फेरी अनुक्रम

File:Farey diagram square 9.svg

F₉ के लिए फारे आरेख।

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फारे अनुक्रम, F₉ के भाजको द्वारा बनाया गया सममित प्रतिरूप।

File:Farey sequence denominators 25.svg

फारे अनुक्रम, F₂₅ के भाजको द्वारा बनाया गया सममित प्रतिरूप।

गणित में, क्रम n का फारे अनुक्रम पूर्णतया से कम किए गए अंशों का अनुक्रम है, या तो 0 और 1 के मध्य, या इस प्रतिबंध के बिना, जो कि सबसे कम पदों में n से कम या उसके समान है, जिसे बढ़ते आकार के क्रम में व्यवस्थित किया गया है।

प्रतिबंधित परिभाषा के साथ, प्रत्येक फारे अनुक्रम मान 0 से प्रारंभ होता है, जिसे अंश 0/1 द्वारा दर्शाया जाता है और मान 1 के साथ समाप्त होता है, जिसे भिन्न 1/1 द्वारा दर्शाया जाता है (हालाँकि, कुछ लेखक इन प्रतिबंधों को छोड़ देते हैं)।

एक फ़ारे अनुक्रम को कभी-कभी फ़ारे श्रृंखला कहा जाता है, जो पूर्णतया से सही नहीं है, क्योंकि पदों का योग नहीं किया जाता है।

उदाहरण

अनुक्रम 1 से 8 के फारे क्रम हैं:

F₁ = { 0/1_, 1/1 }

F₂ = { 0/1_, 1/2_, 1/1 }

F₃ = { 0/1_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 1/1 }

F₄ = { 0/1_, 1/4_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 3/4_, 1/1 }

F₅ = { 0/1_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 1/1 }

F₆ = { 0/1_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 1/1 }

F₇ = { 0/1_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 1/1 }

F₈ = { 0/1_, 1/8_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 3/8_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 5/8_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 7/8_, 1/1 }

केन्द्रीकृत
F1 = { 0/1, 1/1 }
F2 = { 0/1, 1/2, 1/1 }
F3 = { 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1 }
F4 = { 0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1 }
F5 = { 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 }
F6 = { 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1 }
F7 = { 0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1 }
F8 = { 0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1 }

क्रमबद्ध

F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}

फारे सनबर्स्ट

File:Sunburst 8.png

आलेखन F₆ अंश और भाजक हैं।

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पुनरावृत्तियों के स्टारबर्स्ट 1-10 अध्यारोपित।

एक फ़ारे अनुक्रम के अंशों और बनाम भाजको को अंकन करने से दाईं ओर एक जैसा आकार प्राप्त होता है, जिसे F₆ के लिए दर्शाया गया है:

इस आकार को विकर्ण और मुख्य अक्षों के चारों ओर प्रतिबिंबित करने से नीचे दर्शाए गए फारे सनबर्स्ट उत्पन्न होते हैं। अनुक्रम n का फारे सनबर्स्ट मूल पर केंद्रित 2n पक्ष के वर्ग में मूल से दृश्य पूर्णांक जालक बिंदुओं को जोड़ता है। पिक के प्रमेय का उपयोग करते हुए, सनबर्स्ट का क्षेत्रफल 4(|F_n|−1) है, जहां |F_n| में भिन्नों की संख्या F_n है।

File:Farey sunburst 6.svg

क्रम 6 का फारे सनबर्स्ट, पिक के प्रमेय के अनुसार, 1 आंतरिक (लाल) और 96 सीमा (हरे) बिंदुओं के साथ एक क्षेत्र 1 + 96/2 − 1 = 48 प्रदान करता है।

इतिहास

'फारे श्रृंखला' का इतिहास बहुत ही रोचक है - हार्डी और राइट (1979)।

... एक बार फिर वह व्यक्ति जिसका नाम गणितीय संबंध को दिया गया था, जहाँ तक अभिलेखों की बात है, वह मूल खोजकर्ता नहीं था - बीलर (1964)।

फ़ारे अनुक्रमों का नाम ब्रिटिश भूविज्ञानी जॉन फ़ारे, वरिष्ठ के नाम पर रखा गया है, जिनका इन अनुक्रमों के विषय में पत्र 1816 में दार्शनिक पत्रिका में प्रकाशित हुआ था। फ़ारे ने अनुमान लगाया, बिना प्रमाण प्रस्तुत किए कि फ़ारे अनुक्रम विस्तार में प्रत्येक नया पद अपने सहवासियों का मध्यस्थ है। फारे का पत्र कॉची द्वारा पढ़ा गया था, जिन्होंने अपने गणित के अभ्यास में एक प्रमाण प्रदान किया था और इस परिणाम का श्रेय फारे को दिया गया था। वास्तव में, एक अन्य गणितज्ञ, चार्ल्स हारोस ने 1802 में इसी तरह के परिणाम प्रकाशित किए थे, जो न तो फारे और न ही कॉची को ज्ञात थे।इस प्रकार यह एक ऐतिहासिक दुर्घटना थी जिसने फारे के नाम को इन अनुक्रमों के साथ जोड़ा था। यह स्टिगलर के नामकरण के नियम का एक उदाहरण है।

गुणधर्म

एक अंश की अनुक्रम लंबाई और सूचकांक

क्रम n के फारे अनुक्रम में निचले क्रम के फारे अनुक्रमों के सभी घटक सम्मिलित हैं। विशेष रूप से F_n में F_n−1 के सभी घटक सम्मिलित हैं और प्रत्येक संख्या के लिए एक अतिरिक्त अंश भी सम्मिलित है जो n से कम है और n के लिए सहअभाज्य है। इस प्रकार F₆ में भिन्नों 1/6 और 5/6 के साथ F₅ सम्मिलित हैं।

फारे अनुक्रम F_n की मध्य अवधि सदैव n > 1 के लिए 1/2 होती है। इससे, हम यूलर के टोटेंट फलन $\varphi (n)$ का उपयोग करके F_n और F_n−1 की लंबाई के मध्य संबंध स्थापित कर सकते हैं:

$|F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n)$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि |F₁| = 2, हम F_n की लंबाई के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कर सकते हैं:

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n)$

जहाँ $\Phi (n)$ टोटिएंट सारांश फलन है।

हमारे पास भी है:

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right)$

और मोबियस व्युत्क्रमण सूत्र द्वारा:

$|F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,$

जहाँ µ(d) संख्या-सैद्धांतिक मोबियस फलन है और $\lfloor {\tfrac {n}{d}}\rfloor$ तल फलन है।

|F_n| का स्पर्शोन्मुख व्यवहार है:

$|F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}$

अनुक्रमणिका $I_{n}(a_{k,n})=k$ एक अंश $a_{k,n}$का फारे क्रम $F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$ में केवल वह स्थिति है, जो क्रम $a_{k,n}$ में रहता है। यह विशेष प्रासंगिकता का है क्योंकि इसका उपयोग रीमैन परिकल्पना के वैकल्पिक सूत्रीकरण में किया जाता है, नीचे देखें। विभिन्न उपयोगी गुणधर्मों का पालन करें:

$I_{n}(0/1)=0,$

$I_{n}(1/n)=1,$

$I_{n}(1/2)=(|F_{n}|-1)/2,$

$I_{n}(1/1)=|F_{n}|-1,$

$I_{n}(h/k)=|F_{n}|-1-I_{n}((k-h)/k$

$1/k$ का सूचकांक, जहाँ $n/(i+1)<k\leq n/i$ और $n$ पूर्व $i$ संख्या का लघुत्तम समापवर्तक है, $n={\rm {lcm}}([2,i])$, द्वारा दिया गया है:

$I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).$

फारे सहवासी

अंश जो किसी भी फारे अनुक्रम में सहवासी पद हैं, उन्हें फारे युग्म के रूप में जाना जाता है और इनमें निम्नलिखित गुणधर्म होते हैं।

यदि a/b और c/d फ़ारे क्रम में a/b < c/d के साथ सहवासी हैं, फिर c/d − a/b का अंतर 1/bd के समान है। क्योंकि,

${\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}}$

यह ऐसा कहने के समान है

$bc-ad=1$.

इस प्रकार F₅ में सहवासी 1/3 और 2/5 हैं और उनका अंतर 1/15 है।

इसका विलोम भी सत्य है। यदि,

$bc-ad=1$

धनात्मक पूर्णांक a, b, c और d के लिए a < b और c < d के साथ a/b और c/d क्रम अधिकतम (b,d) के फारे अनुक्रम में सहवासी होंगे।

यदि p/q के सहवासी a/b और c/d में कुछ फारे अनुक्रम के साथ है।

${\frac {a}{b}}<{\frac {p}{q}}<{\frac {c}{d}}$

तब p/q की माध्यिका दूसरे शब्दों में a/b और c/d है।

${\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}$

यह पिछले गुणधर्म से सरलता से अनुसरण करता है, क्योंकि यदि bp – aq = qc – pd = 1, तब bp + pd = qc + aq, p(b + d) = q(a + c), p/q = a + c/b + d है।

इससे पता चलता है कि यदि a/b और c/d फारे अनुक्रम में सहवासी हैं तो उनके मध्य पहला पद जो फारे अनुक्रम के क्रम में वृद्धि के रूप में प्रकट होता है।

${\frac {a+c}{b+d}}$

जो पहले क्रम b + d के फारे अनुक्रम में प्रकट होता है।

इस प्रकार 2/5 और 3/8 के मध्य प्रकट होने वाला पहला पद 1/3 है, जो F₈ में दिखाई देता है।

F_n में फारे सहवासी युग्म की कुल संख्या 2|F_n| − 3 है।

स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री एक प्रदत्त संरचना है जो दर्शाती है कि अनुक्रम 0 (= 0/1) और 1 (= 1/1) क्रमिक मध्यस्थों को लेकर है।

समतुल्य-क्षेत्र व्याख्या

फारे परिमेय के प्रत्येक क्रमिक युग्म का एक तुल्य क्षेत्रफल 1 होता है। x-y तल में सदिशों (p, q) के रूप में क्रमिक परिमेय r₁ = p/q और r₂ = p′/q′ की व्याख्या करके इसे देखें। A(p/q, p′/q′) का क्षेत्रफल qp′ − q′p द्वारा दिया गया है। पिछले दो क्रमागत फारे अनुक्रम अंशों के मध्य किसी भी अतिरिक्त अंश की गणना माध्यिका (⊕) के रूप में की जाती है, तो A(r1, r1 ⊕ r2) = A(r1, r1) + A(r1, r2) = A(r1, r2) = 1 (चूँकि r₁ = 1/0 और r₂ = 0/1, इसका क्षेत्रफल 1 होना चाहिए)।

फेरे सहवासी और निरंतर अंश

फारे अनुक्रम में सहवासियों के रूप में दिखाई देने वाले अंशों में निरंतर भिन्न विस्तार से संबंधित है। प्रत्येक भिन्न के दो निरंतर भिन्न विस्तार होते हैं - एक में अंतिम पद 1 होता है; दूसरे में अंतिम अवधि 1 से अधिक है। यदि p/q, जो पहली बार फारे अनुक्रम F_q में दिखाई देता है, अंश विस्तार जारी रखा है।

[0; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}, a_n, 1]

[0; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}, a_n + 1]

फिर F_q में p/q का निकटतम सहवासी (जो बड़े भाजक के साथ उसका सहवासी होगा) का निरंतर भिन्न विस्तार है।

[0; a₁, a₂, ..., a_n]

और इसके दूसरे सहवासी का निरंतर अंश विस्तार है।

[0; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}]

उदाहरण के लिए, 3/8 के दो निरंतर अंश विस्तार [0; 2, 1, 1, 1] और [0; 2, 1, 2] हैं और F₈ के सहवासी 2/5 हैं, जिसे [0; 2, 1, 1], 1/3 और [0; 2, 1] के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।

फ़ारे भिन्न और लघुत्तम समापवर्त्य

एलसीएम को फारे भिन्नों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

${\text{lcm}}[1,2,...,N]=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}$

जहाँ $\psi (N)$ दूसरा चेबिशेव फलन है।

फैरी अंश और महत्तम सामान्य विभाजक

चूँकि यूलर का टोटेंट फलन सीधे महत्तम सामान्य विभाजक से जुड़ा होता है, इसलिए F_n में तत्वों की संख्या होती है।

$|F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.$

किसी भी 3 फैरी अंशों a/b, c/d और e/f के लिए निरपेक्ष मूल्य में 2x2 आव्यूह निर्धारक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के मध्य निम्नलिखित पहचान रखती है:

$\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)$

अनुप्रयोग

अपरिमेय संख्याओं के परिमेय अनुमानों को खोजने के लिए फारे अनुक्रम बहुत उपयोगी हैं। उदाहरण के लिए, एलियाहौद्वारा 3x+1 प्रक्रिया में गैर-तुच्छ चक्रों की लंबाई पर एक निचली सीमा की निर्माण संख्या लॉग₂(3) के निरंतर अंश विस्तार की गणना करने के लिए फारे अनुक्रमों का उपयोग करती है।

अनुनाद घटना के साथ भौतिक प्रणालियों में, फारे अनुक्रम 1D और 2D में अनुनाद स्थानों की गणना करने के लिए एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण और कुशल विधि प्रदान करते हैं।

वर्ग-कोशिकीय जालक पर किसी भी-कोण पथ योजना के अध्ययन में फ़ारे अनुक्रम प्रमुख हैं, उदाहरण के लिए उनकी अभिकलनात्मक जटिलता या इष्टतमता को चिह्नित करने में प्रमुख हैं। संयोजन को r-सीमित पथों के संदर्भ में माना जा सकता है, अर्थात् रेखाखंडों से बने पथ जो प्रत्येक $r$ पंक्तियाँ और अधिक से अधिक $r$ कोशिकाओं के स्तंभ पारगमन पर चलते हैं। माना $Q$ सदिश $(q,p)$ का समुच्चय है, ऐसा है कि $1\leq q\leq r$, $0\leq p\leq q$, और $p$, $q$ सह अभाज्य हैं। माना $Q*$, $Q$ पंक्ति में $y=x$ परावर्तित होने के परिणाम है। माना $S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}$ है। तब किसी भी r-सीमित पथ को $S$ सदिशों के अनुक्रमों के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

फोर्ड चक्र

फारे अनुक्रम और फोर्ड चक्र के मध्य एक संबंध है।

प्रत्येक अंश p/q के लिए (सबसे कम प्रतिबंधों में) एक फोर्ड चक्र C[p/q] है, जो त्रिज्या 1/(2q²) और केंद्र (p/q, 1/ 2q² ) वाला वृत्त है। अलग-अलग अंशों के लिए दो फोर्ड चक्र या तो भिन्न हैं या वे एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा हैं- दो फोर्ड चक्र कभी भी एक दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। यदि 0 < p/q <1 है, तो फोर्ड चक्र जो C[p/q] की स्पर्शरेखा हैं। निश्चित रूप से भिन्नों के लिए फोर्ड चक्र हैं जो कुछ फारे क्रम में p/q के सहवासी हैं।

इस प्रकार C [2/5] की स्पर्शरेखा C [1/2], C [1/3], C [3/7], C [3/8], इत्यादि है।

अपोलोनियन गैसकेट (0,0,1,1) में फोर्ड चक्र भी दिखाई देते हैं। नीचे दिया गया चित्र इसे फारे अनुनाद रेखाओं के साथ दर्शाता है।

File:Apolloinan gasket Farey.png

अपोलोनियन गैसकेट (0,0,1,1) और फारे अनुनाद आरेख।

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना के दो समतुल्य योगों में फारे अनुक्रमों का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि $F_{n}$ का पद $\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}$ हैं। $d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}$को परिभाषित किया जा सकता है, दूसरे शब्दों में $d_{k,n}$, nवें फारे क्रम के kवें पद और अंकों की समान संख्या के समुच्चय के kवें घटको के मध्य का अंतर है, जो इकाई अंतराल पर समान रूप से वितरित है। 1924 में जेरोम फ्रनेलने उस कथन को सिद्ध कर दिया।

$\sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1$

रीमैन परिकल्पना के समतुल्य हैऔर फिर एडमंड लैंडौ ने टिप्पणी की;

$\sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2$

रीमैन परिकल्पना के समतुल्य भी है।

फारे अंशों से संलिप्त अन्य योग

क्रम n के सभी फारे अंशों का योग तत्वों की संख्या का आधा है:

$\sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.$

फारे अनुक्रमों में हरों का योग अंशों के योग का दोगुना है और यूलर के टोटेंट फलन से संबंधित है:

$\sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),$

जिसे 1962 में हेरोल्ड एल. आरोन द्वारा अनुमानित किया गया था और 1966 में जीन ए. ब्लेक द्वारा प्रदर्शित किया गया था। हेरोल्ड एल. आरोन अनुमान का एक पंक्ति प्रमाण इस प्रकार है। अंशों का योग ${\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}}$ है। भाजक का योग ${\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b)}$ है। पहले योग का दूसरे योग से भागफल ${\frac {1}{2}}$ है।

मान लीजिए कि b_j, F_n का क्रमित हर है, तब:

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}$

और

$\sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1$

मान लीजिए कि F_n में jवें फारे भिन्न a_j/b_j है, तब

$\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1$

जिसमें प्रदर्शित किया गया है। साथ ही इस सन्दर्भ के अनुसार योग के भीतर के पदों को कई अलग-अलग तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है:

$a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}}\right\rfloor$

एक ही परिणाम के साथ फारे तत्वों पर इस प्रकार कई अलग-अलग योग प्राप्त करना है। 1/2 के लगभग समरूपता का उपयोग करके पूर्व योग को अनुक्रम के आधे भाग तक सीमित किया जा सकता है।

$\sum _{j=1}^{\lfloor |F_{n}|/2\rfloor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=3(|F_{n}|-1)/2-n-\lceil n/2\rceil$

मेर्टेंस फलन को फारे भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}$ जहाँ ${\mathcal {F}}_{n}$ क्रम n का फारे क्रम है।

इस सूत्र का उपयोग फ्रानेल-लैंडौ प्रमेय के प्रमाण में किया जाता है।

आगामी पद

पारंपरिक क्रम (आरोही) या गैर-पारंपरिक क्रम (अवरोही क्रम) में F_n के प्रतिबंधों को उत्पन्न करने के लिए आश्चर्यजनक रूप से एक सरल कलन विधि उपस्थित है। कलन विधि प्रत्येक क्रमिक प्रविष्टि की गणना पूर्व दो प्रविष्टियों के संदर्भ में ऊपर दिए गए औसत गुणधर्मों का उपयोग करके करता है। यदि a/b और c/d में दो दी गई प्रविष्टियाँ हैं और p/q तब अज्ञात अगली प्रविष्टि c/d = a + p/b + q है। तब से c/d निम्नतम पदों में है, तो एक पूर्णांक k होना चाहिए जैसे कि kc = a + p और kd = b + q, जिससे p = kc − a और q = kd − b प्राप्त होता है। यदि हम p और q को k का फलन मानते हैं, तब

${\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}$

तो जितना बड़ा k होगा, उतना ही c/d, p/q के समीप होगा।

अनुक्रम में आगामी पद प्रदान करने के लिए k जितना संभव हो उतना बड़ा होना चाहिए, kd − b ≤ n के अधीन (क्योंकि हम केवल उन संख्याओं पर विचार कर रहे हैं जिनके भाजक n से अधिक नहीं हैं), इसलिए k सबसे बड़ा पूर्णांक ≤n + b/d है। k के इस मान को वापस p और q के समीकरणों में रखने पर प्राप्त होता है।

$p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor c-a$

$q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor d-b$

इसे पायथन में निम्नानुसार कार्यान्वित किया गया है:

डेफ फारे अनुक्रम(n: पूर्णांक,अवरोही: बूल = असत्य) -> कोई नहीं:
    """n वें फारे अनुक्रम को मुद्रण करें। आरोही या अवरोही के लिए अनुमति प्रदान करें।"""
    (a, b, c, d) = (0, 1, 1 , n)
    यदि अवरोही है:
        (a, c) = (1, n - 1)
    मुद्रण ("{0}/{1}" तथा प्रारूप(a, b)) है।
    जबकि (c <= n और अवरोही नहीं) या (a > 0 और अवरोही):
        k = (n + b) // d
        (a, b, c, d) = (c, d, k * c - a, k * d - b)
        मुद्रण ("{0}/{1}" तथा प्रारूप(a, b)) है।

परिमेय में डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान के लिए पाशविक बल खोज प्रायः फारे श्रृंखला (केवल लघुकृत रूपों की खोज करने के लिए) का लाभ उठा सकती है। हालांकि यह बीजांक a, b, c और d को प्रारंभ करने के लिए अनुक्रम के पहले दो पदों का उपयोग करता है, परन्तु किसी विशेष सीमा से कम (या उससे अधिक) को अपर्वजित करने के लिए आसन्न पदों के किसी भी युग्म को स्थानापन्न कर सकता है।

यह भी देखें

• एबीएसीएबीए प्रतिरूप
• स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री
• यूलर का टोटेंट फलन

अग्रिम पठन

• Hatcher, Allen. "Topology of Numbers". Mathematics. Ithaca, NY: Cornell U.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989). Concrete Mathematics: A foundation for computer science (2nd ed.). Boston, MA: Addison-Wesley. pp. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524. ISBN 0-201-55802-5. — in particular, see §4.5 (pp. 115–123), Bonus Problem 4.61 (pp. 150, 523–524), §4.9 (pp. 133–139), §9.3, Problem 9.3.6 (pp. 462–463).
• Vepstas, Linas. "The Minkowski Question Mark, GL(2,Z), and the Modular Group" (PDF). — reviews the isomorphisms of the Stern-Brocot Tree.
• Vepstas, Linas. "Symmetries of Period-Doubling Maps" (PDF). — reviews connections between फारे Fractions and Fractals.
• Cobeli, Cristian; Zaharescu, Alexandru (2003). "The Haros–Farey sequence at two hundred years. A survey". Acta Univ. Apulensis Math. Inform. (5): 1–38. "pp. 1–20" (PDF). Acta Univ. Apulensis. "pp. 21–38" (PDF). Acta Univ. Apulensis.
• Matveev, Andrey O. (2017). Farey Sequences: Duality and Maps Between Subsequences. Berlin, DE: De Gruyter. ISBN 978-3-11-054662-0. Errata + Code

बाहरी संबंध

• Bogomolny, Alexander. "Farey series". Cut-the-Knot.
• Bogomolny, Alexander. "Stern-Brocot Tree". Cut-the-Knot.
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• OEIS sequence A005728 (Number of fractions in Farey series of order n)
• OEIS sequence A006842 (Numerators of Farey series of order n)
• OEIS sequence A006843 (Denominators of Farey series of order n)
• Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine: Bonahon, Francis. Funny Fractions and Ford Circles (video). Brady Haran. Retrieved 9 June 2015 – via YouTube.