हॉसडॉर्फ दूरी

गणित में हॉसडॉर्फ दूरी या हॉसडॉर्फ मीट्रिक को पोम्पेउ-हॉउसडॉर्फ दूरी भी कहा जाता है यह एक मीट्रिक स्थान के दो उपसमुच्चयों की एक दूसरे से दूरी मापता हैं। यह गैर-रिक्त समुच्चय के समुच्चय को परिवर्तित कर देता है, मीट्रिक स्पेस के गैर-रिक्त सघन स्थान उपसमुच्चयअपने आप को मीट्रिक स्थान में परिवर्तित कर देता है। इसका नाम फेलिक्स हॉसडॉर्फ और डेमेट्रियस पॉम्पी के नाम पर रखा गया है।

अनौपचारिक रूप से हॉसडॉर्फ दूरी में दो समुच्चय निकट होते हैं यदि समुच्चय के प्रत्येक बिंदु दूसरे समुच्चय के किसी बिंदु के निकट है। हॉसडॉर्फ दूरी वह सबसे लंबी दूरी है जहाँ आपको विपक्षी द्वारा जाने के लिए प्रेरित किया जाता है जो दो समुच्चयों में से एक में बिंदु का चुनाव करता है जहां से आपको दूसरे समुच्चय की ओर जाना चाहिये। दूसरे शब्दों में यह दूरी समुच्चय में एक बिंदु से दूसरे समुच्चय में निकटतम बिंदु तक की सभी दूरियों में से सबसे बड़ी है।

इस दूरी को हॉसडॉर्फ ने पहली बार 1914 में प्रथम बार प्रकाशित अपनी पुस्तक ग्रंडजुगे डेर मेंजेनलेह्रे में प्रस्तुत किया था जबकि मौरिस रेने फ्रेचेट के डॉक्टरेट थीसिस में एक बहुत निकटतम सम्बन्धी $[0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ सम्मुख आया था।

परिभाषा

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ग्रीन कर्व X और ब्लू कर्व Y के बीच हॉसडॉर्फ दूरी की गणना के घटक।

माना कि X और Y मीट्रिक स्पेस के दो गैर-रिक्त उपसमुच्चय $(M,d)$ हैं, हम उनकी हॉसडॉर्फ दूरी को $d_{\mathrm {H} }(X,Y)$ द्वारा

परिभाषित करते हैं,

$d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max \left\{\,\sup _{x\in X}d(x,Y),\,\sup _{y\in Y}d(X,y)\,\right\},\!$

जहाँ sup सर्वोच्चता का प्रतिनिधित्व करता है, इन्फ़ीमुम का प्रतिनिधित्व करता है और जहाँ $d(a,B)=\inf _{b\in B}d(a,b)$ एक बिंदु $a\in X$ उपसमुच्चय की $B\subseteq X$ से दूरी की गणना करता है।

समान रूप से,

$d_{H}(X,Y)=\inf\{\varepsilon \geq 0\,;\ X\subseteq Y_{\varepsilon }{\text{ and }}Y\subseteq X_{\varepsilon }\},\quad$

जहाँ

$X_{\varepsilon }:=\bigcup _{x\in X}\{z\in M\,;\ d(z,x)\leq \varepsilon \},$

अर्थात् भीतर सभी बिंदुओं का समुच्चय $\varepsilon$ समुच्चय $X$ का (कभी-कभी $X$ का $\varepsilon$- मोटा होना या त्रिज्या $\varepsilon$ की सामान्यीकृत गेंद (गणित) $X$ के आस-पास कहा जाता है).

समान रूप से,

$d_{H}(X,Y)=\sup _{w\in M}\left|\inf _{x\in X}d(w,x)-\inf _{y\in Y}d(w,y)\right|=\sup _{w\in X\cup Y}\left|\inf _{x\in X}d(w,x)-\inf _{y\in Y}d(w,y)\right|,$

वह है $d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\sup _{w\in M}|d(w,X)-d(w,Y)|$

जहाँ समुच्चय $X$ की बिंदु $w$ से दूरी $d(w,X)$ है।

टिप्पणी

यह स्वेच्छाचारी उपसमुच्चय $X,Y\subset M$ जो कि $$