सिंक फिल्टर

File:Sinc function (normalized).svg

सामान्यीकृत sinc फ़ंक्शन, sinc फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया।

आयताकार समारोह, sinc फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया।

सिग्नल प्रोसेसिंग में, एक sinc फ़िल्टर एक आदर्श फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) है जो कम आवृत्तियों को प्रभावित किए बिना, किसी दिए गए कटऑफ आवृत्ति से ऊपर के सभी आवृत्ति घटकों को हटा देता है, और रैखिक चरण प्रतिक्रिया होती है। फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया समय डोमेन में एक sinc फ़ंक्शन है, और इसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया एक आयताकार फ़ंक्शन है।

यह आवृत्ति के अर्थ में एक आदर्श लो-पास फिल्टर है, जो कम आवृत्तियों को पूरी तरह से पारित करता है, उच्च आवृत्तियों को पूरी तरह से काटता है; और इस प्रकार इसे ईंट-दीवार फिल्टर माना जा सकता है।

रीयल-टाइम फ़िल्टर केवल इस आदर्श का अनुमान लगा सकते हैं, क्योंकि एक आदर्श sinc फ़िल्टर (उर्फ आयताकार फ़िल्टर) कारण फ़िल्टर|गैर-कारण है और इसमें अनंत विलंब होता है, लेकिन यह आमतौर पर वैचारिक प्रदर्शनों या प्रमाणों में पाया जाता है, जैसे कि न्यक्विस्ट-शैनन सैंपलिंग प्रमेय और व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला।

गणितीय शब्दों में, वांछित आवृत्ति प्रतिक्रिया आयताकार कार्य है:

$H(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B}}\right)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|f|>B,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|f|=B,\\1,&{\text{if }}|f|<B,\end{cases}}$

कहाँ पे $B\,$ एक मनमाना कटऑफ आवृत्ति (उर्फ बैंडविड्थ) है। इस तरह के एक फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया निरंतर फूरियर रूपांतरण द्वारा दी जाती है # आवृत्ति प्रतिक्रिया के महत्वपूर्ण फूरियर रूपांतरण की तालिकाएं:

${\begin{aligned}h(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{H(f)\}&=\int _{-B}^{B}\exp(2\pi ift)\,df\\&=2B\operatorname {sinc} (2Bt)\end{aligned}}$

जहां sinc सामान्यीकृत sinc फ़ंक्शन है।

चूंकि sinc फ़िल्टर में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों समय दिशाओं में अनंत आवेग प्रतिक्रिया होती है, इसलिए इसे वास्तविक दुनिया (गैर-सार) अनुप्रयोगों के लिए अनुमानित किया जाना चाहिए; इसके बजाय अक्सर एक विंडो फ़ंक्शन sinc फ़िल्टर का उपयोग किया जाता है। किसी भी व्यावहारिक वास्तविक दुनिया डेटा सेट पर इसका उपयोग करने के लिए एक sinc फ़िल्टर कनवल्शन कर्नेल को घुमावदार और छोटा करना इसके आदर्श गुणों को कम करता है।

ईंट-दीवार फिल्टर

पास बैंड में पूर्ण संचरण के साथ एक आदर्श इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर, स्टॉप बैंड में पूर्ण क्षीणन, और अचानक संक्रमण को बोलचाल की भाषा में ईंट-दीवार फ़िल्टर (ट्रांसफर फ़ंक्शन के आकार के संदर्भ में) के रूप में जाना जाता है। sinc फ़िल्टर एक ईंट-दीवार कम-पास फ़िल्टर है, जिससे ईंट-दीवार बैंड-पास फ़िल्टर और उच्च-पास फ़िल्टर आसानी से बनाए जाते हैं।

आवृत्ति बी . पर ईंट-दीवार कटऑफ के साथ लोपास फ़िल्टर_L द्वारा दिया गया आवेग प्रतिक्रिया और स्थानांतरण कार्य है:

$h_{LPF}(t)=2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)$

$H_{LPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).$

निचले बैंड किनारे B . के साथ बैंड-पास फ़िल्टर_L और ऊपरी बैंड किनारे B_H केवल दो ऐसे sinc फ़िल्टर का अंतर है (चूंकि फ़िल्टर शून्य चरण हैं, उनकी परिमाण प्रतिक्रियाएं सीधे घट जाती हैं):

$h_{BPF}(t)=2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)-2B_{L}\operatorname {sinc} \left(2B_{L}t\right)$

$H_{BPF}(f)=\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right)-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{L}}}\right).$

निचले बैंड किनारे B . के साथ उच्च-पास फ़िल्टर_H केवल एक पारदर्शी फ़िल्टर माइनस एक sinc फ़िल्टर है, जो यह स्पष्ट करता है कि Dirac डेल्टा फ़ंक्शन एक संकीर्ण-इन-टाइम sinc फ़िल्टर की सीमा है:

$h_{HPF}(t)=\delta (t)-2B_{H}\operatorname {sinc} \left(2B_{H}t\right)$

$H_{HPF}(f)=1-\operatorname {rect} \left({\frac {f}{2B_{H}}}\right).$

वास्तविक समय में चलने वाले ईंट-दीवार फ़िल्टर भौतिक रूप से प्राप्य नहीं हैं क्योंकि उनके पास अनंत विलंबता है (यानी, आवृत्ति डोमेन में इसका कॉम्पैक्ट समर्थन इसकी समय प्रतिक्रिया को कॉम्पैक्ट समर्थन नहीं होने के लिए मजबूर करता है जिसका अर्थ है कि यह हमेशा तक चलने वाला है) और अनंत क्रम (यानी, प्रतिक्रिया को एक सीमित राशि के साथ एक रैखिक अंतर समीकरण के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है), लेकिन अनुमानित कार्यान्वयन कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं और उन्हें अक्सर ईंट-दीवार फिल्टर कहा जाता है।

आवृत्ति-डोमेन sinc

नाम sinc फ़िल्टर उस फ़िल्टर आकार पर भी लागू होता है जो समय में आयताकार होता है और आवृत्ति में एक sinc फ़ंक्शन होता है, जो आदर्श निम्न-पास sinc फ़िल्टर के विपरीत होता है, जो समय में sinc और आवृत्ति में आयताकार होता है। भ्रम की स्थिति में, इन्हें सिंक-इन-फ़्रीक्वेंसी और सिन-इन-टाइम के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जिसके अनुसार फ़िल्टर किस डोमेन में सिंक है।

सिंक-इन-फ़्रीक्वेंसी कैस्केड इंटीग्रेटर-कंघी फ़िल्टर, कई अन्य अनुप्रयोगों के बीच, लगभग सार्वभौमिक रूप से डेसीमेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेशन | डेल्टा-सिग्मा एनालॉग-टू-डिजिटल कनवर्टर के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे लागू करने में आसान होते हैं और लगभग इष्टतम होते हैं इस प्रयोग के लिए। सिंक-इन-फ़्रीक्वेंसी फ़िल्टर का सबसे सरल कार्यान्वयन एक समूह-औसत फ़िल्टर है, जिसे संचय-और-डंप फ़िल्टर के रूप में भी जाना जाता है। यह फ़िल्टर डेटा दर में कमी भी करता है।

File:Group averaging 4samples.png

4 नमूना समूह औसत फ़िल्टर का फ़िल्टर ट्रांसमिशन फ़ंक्शन

यह एन डेटा नमूने एकत्र करता है, उन्हें जमा करता है और आउटपुट के रूप में संचयक मूल्य प्रदान करता है। इस प्रकार, इस फ़िल्टर का डेसीमेशन फ़ैक्टर N है। इसे एक एफआईआर फिल्टर के रूप में मॉडल किया जा सकता है जिसमें सभी एन गुणांक बराबर होते हैं, इसके बाद एन-टाइम डाउनसैंपलिंग ब्लॉक होता है। फिल्टर की सादगी, केंद्रीय डेटा प्रोसेसिंग ब्लॉक के रूप में सिर्फ एक संचायक की आवश्यकता होती है, मजबूत अलियासिंग प्रभावों के साथ नाकाम कर दिया जाता है: एक एन नमूना फिल्टर उपनाम सभी क्षीण और बिना संकेत वाले सिग्नल घटक ऊपर पड़े हैं

${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$ 0 से तक के बेसबैंड तक ${\textstyle {\frac {f_{S}}{2N}}}$ (एफSइनपुट नमूना दर है)।

File:Group averaging 32samples.png

32 नमूना समूह औसत फ़िल्टर का फ़िल्टर ट्रांसमिशन फ़ंक्शन

फ़िल्टर प्रसंस्करण N नमूनों के औसत समूह में N/2 संचरण शून्य होता है।
16 नमूना समूह औसत फ़िल्टर का चित्र संचरण फ़ंक्शन दिखाता है कि ट्रांसमिशन फ़ंक्शन Nyquist आवृत्ति से ऊपर कैसा दिखता है।

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1kHz इनपुट डेटा दर पर काम कर रहे 16 नमूना समूह औसत फ़िल्टर का ट्रांसमिशन फ़ंक्शन, 4x Nyquist आवृत्ति तक बढ़ाया गया

स्थिरता

sinc फ़िल्टर BIBO स्थिरता नहीं है | बाउंडेड-इनपुट-बाउंडेड-आउटपुट (BIBO) स्थिर है। यही है, एक बाउंडेड इनपुट एक अनबाउंड आउटपुट का उत्पादन कर सकता है, क्योंकि sinc फ़ंक्शन के निरपेक्ष मान का इंटीग्रल अनंत है। एक बाउंडेड इनपुट जो एक अनबाउंड आउटपुट उत्पन्न करता है वह है sgn(sinc(t))। दूसरा पाप है(2 .)πबीटी) यू (टी), कटऑफ आवृत्ति पर समय 0 से शुरू होने वाली एक साइन लहर।

यह भी देखें

• लैंज़ोस रेज़म्पलिंग
• अलियासिंग
• एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर

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