बम्प फलन (फंक्शन)

गणित में, एक बम्प फलन (जिसे परीक्षण फलन भी कहा जाता है)। एक फलन (गणित) $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर $\mathbb {R} ^{n}$है, जो दोनों सुचारू कार्य (सभी आदेशों के सतत कार्य यौगिक होने के अर्थ में) और समर्थन (गणित) सघन समर्थन। किसी फलन के प्रभाव क्षेत्र के साथ सभी बम्प फलन का $\mathbb {R} ^{n}$ निरूपित एक सदिश स्थान बनाता है। $\mathrm {C} _{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ या $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ एक उपयुक्त स्थानिक स्थान के साथ संपन्न इस स्थान का दोहरा स्थान परिभाषाएँ वितरण (गणित) का स्थान है।

उदाहरण

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1d बम्प फलन Ψ(x)।

कार्यक्रम $\Psi :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ के द्वारा दिया गया

$$\Psi (x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-x^{2}}}\right),&x\in (-1,1)\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

आयाम में बम्प फलन का एक उदाहरण है। निर्माण से यह स्पष्ट है कि इस फलन का सघन समर्थन है, क्योंकि रील्स रेखा के एक फलन में सघन समर्थन होता है, केवल यह बंद समर्थन को बाध्य करता है। सम का प्रमाण गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य लेख में चर्चा किए गए संबंधित फलन के समान ही होता है। इस फलन की व्याख्या गाऊसी फलन के रूप में की जा सकती है $\exp \left(-y^{2}\right)$ इकाई चक्र में उपयुक्त होने के लिए बढ़ाया गया: प्रतिस्थापन $y^{2}={1}/{\left(1-x^{2}\right)}$ भेजने से मेल खाता है $x=\pm 1$ प्रति $y=\infty .$ (वर्ग) बम्प फलन का एक सरल उदाहरण $n$ चर का उत्पाद लेकर प्राप्त किया जाता है $n$ उपरोक्त बम्प फलन की प्रतियां एक चर में हैं, इसलिए

$$\Phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Psi (x_{1})\Psi (x_{2})\cdots \Psi (x_{n}).$$

फलन बम्प का अस्तित्व

निर्माण में समूह का एक उदाहरण.

विशिष्टताओं के लिए बम्प कार्यों का निर्माण करना संभव है। औपचारिक रूप से कहा गया है, अगर $K$ में एक मनमाना कॉम्पैक्ट समुच्चय है $n$ आयाम और $U$ युक्त एक खुला समुच्चय है $K,$ एक बम्प फलन उपस्थित है $\phi$ जो है $1$ पर $K$ तथा $0$ के बाहर $U.$ तब से $U$ का एक बहुत छोटा समीपवर्ती स्थान माना जा सकता है $K,$ यह एक फलन बनाने में सक्षम होने के बराबर है $1$ पर $K$ और तेजी से गिर जाता है $0$ के बाहर $K,$ जबकि अभी भी सम है।

निर्माण निम्नानुसार आगे बढ़ता है। एक सघन समीपवर्ती स्थान पर विचार करता है $V$ का $K$ इसमें रखा $U,$ इसलिए $K\subseteq V^{\circ }\subseteq V\subseteq U.$ सूचक फलन $\chi _{V}$ का $V$ के बराबर होगा $1$ पर $V$ तथा $0$ के बाहर $V,$ तो विशेष रूप से, यह होगा $1$ पर $K$ तथा $0$ के बाहर $U.$ हालांकि यह फलन सम नहीं है। मुख्य विचार सम करना है $\chi _{V}$ थोड़ा सा, का घुमाव लेकर $\chi _{V}$ एक शमन करनेवाला के साथ है। उत्तरार्द्ध बहुत छोटे समर्थन के साथ एक बम्प कार्य है और जिसका अभिन्न अंग है $1.$ इस तरह के एक मोलिफायर को प्राप्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, बम्प फलन लेकर $\Phi$ पिछले अनुभाग से और उचित सपरिवर्तन करना।

वैकल्पिक निर्माण जिसमें आक्षेप शामिल नहीं है,अब विस्तृत है। किसी भी सुचारू कार्य से प्रारंभ करें $c:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ जो ऋणात्मक रील्स पर लुप्त हो जाता है और धनात्मक रील्स पर धनात्मक होता है (अर्थात, $c=0$ पर $(-\infty ,0)$ तथा $c>0$ पर $(0,\infty ),$ जहां बाएं से निरंतरता जरूरी है $$