फॉक समष्टि

फॉक समष्टि एक बीजगणितीय संरचना है जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक कण हिल्बर्ट समष्टि H से एक चर या अज्ञात संख्या के समान कणों मे क्वांटम यांत्रिकी समष्टि के निर्माण के लिए किया जाता है इसका नाम "वीए फॉक" के नाम पर रखा गया है जिन्होंने पहली बार इसे अपने 1932 के पेपर "विन्यास श्रम जेडव्हाइट क्वांटेलुंग" अर्थात "विन्यास समष्टि और दूसरा परिमाणीकरण" में प्रस्तुत किया था।

अनौपचारिक रूप से, फॉक समष्टि शून्य कण अवस्थाओ जैसे एक कण अवस्था, दो कण अवस्था और इसी प्रकार का प्रतिनिधित्व करने वाले हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के समुच्चय का योग है यदि समान कण बोसॉन हैं तो n-कण अवस्थाएँ n एकल कण हिल्बर्ट रिक्त समष्टि H के सममित प्रदिश उत्पाद में सदिश हैं यदि समान कण फर्मिऑन हैं तो n-कण अवस्थाएँ n एकल कण के एक सममित प्रदिश उत्पाद में सदिश हैं n-कण हिल्बर्ट समष्टि H (क्रमशः सममित बीजगणित और बाह्य बीजगणित देखें)। फॉक समष्टि में सामान्य स्थिति n-कण अवस्थाओ का एक रैखिक संयोजन है जो प्रत्येक n के लिए समान है।

तकनीकी रूप से, फॉक समष्टि कण हिल्बर्ट समष्टि के हिल्बर्ट समष्टि प्रदिश उत्पाद में सममित या सममित प्रदिश के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग हिल्बर्ट समष्टि पूर्णता (आव्यूह समष्टि) H है:

$$F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.$$

जहाँ $S_{\nu }$ संक्रियक है जो हिल्बर्ट समष्टि आइंस्टीन आंकड़ों का अनुसरण करने वाले कणों का वर्णन करता है यह इस पर निर्भर करता है कि समरूपता या सममित प्रदिश $(\nu =+)$ या फर्मी-डिराक सांख्यिकी आँकड़े $(\nu =-)$ और चित्र शीर्षक समष्टि के पूरा होने का प्रतिनिधित्व करता है बोसोनिक (फर्मीओनिक) फॉक समष्टि को वैकल्पिक रूप से (हिल्बर्ट समष्टि पूर्णता) सममित प्रदिश $F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}$ और प्रत्यावर्ती प्रदिश ${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$) के रूप में बनाया जा सकता है प्रत्येक आधार के लिए H फॉक समष्टि का प्राकृतिक आधार है जिसे सामान्यतः फॉक समष्टि कहा जाता है।

परिभाषा

फॉक समष्टि (हिल्बर्ट) एकल-कण हिल्बर्ट समष्टि $H$ की प्रतियों के प्रदिश उत्पादों के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है:

$$F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots$$

यहाँ $\mathbb {C}$, सम्मिश्र संख्या अतिरिक्त कणों की अवस्था $H$ से मिलकर बनती है जिसको एक कण की अवस्था $S_{\nu }(H\otimes H)$ को दो समान कणों की अवस्था में एक सामान्य स्थिति $F_{\nu }(H)$ द्वारा दिया गया है:

$$|\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots$$

जहाँ

• $|0\rangle$ लंबाई 1 का सदिश है जिसे निर्वात अवस्था कहा जाता है और $a\in \mathbb {C}$ समिश्र गुणांक है।
• $|\psi _{i}\rangle \in H$ एकल कण हिल्बर्ट समष्टि में एक अवस्था है और $a_{i}\in \mathbb {C}$ समिश्र गुणांक है।
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$, और $a_{ij}=$