सिंक फलन

"सिंक" redirects here. For वन्यजीव लाभ के क्षेत्रों के लिए यूनाइटेड किंगडम में उपयोग किया जाने वाला पदनाम, see प्रकृति संरक्षण के लिए महत्व का स्थल. For इस फलन पर आधारित सिग्नल प्रोसेसिंग फ़िल्टर, see सिंक फ़िल्टर.

गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में, सिंक फलन, जिसे sinc(x) द्वारा दर्शाया जाता है, इसके दो रूप हैं, सामान्यीकृत और असामान्यीकृत।

Sinc
File:Si sinc.svg Part of the normalized sinc (blue) and unnormalized sinc function (red) shown on the same scale
General information
सामान्य परिभाषा	$\operatorname {sinc} x={\begin{cases}{\dfrac {\sin x}{x}},&x\neq 0\\[2px]1,&x=0\end{cases}}$
आविष्कार की प्रेरणा	Telecommunication
समाधान की तिथि	1952
आवेदन के क्षेत्र	Signal processing, spectroscopy
Domain, Codomain and Image
डोमेन	$\mathbb {R}$
इमेज	$\left[-0.217234\ldots ,1\right]$
Basic features
समता	Even
Specific values
शून्य पर	1
+∞ पर मान	0
मान −∞ पर	0
मॅक्सिमा	1 at $x=0$
न्यूनतम	$-0.21723\ldots$ at $x=\pm 4.49341\ldots$
Specific features
रूट	$\pi k,k\in \mathbb {Z} _{\neq 0}$
Related functions
पारस्परिक	${\begin{cases}x\csc x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}$
व्युत्पन्न	$\operatorname {sinc} 'x={\begin{cases}{\dfrac {\cos x-\operatorname {sinc} x}{x}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}$
एंटीडेरिवेटिव	$\int \operatorname {sinc} x\,dx=\operatorname {Si} (x)+C$
Series definition
टेलर सीरीज	$\operatorname {sinc} x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{k}{x}^{2k}}{\left(2k+1\right)!}}$

गणित में, ऐतिहासिक असामान्यीकृत सिंक फलन को x ≠ 0 के लिए परिभाषित किया गया है।

$$\operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.$$

वैकल्पिक रूप से, असामान्य सिंक फलन को प्रायः प्रारूपकरण फलन कहा जाता है, जिसे Sa(x) के रूप में दर्शाया गया है। अंकीय संकेत प्रक्रिया और सूचना सिद्धांत में, सामान्यीकृत सिंक फलन को सामान्यतः x ≠ 0 के लिए परिभाषित किया जाता है:

$$\operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.$$

किसी भी स्थिति में, x = 0 पर मान को सीमित मान के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1$$

सभी वास्तविक के लिए a ≠ 0 (सीमा को स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है)।

सामान्यीकृत स्थिरांक के कारण वास्तविक संख्याओं पर फलन का अभिन्न 1 के समान हो जाता है (जबकि असामान्यीकृत साइन फलन के समान अभिन्न का मान π होता है।) उपयोगी गुण के रूप में, सामान्यीकृत सिंक फलन के शून्य x के अशून्य पूर्णांक मान हैं।

सामान्यीकृत सिंक फलन बिना किसी स्केलिंग के आयताकार फलन का फूरियर रूपांतरण है। इसका उपयोग सिग्नल के समान दूरी वाले प्रारूपों से निरंतर बैंडलिमिटेड सिग्नल के पुनर्निर्माण की अवधारणा में किया जाता है।

दोनों परिभाषाओं के मध्य मात्र अंतर π के कारक द्वारा स्वतंत्र चर (x अक्ष ) की स्केलिंग में है। दोनों स्थितियों में, शून्य पर विस्थापित योग्य विलक्षणता पर फलन का मान 1 होता है। तब सिंक फलन सभी समिष्ट विश्लेषणात्मक फलन होता है और इसलिए यह संपूर्ण फलन होता है।

फलन को कार्डिनल साइन या साइन कार्डिनल फलन भी कहा गया है। शब्द सिंक को फिलिप एम. वुडवर्ड ने अपने 1952 के लेख "सूचना सिद्धांत और दूरसंचार में प्रतिकूल संभावना" में प्रस्तुत किया था, जिसमें उन्होंने कहा था कि फलन फूरियर विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में इतनी बार होता है कि यह योग्य प्रतीत होता है अपने स्वयं के कुछ संकेतन", और उनकी 1953 की पुस्तक प्रोबेबिलिटी एंड इंफॉर्मेशन थ्योरी, विद एप्लीकेशंस टू रडार है।फलन को सर्वप्रथम गणितीय रूप से लॉर्ड रेले द्वारा अपनी अभिव्यक्ति (रेले के सूत्र) में पूर्व के जैसे शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फलन के लिए इस रूप में प्राप्त किया गया था।

गुण

File:Si cos.svg

असामान्य, लाल सिंक फलन के स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा (छोटे सफेद बिंदु) नीले कोसाइन फलन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से युग्मित होते हैं।

असामान्यीकृत सिंक की शून्य क्रॉसिंग π के अशून्य पूर्णांक गुणकों पर होती है, जबकि सामान्यीकृत सिंक की शून्य क्रॉसिंग अशून्य पूर्णांकों पर होती है।

असामान्य सिंक का स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमाकोज्या फलन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से युग्मित होता है। वह है, sin(ξ)/ξ = cos(ξ) सभी बिंदुओं के लिए ξ जहां का व्युत्पन्न sin(x)/x शून्य है और इस प्रकार स्थानीय शीर्ष पर पहुँच जाता है। यह सिंक फलन के व्युत्पन्न से निम्नानुसार है:

$${\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.$$

सकारात्मक x निर्देशांक के साथ n-वें शीर्ष के x निर्देशांक के लिए अनंत श्रृंखला के पहले कुछ पद हैं:

$$x_n=q-<!--\; -\; -->q^{-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{2}{3}{q}^{-<!--\; -\; -->3}-<!--\; -\; -->$$