संवलन प्रमेय

गणित में, संवलन प्रमेय में कहा गया है कि उपयुक्त परिस्थितियों में दो फलनों (या संकेत ) के संवलन का फूरियर रूपांतरण उनके फूरियर रूपांतरण का बिंदुवार उत्पाद है। सामान्यतः, एक डोमेन (जैसे, समय डोमेन) में संवलन दूसरे डोमेन (जैसे, आवृत्ति डोमेन ) में क्रमवार बिंदुओं के गुणन के बराबर होता है। संवलन प्रमेय के अन्य संस्करण फूरियर से संबंधित परिवर्तनों की विभिन्न सूची पर लागू होते हैं |

एक सतत चर के फलन

दो फलनों पर विचार करें $g(x)$ तथा $h(x)$ फूरियर रूपांतरण के साथ $G$ तथा $H$:

$${\begin{aligned}G(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{g\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \\H(f)&\triangleq {\mathcal {F}}\{h\}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }h(x)e^{-i2\pi fx}\,dx,\quad f\in \mathbb {R} \end{aligned}}$$

जहाँ पे ${\mathcal {F}}$ फूरियर रूपांतरण ऑपरेटर (गणित) को दर्शाता है। परिवर्तन को अन्य पद्यतियों से सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिस स्थिति में निरंतर स्केलिंग कारक (सामान्यतः $2\pi$ या ${\sqrt {2\pi }}$) नीचे दिए गए संवलन प्रमेय में दिखाई देगा। का संवलन $g$ तथा $h$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$r(x)=\{g*h\}(x)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(x-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }g(x-\tau )h(\tau )\,d\tau .$$

इस संदर्भ में, तारांकन मानक गुणन के अतिरिक्त दृढ़ संवलन को दर्शाता है। टेंसर उत्पाद प्रतीक $\otimes$ इसके अतिरिक्त कभी-कभी उपयोग किया जाता है।

संवलन प्रमेय कहता है कि:

$$R(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{r\}(f)=G(f)H(f).\quad f\in \mathbb {R}$$

(Eq.1a)

उलटा फूरियर रूपांतरण लागू करना ${\mathcal {F}}^{-1}$, परिणाम उत्पन्न करता है:

संवलन प्रमेय

$r(x)=\{g*h\}(x)={\mathcal {F}}^{-1}\{G\cdot H\},$

(Eq.1b)

यहाँ, $\cdot$ बिंदुवार गुणन को दर्शाता है

प्रमेय सामान्यतः बहु-आयामी फलनों पर भी लागू होता है।

Multi-dimensional derivation of Eq.1

Consider functions $g,h$ in L^p-space $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$, with Fourier transforms $G,H$:

$$\begin{array}{rl}G(f)& \triangleq <!--\; \triangleq \; -->\mathcal{F}\{g\end{array}$$