वृत्ताकार फलन

सम्मिश्र विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में वृत्ताकार फलन एक विशेष प्रकार के मेरोमोर्फिक फलन फलन होते हैं, जो दो आवधिकता नियमो को पूरा करते हैं। इन्हें वृत्ताकार फलन नाम दिया गया है क्योंकि ये वृत्ताकार समाकलन से आते हैं। मूल रूप से वे अभिन्न अंग एक दीर्घवृत्त की चाप लंबाई की गणना पर घटित हुए थे।

महत्वपूर्ण वृत्ताकार कार्य जैकोबी वृत्ताकार कार्य और वीयरस्ट्रैस ℘\wp -फलन हैं।

इस सिद्धांत के आगे विकास से हाइपरलिप्टिक वक्र और मॉड्यूलर रूप सामने आते है।

परिभाषा

एक मेरोमॉर्फिक फलन को वृत्ताकार फलन कहा जाता है, यदि दो $\mathbb {R}$ -रैखिक स्वतंत्र सम्मिश्र संख्याएं $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ हों जैसे कि

$f(z+\omega _{1})=f(z)$ और $f(z+\omega _{2})=f(z),\quad \forall z\in \mathbb {C}$.

अतः वृत्ताकार फलनों के दो आवर्त होते हैं और इसलिए वे दोहरे आवर्त फलन होते हैं।

अवधि जालक और मौलिक डोमेन

समांतर चतुर्भुज जहां विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है

यदि $f$ आवर्त $\omega _{1},\omega _{2}$ वाला एक वृत्ताकार फलन है तो यह भी माना जाता है कि

$f(z+\gamma )=f(z)$

प्रत्येक रैखिक संयोजन के लिए $\gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ साथ $m,n\in \mathbb {Z}$.

एबेलियन समूह

$\Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}$

आवर्त जालक कहलाता है।

$\omega _{1}$और $\omega _{2}$द्वारा उत्पन्न समांतर चतुर्भुज है।

$\{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}$

$\Lambda$ का एक मौलिक डोमेन $\mathbb {C}$ पर कार्य कर रहा है।

ज्यामितीय रूप से सम्मिश्र तल को समांतर चतुर्भुजों से टाइल किया गया है। जो कुछ भी एक मौलिक क्षेत्र में होता है वह अन्य सभी में दोहराया जाता है। इस कारण से हम वृत्ताकार फलन को भागफल समूह $\mathbb {C} /\Lambda$ के साथ उनके डोमेन के रूप में देख सकते हैं। इस भागफल समूह को, जिसे वृत्ताकार वक्र कहा जाता है, एक समांतर चतुर्भुज के रूप में देखा जा सकता है जहाँ विपरीत भुजाओं की पहचान की जाती है, जो स्थलाकृतिक रूप से एक टोरस है।

लिउविले के प्रमेय

निम्नलिखित तीन प्रमेयों को जोसेफ लिउविले के प्रमेय (1847) के रूप में जाना जाता है।

पहला प्रमेय

एक होलोमोर्फिक वृत्ताकार फलन स्थिर होता है।

]यह लिउविल प्रमेय (सम्मिश्र विश्लेषण) का मूल रूप है|लिउविल प्रमेय और इसे इससे प्राप्त किया जा सकता है। एक होलोमोर्फिक वृत्ताकार फलन परिबद्ध है क्योंकि यह मौलिक डोमेन पर अपने सभी मान लेता है जो कॉम्पैक्ट है। तो यह लिउविल के प्रमेय द्वारा स्थिर है।

दूसरा प्रमेय

प्रत्येक वृत्ताकार फलन के $\mathbb {C} /\Lambda$ में परिमित रूप से कई ध्रुव होते हैं और इसके अवशेषों का योग शून्य होता है।

इस प्रमेय का तात्पर्य यह है कि मौलिक डोमेन में ऑर्डर एक के बिल्कुल एक ध्रुव या ऑर्डर एक के बिल्कुल एक शून्य के साथ शून्य के समान कोई वृत्ताकार फलन नहीं है।

तीसरा प्रमेय

एक गैर-स्थिर वृत्ताकार फलन प्रत्येक मान को बहुलता के साथ गिनने पर $\mathbb {C} /\Lambda$ में समान संख्या में लेता है।

वीयरस्ट्रैस ℘-फलन

Main article: वीयरस्ट्रैस वृत्ताकार फलन

सबसे महत्वपूर्ण वृत्ताकार कार्यों में से एक वीयरस्ट्रैस $\wp$ -फलन है। किसी दी गई अवधि जाली $\Lambda$ के लिए इसे परिभाषित किया गया है

$\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right).$

इसका निर्माण इस प्रकार किया गया है कि इसके प्रत्येक जाली बिंदु पर क्रम दो का एक खंभा है। शृंखला को अभिसरण बनाने के लिए शब्द $-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ उपस्थित है।

$\wp$ एक सम वृत्ताकार फलनहै जो $\wp (-z)=\wp (z)$ है।

इसका व्युत्पन्न

${\mathrm{\wp <!--\; \wp \; -->}}^{\prime }(z)=-<!--\; -\; -->2\underset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}$