श्रृंखला नियम

This article is about the calculus concept. For the probability theory concept, see Chain rule (probability). see Chain rule (disambiguation).. For other uses, see श्रृंखला नियम (disambiguation).

गणना में, श्रृंखला नियम एक सूत्र है जो f और g के डेरिवेटिव के संदर्भ में दो विभिन्न फलन f और g की संरचना के व्युत्पन्न को व्यक्त करता है. यदि $h=f\circ g$ कार्यऐसा है कि $h(x)=f(g(x))$ तो x के लिए, लैग्रेंज के अंकन में श्रृंखला नियम है:

$h'(x)=f'(g(x))g'(x).$

या, समकक्ष:

$h'=(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.$

श्रृंखला नियम को लाइबनिज के अंकन में भी व्यक्त किया जा सकता है। यदि चर z, चर y पर निर्भर करता है, जो स्वयं चर x पर निर्भर करता है (अर्थात, y और z आश्रित चर हैं), तो z मध्यवर्ती चर y के माध्यम से x पर भी निर्भर करता है. इस मामले में, श्रृंखला नियम के रूप में व्यक्त किया गया है

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}},$ तथा

$\left.{\frac {dz}{dx}}\right|_{x}=\left.{\frac {dz}{dy}}\right|_{y(x)}\cdot \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x},$

यह इंगित करने के लिए कि किन बिंदुओं पर डेरिवेटिव का मूल्यांकन किया जाना है।

अभिन्न में, श्रृंखला नियम का समकक्ष प्रतिस्थापन नियम है।

सहज व्याख्या

सहज रूप से, श्रृंखला नियम कहता है कि y के सापेक्ष z के परिवर्तन की तात्कालिक दर और x के सापेक्ष y के परिवर्तन की तात्कालिक दर को जानने से व्यक्ति को परिवर्तन की दो दरों के उत्पाद के रूप में x के सापेक्ष z के परिवर्तन की तात्कालिक दर की गणना करने की अनुमति मिलती है।

जैसा कि जॉर्ज एफ. सीमन्स ने कहा है: "यदि कार साइकिल से दोगुनी गति से चलती है और साइकिल चलने वाले व्यक्ति की गति से चार गुना तेज है, तो कार व्यक्ति की गति से 2 × 4 = 8 गुना गति से चलती है" उदाहरण और श्रृंखला नियम के बीच का संबंध इस प्रकार है। z, y तथा x क्रमशः कार, साइकिल और चलने वाले आदमी की (चर) स्थितियाँ हैं। कार और साइकिल की आपेक्षिक स्थिति में परिवर्तन की दर है ${\textstyle {\frac {dz}{dy}}=2.}$ इसी प्रकार, ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=4.}$ तो, कार और चलने वाले आदमी की सापेक्ष स्थिति में परिवर्तन की दर है:

${\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=2\cdot 4=8.$

स्थिति परिवर्तन की दर गति का अनुपात है, और गति समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न है;

${\frac {dz}{dx}}={\frac {\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{dt}}},$

या, समकक्ष,

${\frac {dz}{dt}}={\frac {dz}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}},$

जो श्रृंखला नियम का भी अनुप्रयोग है।

इतिहास

ऐसा प्रतीत होता है कि श्रृंखला नियम का प्रयोग सबसे पहले गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो ने किया था। उन्होंने इसका उपयोग व्युत्पन्न की गणना ${\sqrt {a+bz+cz^{2}}}$ वर्गमूल कार्य और कार्य के संयोजन के रूप में $a+bz+cz^{2}\!$ के लिए किया. उन्होंने पहली बार इसका उल्लेख 1676 के संस्मरण (गणना में सांकेतिक त्रुटि के साथ) में किया था। श्रृंखला नियम का सामान्य संकेतन लाइबनिज के कारण है। गुइलौमे डे ल'हॉपिटल ने अपने अतिसूक्ष्म जीवों के विश्लेषण में निहित रूप से श्रृंखला नियम का इस्तेमाल किया। लियोनहार्ड यूलर की किसी भी विश्लेषण पुस्तक में श्रृंखला नियम प्रकट नहीं होता है, भले ही वे लीबनिज की खोज के सौ साल बाद लिखे गए हों।

कथन

श्रृंखला नियम का सबसे सरल रूप वास्तविक संख्या चर के वास्तविक-मूल्यवान फलनके लिए है। इसमें कहा गया है कि यदि g ऐसा कार्य है जो बिंदु c पर अवकलनीय है (अर्थात् व्युत्पन्न g′(c) मौजूद है) और f ऐसा कार्य है जो g(c) पर अवकलनीय है, तो संयुक्त कार्य c पर अवकलनीय है, और व्युत्पन्न है:

${(f\circ <!--\; \circ \; -->g)}^{\prime }(c)=f^{\prime }(g(c))\cdot <!--\; \cdot \; -->g^{\prime }$