स्टेनर दीर्घवृत्त

एक समद्विबाहु त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त। त्रिभुज के अंदर तीन रेखा खंड त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं, प्रत्येक एक भुजा को द्विभाजित करती है। माध्यिकाएँ त्रिभुज के केन्द्रक पर मेल खाती हैं, जो स्टेनर दीर्घवृत्त का केंद्र भी है।

Not to be confused with स्टेनर शांकव.

ज्यामिति में, त्रिभुज के स्टीनर दीर्घवृत्त को स्टेनर परिधि वृत्त भी कहा जाता है जिसे स्टेनर दीर्घवृत्त से अलग करने के लिए स्टेनर वृत्ताकार कहा जाता है, यह एक विशिष्ट परिधि होती है और दीर्घवृत्त जो त्रिभुज को इसके शीर्ष ज्यामिति पर स्पर्श करती है। जिसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक होता है। जैकब स्टेनर के नाम पर इसका नाम रखा गया, यह परिधि का उदाहरण है। त्रिभुज के वृत्ताकार की तुलना करते हुए एक अन्य वृत्ताकार है जो त्रिभुज को उसके शीर्षों पर स्पर्श करता है, लेकिन त्रिभुज के केंद्रक पर तब तक केंद्रित नहीं होता है जब तक कि त्रिभुज समबाहु त्रिभुज न हो।

स्टेनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल ${\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}},$ के बराबर होता है और इसलिए स्टेनर अतिदीर्घवृत्त का क्षेत्रफल 4 गुना होता है। और स्टीनर दीर्घवृत्त में त्रिभुज के चारों ओर परिचालित किसी भी दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल सबसे कम होता है।

स्टेनर दीर्घवृत्त स्केल्ड स्टेनर अतिदीर्घवृत्त कारक 2, केंद्र केन्द्रक है। इसलिए दोनों दीर्घवृत्त समान होते हैं और उनमें एक ही उत्केन्द्रता होती हैं।

गुण

File:Steiner-ellipse-12.svg

एक समबाहु (बाएं) और समद्विबाहु त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त

• स्टेनर दीर्घवृत्त केवल दीर्घवृत्त है, जिसका केंद्र त्रिभुज $ABC$ का केन्द्रक $S$ होता है और इसमें बिंदु $A,B,C$. के रूप में होते हैं। स्टेनर दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का ${\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$- गुना होता है।

प्रमाण

ए) एक समबाहु त्रिभुज के लिए स्टेनर दीर्घवृत्त वृत्ताकार होता है, जो केवल दीर्घवृत्त है, जो पूर्व शर्तों को पूरा करता है। अभीष्ट दीर्घवृत्त में दीर्घवृत्त के केंद्र में परावर्तित त्रिभुज को समाहित होना चाहिए। यह वृत्ताकार के लिए सच है। एक शंकु खंड विशिष्ट रूप से 5 बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसलिए वृत्ताकार केवल स्टेनर दीर्घवृत्त होता है।

बी) क्योंकि एक यादृच्छिक त्रिभुज समबाहु त्रिभुज की समभुज आकृति होती हैं। एक दीर्घवृत्त इकाई वृत्त की एफफाइन छवि है और त्रिभुज के केन्द्रक को छवि त्रिभुज के केन्द्रक पर मैप किया जाता है, यह गुण किसी भी त्रिभुज के लिए केंद्र के साथ एक अनूठा परिपथ है जैसा कि केंद्र किसी भी त्रिभुज के लिए सत्य है।

एक समबाहु त्रिभुज के वृत्ताकार का क्षेत्रफल ${\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}$- है त्रिभुज के क्षेत्रफल का.एक एफफाइन नक्शा क्षेत्रों के अनुपात को संरक्षित करता है। इसलिए अनुपात पर कथन किसी भी त्रिभुज और उसके स्टेनर दीर्घवृत्त के लिए सत्य है।

संयुग्मी बिंदुओं का निर्धारण

एक दीर्घवृत्त को कंप्यूटर या हाथ से खींचा जा सकता है, अगर केंद्र के अलावा संयुग्मित व्यास पर कम से कम दो संयुग्म बिंदु इस स्थिति में ज्ञात हों।

• या तो कोई रिट्ज के निर्माण द्वारा दीर्घवृत्त के शीर्ष को निर्धारित करता है और एक उपयुक्त दीर्घवृत्त कम्पास के साथ दीर्घवृत्त को निर्धारित करता है।
• या दीर्घवृत्त आरेखित करने के लिए परमापीय का उपयोग करता है।

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स्टेनर दीर्घवृत्त पर संयुग्मी बिंदु निर्धारित करने के चरण 1) त्रिभुज का एक समद्विबाहु त्रिभुज में रूपांतरण
2) बिंदु का निर्धारण $D$ जो संयुग्मित है $C$ (चरण 1–5)
3) संयुग्मित अर्धव्यास के साथ दीर्घवृत्त खींचना $SC,SD$

जहाँ $ABC$ को त्रिभुज और उसका केंद्र $S$. अक्ष के साथ मानचित्रण $d$ के माध्यम से $S$ और समानांतर $AB$ त्रिभुज को समद्विबाहु त्रिभुज में बदल देता है $A'B'C'$ (आरेख देखें)। बिंदु $C'$ त्रिभुज के स्टेनर दीर्घवृत्त $A'B'C'$ का शीर्ष है और दूसरा शिखर $D$ इस दीर्घवृत्त पर स्थित है $d$, चूंकि $d$ के लंबवत है $SC'$ समरूपता कारणों के लिए है। यह शीर्ष डेटा से निर्धारित किया जा सकता है केंद्र के साथ दीर्घवृत्त $S$ के माध्यम से $C'$ और $B'$, $|A'B'|=c$) गणना द्वारा। परिणाम यह निकला है।

$|SD|={\frac {c}{\sqrt {3}}}\ .$

ड्राइंग द्वारा: डे ला हायर की विधि का उपयोग करके समद्विबाहु त्रिभुज $A'B'C'$ के स्टेनर दीर्घवृत्त का शीर्ष $D$ निर्धारित किया जाता है।(केंद्र आरेख देखें)

व्युत्क्रम स्पीयर मानचित्रण $C'$ को $C$ और बिंदु $D$ पर वापस ले जाता है, क्योंकि यह स्पीयर अक्ष पर एक बिंदु है। इसलिए अर्ध व्यास $SD$ के लिए संयुग्मित $SC$ है

सयुग्मित अर्धव्यास की इस जोड़ी की मदद से दीर्घवृत्त को हाथ से या कंप्यूटर द्वारा खींचा जा सकता है।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व और समीकरण

अक्षो और कोनो सहित त्रिभुज का स्टेनर दीर्घवृत्त (बैंगनी)

दिया गया: त्रिभुज $\ A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2}),\;C=(c_{1},c_{2})$

वांटेड: इसके स्टेनर दीर्घवृत्त का परमापीय प्रतिनिधित्व और समीकरण है।

त्रिभुज का केंद्र है $\ S=({\tfrac {a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}},{\tfrac {a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}})\ .$

परमापीय प्रतिनिधित्व:

पिछले खंड की जांच से स्टेनर दीर्घवृत्त का निम्नलिखित परमापीय प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है

• $\ {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \;.$
• दीर्घवृत्त के चार शीर्ष होते हैं $\quad {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),\$ जहाँ $t_{0}$ से आता है

$\cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad$ साथ $\quad {\vec {f}}_{1}={\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {AB}}\quad$ ( दीर्घवृत्त देखें)।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व निर्धारित करने के लिए बिंदुओं की भूमिका को बदला जा सकता है।

उदाहरण (आरेख देखें): $A=(-5,-5),B=(0,25),C=(20,0)$.

File:Steiner-ellipse-4.svg

समीकरण के लिए उदाहरण के रूप में स्टेनर दीर्घवृत्त

समीकरण:

यदि मूल त्रिभुज का केन्द्रक है स्टीनर दीर्घवृत्त का केंद्र है। परमापीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप समीकरण इस प्रकार है${\textstyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}$ है

• $\ (xf_{2y}-yf_{2x})^{2}+(yf_{1x}-xf_{1y})^{2}-(f_{1x}f_{2y}-f_{1y}f_{2x})^{2}=0\ ,$ साथ $\ {\vec {f}}_{i}=(f_{ix},f_{iy})^{T}\$.

उदाहरण: त्रिभुज का केंद्र $\quad A=(-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}},-{\tfrac {3}{2}}),\ B=({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},-{\tfrac {3}{2}}),\ C=({\sqrt {3}},3)\quad$के मूल है। वैक्टर

${\vec {f}}_{1}=({\sqrt {3}},3)^{T},\ {\vec {f}}_{2}=(2,0)^{T}\$ स्टेनर दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त होता है।

$9x^{2}+7y^{2}-6{\sqrt {3}}xy-36=0\ .$

अर्ध-अक्ष और रैखिक विलक्षणता का निर्धारण

यदि शीर्ष पहले से ही ज्ञात हैं (ऊपर देखें), तो अर्ध अक्षों का निर्धारण किया जा सकता है। यदि कोई केवल अक्षों और उत्केंद्रता में केवल रुचि रखता है, तो निम्नलिखित विधि अधिक उपयुक्त है

जहाँ $a,b,\;a>b$ स्टीनर दीर्घवृत्त के अर्ध अक्ष है। दीर्घवृत्त के संयुग्मित अर्ध व्यास के गुणों पर संयुग्मित व्यास पर अपोलोनियोस के प्रमेय से मिलता है

$a^{2}+b^{2}={\vec {SC}}^{2}+{\vec {SD}}^{2}\ ,\quad a\cdot b=\left|\det({\vec {SC}},{\vec {SD}})\right|\ .$

जहाँ समीकरणों के दाहिने हाथ पक्षों को को क्रमशः $M$ और $N$ द्वारा नकारना और गैर रेखीय प्रणाली को बदलना है (क्रमानुसार $a>b>0$) फलस्वरूप होता है

$a^{2}+b^{2}=M,\ ab=N\quad \rightarrow \quad a^{2}+2ab+b^{2}=M+2N,\ a^{2}-2ab+b^{2}=M-2N$

$\rightarrow \quad (a+b)^{2}=M+2N,\ (a-b)^{2}=M-2N\quad \rightarrow \quad a+b={\sqrt {M+2N}},\ a-b={\sqrt {M-2N}}\ .$

$a$ और $b$ के लिए हल करने से अर्ध अक्ष प्राप्त होता है

• $\ a={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\ ,\qquad b={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\ ,$

साथ $\qquad M={\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\ ,\quad N={\frac {1}{\sqrt {3}}}|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})|\qquad$.

स्टेनर दीर्घवृत्त की रेखीय उत्केन्द्रता होती है

• $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\cdots ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .$

और क्षेत्र

• $F=\pi ab=\pi N={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\left|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})\right|$

किसी को इस लेख में अन्य अर्थों के साथ इस खंड में $a,b$ को भ्रमित नहीं करना चाहिए!

त्रिरेखीय समीकरण

ट्रिलिनियर निर्देशांक में स्टेनर परिधि का समीकरण है

$bcyz+cazx+abxy=0$

साइड की लंबाई के लिए ए, बी, सी है।

अर्द्ध अक्षों और रैखिक विलक्षणता की वैकल्पिक गणना

अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षो लंबाई ए, बी, सी के साथ त्रिभुज की लंबाई होती है

${\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},$

और फोकल लंबाई

${\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}$

जहाँ

$Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.$

फोकी को त्रिभुज का बिकार्ट बिंदु कहा जाता है।

यह भी देखें

• त्रिभुज शंकु

संदर्भ

• Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: The Universe of Conics, Springer 2016, ISBN 978-3-662-45449-7, p.383