रेडियल आधार फलन

रेडियल आधार फलन (आरबीएफ) वास्तविक मूल्यवान कार्य है, ${\textstyle \varphi }$ जिसका मान केवल इनपुट और कुछ निश्चित बिंदु, या तो मूल के मध्य की दूरी पर निर्भर करता है, जिससे कि ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$, या कुछ अन्य निश्चित बिंदु ${\textstyle \mathbf {c} }$, जिसे केंद्र कहा जाता है, जिससे कि ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}$ कोई फलन ${\textstyle \varphi }$ जो संपत्ति को संतुष्ट करता है, ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ रेडियल फलन है। सामान्यतः यूक्लिडियन दूरी होती है, चूँकि कभी-कभी अन्य दूरी कार्यों का उपयोग किया जाता है। वे प्रायः संग्रह के रूप में उपयोग किए जाते हैं $\{\varphi _{k}\}_{k}$ जो रुचि के कुछ कार्य स्थान के लिए आधार बनाता है।

रेडियल आधार कार्यों का योग सामान्यतः दिए गए कार्यों का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। इस सन्निकटन प्रक्रिया की व्याख्या साधारण प्रकार के तंत्रिका नेटवर्क के रूप में भी की जा सकती है; यह वह संदर्भ था जिसमें वे मूल रूप से 1988 में डेविड ब्रूमहेड और डेविड लोवे द्वारा मशीन लर्निंग पर प्रस्तावित किए गए थे, जो 1977 से माइकल जे. डी. पॉवेल के मौलिक शोध हैं। आरबीएफ का उपयोग सदिश वर्गीकरण में कर्नेल के रूप में भी किया जाता है। यह प्रौद्योगिकी प्रभावी और पर्याप्त रूप से कोमल सिद्ध हुई है कि रेडियल आधार कार्य अब विभिन्न प्रकार के अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में प्रस्तावित होते हैं।

परिभाषा

रेडियल फलन ${\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ है। जब सदिश स्थान पर मीट्रिक के साथ युग्मित किया जाता है, तो ${\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$ फलन ${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$ पर केन्द्रित रेडियल कर्नेल ${\textstyle \mathbf {c} }$ कहा जाता है, रेडियल फलन और संबंधित रेडियल कर्नेल को रेडियल आधार फलन कहा जाता है, यदि नोड्स के किसी भी समुच्चय के लिए $\{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}$है।

• कर्नेल $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। (उदाहरण के लिए $\varphi (r)=r^{2}$ में $V=\mathbb {R}$ रेडियल आधार कार्य नहीं है।)
• कर्नेल $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ हार स्थान के लिए आधार बनाते हैं, जिसका अर्थ इंटरपोलेशन आव्यूह है।

  $${\begin{bmatrix}\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{1}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{1}\|)\\\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{2}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{2}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{n}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{n}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{n}\|)\\\end{bmatrix}},$$

  (1)

  गैर-एकवचन है।

उदाहरण

सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले प्रकार के रेडियल आधार कार्यों में सम्मिलित हैं (लेखन $r=\Vert$