के समानांतर संरेखित होते है <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot}</math> प्रिंसिपल लाइन के सापेक्ष किसी भी रेडियल दिशा में होते है।
 |-
-| Perpendicular to some axis/line in some radial direction
+| कुछ रेडियल दिशा में कुछ अक्ष/रेखा के लंबवत रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\bot} </math>
 |-
-| Possible angular deviation relative to some axis/line
+| कुछ अक्ष/रेखा के सापेक्ष संभावित कोणीय विचलन के रूप में होते है
 || <math> \mathbf{\hat{e}}_{\angle} </math>
 || [[File:Angular unit vector.svg|200px|"200px"]]
-Unit vector at acute deviation angle ''φ'' (including 0 or ''π''/2 rad) relative to a principal direction.
+एक मुख्य दिशा के सापेक्ष 0 या π/2 रेड सहित तीव्र विचलन कोण φ पर एकल सदिश के रूप में होते है।
 |-
 |}
@@ Line 111: / Line 105: @@
 == वक्रता निर्देशांक ==
-सामान्य तौर पर, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई वैक्टर <गणित alt = e-hat उप n> \ mathbf {\ hat {e}} _ n </math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।<ref name=":0" />(वास्तविक संख्या अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-स्पेस के लिए, इन वैक्टरों को <गणित alt = e-hat उप 1, e-hat उप 2, e-hat उप 3> \ mathbf {\ hat {ee} _1, \ mathbf {\ hat {e {e {e {e {e {{e {\ hat {e {\ hat {e { }} _ 2, \ Mathbf {\ hat {e} _3 </math>।यह सबसे नज़दीकी हमेशा सुविधाजनक है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होने के लिए परिभाषित किया जाए। दाएं हाथ:
+सामान्यतः, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्र एकल सदिश <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जाता है<ref name=":0" /> वास्तविक संख्या समतल की स्वतंत्र डिग्री के बराबर होती है। साधारणतया 3समतल के लिए, इन सदिश <math alt="e-hat sub 1, e-hat sub 2, e-hat sub 3">\mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2, \mathbf{\hat{e}}_3</math> को निरूपित किया जाता है। यह अधिकांशतः सुविधाजनक रूप में होता है प्रणाली को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए।
-? </गणित>
-? \ mathbf {\ hat {e} _k) = \ verepsilon_ {ijk} </math>
-जहाँ ये है <math> \delta_{ij} </math> KRONECKER DELTA है (जो कि I = J के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और <Math Alt = Epsilon Sub I, J, J, \ varepsilon_ {ijk} </Math> लेवी-Civita प्रतीक है (जो 1 के लिए 1 है।क्रमपरिवर्तन IJK के रूप में आदेश दिया गया, और k1 के रूप में आदेश दिए गए क्रम के लिए −1)।
+:<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j equals Kronecker delta of i and j">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij} </math>
+:<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j cross e-hat sub k = epsilon sub ijk">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot (\mathbf{\hat{e}}_j \times \mathbf{\hat{e}}_k) = \varepsilon_{ijk} </math>
+जहाँ <math> \delta_{ij} </math> [[क्रोनकर डेल्टा]], जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा और <math alt="epsilon sub i,j,k"> \varepsilon_{ijk} </math> [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] के रूप में होता है, जो कि आईजेके के रूप में क्रमबद्ध क्रम के लिए 1 है और केजेआई के रूप में क्रमबद्ध क्रमपरिवर्तन के लिए −1 के रूप में होता है।
 == राइट वर्सोर ==
-में एक इकाई वेक्टर <math>\mathbb{R}^3</math> डब्ल्यू। आर। हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों को विकसित किया था <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>।वास्तव में, वह वेक्टर शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक स्केलर भाग s और एक वेक्टर भाग v है। यदि V एक यूनिट वेक्टर है <math>\mathbb{R}^3</math>, फिर v का वर्ग चतुर्भुज में -1 है।इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-स्पेयर में एक [[पाठ्यक्रम में होना]] है।जब ang एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक सही संस्करण है: इसका स्केलर भाग शून्य है और इसका वेक्टर भाग V एक इकाई वेक्टर है <math>\mathbb{R}^3</math>।
+एक एकल सदिश मे <math>\mathbb{R}^3</math> को डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक राइट वर्सोर कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुर्भुजों <math>\mathbb{H} \subset \mathbb{R}^4</math>को विकसित किया था। वास्तव में, वह सदिश शब्द का प्रवर्तक था, हर चतुर्भुज के रूप में <math>q = s + v</math> एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v के रूप में होते है। यदि V एक एकल सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> है, फिर v का वर्ग चतुर्भुज -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, <math>\exp (\theta v) = \cos \theta + v \sin \theta</math> 3-गोलाकार का एक [[पाठ्यक्रम में होना|वर्सोर]] है। जब θ एक [[समकोण]] है, तो वर्सोर एक समकोण संस्करण है इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग V एक एकल सदिश <math>\mathbb{R}^3</math> के रूप में होता है।
 == यह भी देखें ==
-{{wiktionary|unit vector}}
+*कार्टेशियन [[निर्देशांक तरीका|निर्देशांक विधि]]
-*[[Cartesian[[निर्देशांक तरीका]]
+*निर्देशांक विधि
-*निर्देशांक तरीका
+*वक्रीय निर्देशांक
-*Curvilinear निर्देशांक
 *[[चार-वेग]]
-*जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
+*जैकबियन आव्यूह और निर्धारक
-*[[सामान्य [[वेक्टर]]]]
+*सामान्य [[वेक्टर|सदिश]]
 *ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
 *मानक आधार
-*इकाई अंतराल
+*एकल अंतराल
-* यूनिट [[एकक वर्ग]], [[ एकक क्यूब ]], यूनिट सर्कल, यूनिट स्फीयर और [[ एकक हाइपरबोला ]]
+* एकल [[एकक वर्ग|वर्ग]],एकल क्यूब , एकल वृत्त, एकल गोला और [[इकाई हाइपरबोला|एकल हाइपरबोला]] के रूप में होता है
-* वेक्टर संकेतन
+* सदिश संकेतन
-*लोगों का वेक्टर
+*सदिश के बारे में
-*[[ एकक मैट्रिक्स ]]
+*[[ एकक मैट्रिक्स | एकल आव्यूह]]
 ==टिप्पणियाँ==
@@ Line 146: / Line 138: @@
 *{{cite book|first=David J.|last=Griffiths|title=Introduction to Electrodynamics|edition=3rd|year=1998|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-805326-X|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0}}
-{{DEFAULTSORT:Unit Vector}}[[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: प्राथमिक गणित]] [[Category: 1 (संख्या)]] [[Category: वैक्टर (गणित और भौतिकी)]]
+{{DEFAULTSORT:Unit Vector}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:1 (संख्या)|Unit Vector]]
-[[Category:Created On 02/03/2023]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Unit Vector]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:Created On 02/03/2023|Unit Vector]]
+[[Category:Lua-based templates|Unit Vector]]
+[[Category:Machine Translated Page|Unit Vector]]
+[[Category:Pages with script errors|Unit Vector]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Unit Vector]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Unit Vector]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Unit Vector]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Unit Vector]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Unit Vector]]
+[[Category:प्राथमिक गणित|Unit Vector]]
+[[Category:लीनियर अलजेब्रा|Unit Vector]]
+[[Category:वैक्टर (गणित और भौतिकी)|Unit Vector]]

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इकाई वेक्टर: Difference between revisions

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