मास्टर समीकरण

For क्वांटम भौतिकी में प्रयुक्त कुशल समीकरण, see लिंडब्लाड समीकरण. For क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में मौलिक और क्वांटम कुशल समीकरण, see बटालिन-विलकोविस्की औपचारिकता. For कलन विधि जटिलता में मास्टर समीकरण का विश्लेषण किया गया, see मास्टर प्रमेय (एल्गोरिदम का विश्लेषण).

भौतिकी विज्ञान, रसायन विज्ञान संबंधित क्षेत्रों, मास्टर समीकरणों का उपयोग किसी प्रणाली के समय के विकास का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसे किसी भी समय ज्ञापन के संभावित संयोजन के रूप में तैयार किया जा सकता है और स्थितियों के बीच स्विचन अनुप्रयोग एक संक्रमण दर द्वारा निर्धारित किया जाता है। समीकरण अंतर समीकरणों का एक समुच्चय है - समय के साथ - उन संभावनाओं का जो प्रणाली में प्रत्येक अलग-अलग स्थितियों में व्याप्त कर लेता है।

नाम 1940 में प्रस्तावित किया गया था।

जब प्रारंभिक प्रक्रियाओं की संभावनाएं ज्ञात होती है, तो W के लिए निरंतरता समीकरण लिख सकते है, जिससे अन्य सभी समीकरण प्राप्त किए जा सकते है और जिसे हम "मास्टर" समीकरण कहते है।

— ब्रह्मांडीय-किरण वर्षा के प्रमाणित ांत में समूरीय मॉडल और उच्चावच की समस्या (1940)

परिचय

एक मास्टर समीकरण प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों का एक अभूतपूर्व समुच्चय है जो एक निरंतर समय चर t के संबंध में मौलिक यांत्रिकी के असतत समुच्चय में से प्रत्येक पर व्याप्त करने के लिए सामान्यतः समय के विकास की संभावना का वर्णन करता है। मास्टर समीकरण का सबसे परिचित रूप एक आव्यूह रूप होता है:

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} {\vec {P}},$

जहाँ ${\vec {P}}$ एक स्तंभ सदिश है, और $\mathbf {A}$ संयोजन का होता है। स्थितियों के बीच संबंध बनाने का विधि समस्या के आयाम को निर्धारित करता है; यह या तो है

• एक d-आयाम प्रणाली (जहां d 1,2,3,...) है, जहां कोई भी क्षेत्र का अपने 2डी निकटतम समीप से जुड़ा हुआ होता है, या
• एक नेटवर्क, जहां स्थिति की प्रत्येक जोड़ी का संयोजन हो सकता है (नेटवर्क के गुणों के आधार पर)।

जब संयोजन समय-स्वतंत्र दर स्थिरांक होते है, तो मास्टर समीकरण एक गतिज प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रक्रिया मार्कोवियन प्रक्रिया होती है (किसी भी कूदने का समय प्रायिकता घनत्व फलन स्थिति i के लिए एक घातीय होता है, संयोजन के मान के बराबर दर के साथ स्थापित होता है)। जब संयोजन वास्तविक समय पर निर्भर करते है (अर्थात $\mathbf {A}$ समय पर निर्भर करता है, $\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} (t)$ ), प्रक्रिया स्थिर नहीं होती है तो और मास्टर समीकरण का अध्ययन करते है

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\mathbf {A} (t){\vec {P}}.$

जब संयोजन बहु घातांकी, प्रायिकता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करते है, तो प्रक्रिया सेमी-मार्कोवियन प्रक्रिया होती है, और गति का समीकरण एक पूर्णांक-विभेदक समीकरण होते है जिसे सामान्यीकृत मास्टर समीकरण कहा जाता है:

${\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\int _{0}^{t}\mathbf {A} (t-\tau ){\vec {P}}(\tau )d\tau .$

गणित का सवाल $\mathbf {A}$ जन्म और मृत्यु का भी प्रतिनिधित्व कर सकता है , जिसका अर्थ है कि संभाव्यता अंतःक्षेपित (जन्म) है या प्रणाली (मृत्यु) से ली गई है, जहां प्रक्रिया संतुलन में नहीं है।

आव्यूह और प्रणाली के गुणों का विस्तृत विवरण

मान लेना $\mathbf {A}$ संक्रमण दर का वर्णन करने वाला है (जिसे गतिज दर या प्रतिक्रिया दर भी कहा जाता है)। सदैव की तरह, पहला पादांक पंक्ति का प्रतिनिधित्व करता है। अर्थात्, दूसरे स्रोत पादांक द्वारा और गंतव्य पहले पादांक द्वारा दिया जाता है। यह अपेक्षा के विपरीत होता है, किन्तु यह तकनीकी रूप से सुविधाजनक होता है।

k के लिए, व्यवसाय की संभावना में वृद्धि अन्य सभी स्थितियों से k के योगदान पर निर्भर करती है, और इसके द्वारा दी जाती है:

$\sum _{\ell }A_{k\ell }P_{\ell },$

जहाँ $P_{\ell }$ स्थितियो प्रणाली मे होने की संभावना होती है $\ell$, जबकि $\mathbf {A}$ संक्रमण-दर स्थिर (गणित) के संजाल से भरा हुआ होता है। इसी प्रकार, $P_{k}$ अन्य सभी स्थितियों के व्यावृति में योगदान देता है $P_{\ell },$

$\sum _{\ell }A_{\ell k}P_{k},$

संभाव्यता सिद्धांत में, यह विकास को निरंतर-समय की मार्कोव प्रक्रिया के रूप में पहचानता है, जिसमें एकीकृत मास्टर समीकरण चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरण का पालन करता है।

मास्टर समीकरण को सरल बनाया जा सकता है जिससे कि ℓ = k वाले पद योग में प्रकट नही होता है। यह गणना की अनुमति देता है यदि का $\mathbf {A}$ मुख्य विकर्ण परिभाषित नही होता है या एक एकपक्षीय मान निर्दिष्ट किया जाता है।

${\frac {dP_{k}}{dt}}=\sum _{\ell }(A_{k\ell }P_{\ell })=\sum _{\ell \neq k}(A_{k\ell }P_{\ell })+A_{kk}P_{k}=\sum _{\ell \neq k}(A_{k\ell }P_{\ell }-A_{\ell k}P_{k}).$

अंतिम समानता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि

$\sum _{\ell ,k}(A_{\ell k}P_{k})={\frac {d}{dt}}\sum _{\ell }(P_{\ell })=0$ क्योंकि संभावनाओं पर योग $P_{\ell }$ उत्पन्न, एक निरंतर फलन होता है। चूंकि इसे किसी भी संभावना के लिए धारण करना है ${\vec {P}}$ (और विशेष रूप से फॉर्म की किसी भी संभावना के लिए $P_{\ell }=\delta _{\ell k}$ कुछ के लिए) हमें मिलता है

${\displaystyle \sum _{\ell }(A_{\ell k})=0\qquad \for$