इकाई वेक्टर

Not to be confused with Vector of ones.

गणित में, एक आदर्श सदिश स्थान में एक इकाई सदिश एक सदिश_(गणित_और_भौतिकी) (अक्सर एक सदिश (ज्यामिति)) होता है, जो सामान्य (गणित) 1 होता है। में ${\hat {\mathbf {v} }}$ (उच्चारण वी-हैट)।

'दिशा वेक्टर' शब्द, जिसे आमतौर पर डी के रूप में दर्शाया जाता है, का उपयोग एक इकाई वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएं संख्यात्मक रूप से यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के बराबर होती हैं और 3डी में स्थानिक दिशाएं इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के बराबर हैं।

Examples of two 2D direction vectors

File:3D Direction Vectors.tiff

Examples of two 3D direction vectors

गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में इकाई वेक्टर है, यानी,

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

where ‖u‖ is the norm (or length) of u. The term normalized vector is sometimes used as a synonym for unit vector.

Unit vectors are often chosen to form the basis of a vector space, and every vector in the space may be written as a linear combination of unit vectors.

Orthogonal coordinates

Cartesian coordinates

Main article: Standard basis

Unit vectors may be used to represent the axes of a Cartesian coordinate system. For instance, the standard unit vectors in the direction of the x, y, and z axes of a three dimensional Cartesian coordinate system are

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे आमतौर पर रैखिक बीजगणित में मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

उन्हें अक्सर सामान्य सदिश संकेतन (जैसे, 'i' या गणित alt= वेक्टर i >\vec{\imath}</math>) मानक इकाई वेक्टर नोटेशन के बजाय (उदा., $\mathbf {\hat {\imath }}$). अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k, (or ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ तथा ${\vec {k}}$) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के छंद हैं। अंकन Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "उ" found.in 1:97"): {\displaystyle (\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})< /math>, <math alt= x-hat उप 1, x-hat उप 2, x-hat उप 3 >(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \ mathbf{\hat{x}}_3)} , $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\ mathbf{\hat {e}}_{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$, Circumflex#Mathematics के साथ या उसके बिना भी उपयोग किया जाता है,विशेष रूप से ऐसे संदर्भों में जहां i, j, k अन्य मात्रा के साथ भ्रम पैदा कर सकता है (उदाहरण के लिए अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों जैसे i, j, k, जो किसी तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किए जाते हैं एक सेट या सरणी या चर के अनुक्रम)।

जब अंतरिक्ष में एक इकाई वेक्टर को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है # i, j, k के रैखिक संयोजन के रूप में कार्टेशियन नोटेशन के साथ एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हुए, इसके तीन स्केलर घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। प्रत्येक घटक का मान यूनिट वेक्टर द्वारा संबंधित आधार वेक्टर के साथ गठित कोण के कोसाइन के बराबर है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष के खंड (वेक्टर (ज्यामिति)) के अभिविन्यास (गणित) (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

See also: Jacobian matrix

बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं:

• ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (जिसे $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ सममिति के अक्ष से बिंदु की दूरी मापी जाती है;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, उस गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसे देखा जाएगा यदि बिंदु समरूपता अक्ष के बारे में वामावर्त घूम रहा हो;
• $\mathbf {\hat {z}}$, सममिति अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है;

वे कार्तीय आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ द्वारा:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\ ^{x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

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सदिश ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य हैं गणित alt= निर्देशांक phi >\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं हैं। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकरण करते समय, इन यूनिट वैक्टरों को स्वयं भी संचालित किया जाना चाहिए। डेरिवेटिव के संबंध में गणित> \varphi</math> हैं:

<math alt= phi के संबंध में rho-hat का आंशिक व्युत्पन्न x-hat दिशा में phi की ऋण ज्या के बराबर है और y-hat दिशा में phi की कोसाइन बराबर phi-hat >\frac{\partial \boldsymbol{\ Hat{\rho}}} {\आंशिक \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi }</math>

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गोलाकार निर्देशांक

गोलीय सममिति के लिए उपयुक्त इकाई सदिश हैं: $\mathbf {\hat {r}}$, वह दिशा जिसमें मूल से त्रिज्यीय दूरी बढ़ती है; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, वह दिशा जिसमें x-y समतल में धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त कोण बढ़ रहा है; और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, वह दिशा जिसमें धनात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है। अभ्यावेदन के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण $\theta$ आमतौर पर शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ और Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "क" found.in 1:17"): {\displaystyle की भूमिकाओं के रूप में [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी आदेशित त्रिक के संदर्भ पर ध्यान देना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। \boldsymbol{\hat \theta}} अक्सर उलटे होते हैं। यहाँ, अमेरिकी भौतिकी सम्मेलन प्रयोग किया जाता है। यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है $\varphi$ बेलनाकार निर्देशांक के समान ही परिभाषित किया गया है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "थ" found.in 3:13"): {\displaystyle :<math alt= थीटा-हैट एक्स-हैट दिशा में फाई की थीटा गुणा कोसाइन के बराबर है और वाई-हैट दिशा में फाई की थीटा गुणा ज्या की कोसाइन के बराबर है। \hat \theta} = \cos \theta \cos \value\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \value\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\ टोपी{z}}}

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

गोलाकार इकाई वैक्टर दोनों पर निर्भर करते हैं गणित alt= phi >\varphi</math> और गणित alt= थीटा > \theta</math>, और इसलिए 5 गैर-शून्य डेरिवेटिव संभव हैं। अधिक संपूर्ण विवरण के लिए, जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक देखें। गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \ballsymbolin 1:166"): {\displaystyle \frac{\partial\mathbf{\hat{r}}} {\partial\varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\ballsymbol{\hat \varphi}}

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \ballin 1:184"): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x }} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}= \ball Symbol{\hat \theta}}

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "थ" found.in 1:133"): {\displaystyle \frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \varphi} =-\cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{\theta}} + \cos\ थीटा \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \cos \थीटा\boldsymbol{\hat\varphi}}

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \ballin 1:31"): {\displaystyle \frac{\partial \ball Symbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x } } - \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \cos \theta\mathbf{\hat{z}} = -\mathbf{\hat{r}}}

<गणित alt= फाई के संबंध में फाई-हैट का आंशिक व्युत्पन्न एक्स-हैट दिशा में फाई की माइनस कोसाइन के बराबर है वाई-हैट दिशा में फाई की साइन माइनस आर-हैट दिशा में थीटा की माइनस कोसाइन थीटा की कोसाइन थीटा-हैट दिशा में >\frac{\partial \ballsymbol{\hat{\varphi}}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi \ मैथबीएफ {\ हैट {वाई}} = - \ पाप \ थीटा \ गणित बीएफ {\ हैट {आर}} - \ कॉस \ थीटा \ बॉलसिंबल {\ हैट {\ थीटा} </ गणित>

सामान्य इकाई वैक्टर

Main article: Orthogonal coordinates

यूनिट वैक्टर के सामान्य विषय भौतिकी और ज्यामिति में पाए जाते हैं:

Unit vector	Nomenclature	Diagram
Tangent vector to a curve/flux line	$\mathbf {\hat {t}}$	"200px" "200px" A normal vector $\mathbf {\hat {n}}$ to the plane containing and defined by the radial position vector $r\mathbf {\hat {r}}$ and angular tangential direction of rotation $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component	$\mathbf {\hat {n}}$ In terms of polar coordinates; $\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$
Binormal vector to tangent and normal	$\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}}$
Parallel to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$	"200px" One unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\parallel }$ aligned parallel to a principal direction (red line), and a perpendicular unit vector $\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$ is in any radial direction relative to the principal line.
Perpendicular to some axis/line in some radial direction	$\mathbf {\hat {e}} _{\bot }$
Possible angular deviation relative to some axis/line	$\mathbf {\hat {e}} _{\angle }$	"200px" Unit vector at acute deviation angle φ (including 0 or π/2 rad) relative to a principal direction.

वक्रीय निर्देशांक

सामान्य तौर पर, एक समन्वय प्रणाली को विशिष्ट रूप से कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई वैक्टर का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है $\mathbf {\hat {e}} _{n}$(वास्तविक संख्या अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)। साधारण 3-स्पेस के लिए, इन वैक्टर को $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$. सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और दाहिने हाथ का नियम | राइट-हैंड होने के लिए परिभाषित करना लगभग हमेशा सुविधाजनक होता है:

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}$

$\mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}$

कहाँ पे $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है (जो i = j के लिए 1 है, और अन्यथा 0 है) और $\varepsilon _{ijk}$ लेवी-सिविता प्रतीक है (जो 1 के लिए है क्रमचय को ijk के रूप में क्रमित किया गया है, और -1 क्रमपरिवर्तन के लिए kji के रूप में क्रमित किया गया है)।

दायाँ छंद

एक इकाई वेक्टर में $\mathbb {R} ^{3}$ डब्ल्यू आर हैमिल्टन द्वारा एक सही छंद कहा जाता था, क्योंकि उन्होंने अपने चतुष्कोणों को विकसित किया था $\mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}$. वास्तव में, वह सदिश शब्द के प्रवर्तक थे, जैसा कि हर चतुष्कोणीय है $q=s+v$ एक अदिश भाग s और एक सदिश भाग v है। यदि v एक इकाई सदिश है $\mathbb {R} ^{3}$, तो चतुष्कोणों में v का वर्ग -1 है। इस प्रकार यूलर के सूत्र द्वारा, $\exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta$ 3-क्षेत्र में एक छंद है। जब θ एक समकोण है, छंद एक समकोण छंद है: इसका अदिश भाग शून्य है और इसका सदिश भाग v एक इकाई सदिश है $\mathbb {R} ^{3}$.

यह भी देखें

• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• निर्देशांक तरीका
• वक्रीय निर्देशांक
• चार-वेग
• जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
• सामान्य वेक्टर
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
• मानक आधार
• इकाई अंतराल
• इकाई इकाई वर्ग, इकाई घन, इकाई वृत्त, इकाई गोला, और इकाई अतिपरवलय
• वेक्टर संकेतन
• लोगों का वेक्टर
• यूनिट मैट्रिक्स

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• वेक्टर अंकन

संदर्भ

• G. B. Arfken & H. J. Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists (5th ed.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Schaum's Outlines: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (2nd ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.