प्रबल अनुकूलन

प्रबल अनुकूलन गणितीय अनुकूलन सिद्धांत का क्षेत्र है जो अनुकूलन समस्याओं से संबंधित है जिसमें अनिश्चितता के विरूद्ध प्रबल से निश्चित उपाय मांगा जाता है जिसे समस्या के मापदंडों के मान और/या उसके समाधान में नियतात्मक परिवर्तनशीलता के रूप में दर्शाया जाता है।

इतिहास

1950 के दशक में आधुनिक निर्णय सिद्धांत की स्थापना और गंभीर अनिश्चितता के उपचार के लिए उपकरण के रूप में सबसे बुरी स्थिति के विश्लेषण और वाल्ड के मैक्सिमिन प्रारूप के उपयोग के लिए प्रबल अनुकूलन की उत्पत्ति की गई थी। 1970 के दशक में कई वैज्ञानिक और तकनीकी क्षेत्रों में समानांतर विकास के साथ यह अपने आप में अनुशासन बन गया था। इस प्रकार आने वाले वर्षों से, यह सांख्यिकी में लागू किया गया है, किन्तु संचालन अनुसंधान में भी इसका उपयोग किया जाने लगा था, विद्युत अभियन्त्रण, नियंत्रण सिद्धांत, वित्त, निवेश प्रबंधन तर्कशास्र सा, उत्पादन व्यवाहारिक, केमिकल इंजीनियरिंग, दवा, और कंप्यूटर विज्ञान। अभियांत्रिकी समस्याओं में, ये फॉर्मूलेशन अधिकांशतः प्रबल डिजाइन अनुकूलन, आरडीओ या विश्वसनीयता आधारित डिजाइन अनुकूलन, आरबीडीओ का नाम लेते हैं।

उदाहरण 1

निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामन समस्या पर विचार करें

$\max _{x,y}\ \{3x+2y\}\ \ \mathrm {subject\ to} \ \ x,y\geq 0;cx+dy\leq 10,\forall (c,d)\in P$

जहाँ $P$ का उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{2}$ है।

यह 'प्रबल अनुकूलन' $\forall (c,d)\in P$ की समस्या है जिसे बाधाओं के रूप में खंडित किया जाता हैं। इसका निहितार्थ यह है कि $(x,y)$ के लिए स्वीकार्य होने के लिए, बाधा $cx+dy\leq 10$ सबसे बुरी स्थिति जैसे $(c,d)\in P$ से संबंधित $(x,y)$, अर्थात् जोड़ी $(c,d)\in P$ से संतुष्ट होना चाहिए जो $cx+dy$ दिए गए मान के लिए $(x,y)$ के मान को अधिकतम मान प्राप्त करता है।

यदि पैरामीटर स्थान $P$ परिमित है (परिमित रूप से कई तत्वों से मिलकर), तो यह प्रबल अनुकूलन समस्या स्वयं रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या है: प्रत्येक के लिए $(c,d)\in P$ रेखीय बाधा है $cx+dy\leq 10$.

यदि $P$ परिमित समुच्चय नहीं है, तो यह समस्या रैखिक अर्ध-अनंत प्रोग्रामिंग समस्या है, अर्थात् रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या जिसमें बहुत से (2) निर्णय चर और असीम रूप से कई बाधाएँ उत्पन्न कर देता हैं।

वर्गीकरण

प्रबल अनुकूलन समस्याओं/प्रारूपों के लिए कई वर्गीकरण मानदंड हैं। विशेष रूप से, कोई भी प्रबल के स्थानीय और वैश्विक प्रारूप से संबंधित समस्याओं के बीच अंतर कर सकता है; और प्रबल के संभाव्य और गैर-संभाव्य प्रारूप के बीच की गई थी। आधुनिक प्रबल अनुकूलन मुख्य रूप से प्रबल के गैर-संभाव्य प्रारूप से संबंधित है जो सबसे बुरी स्थिति के उन्मुख हैं और इस प्रकार सामान्यतः वाल्ड के अधिकतम प्रारूप को नियत करते हैं।

स्थानीय प्रबल

यह ऐसे स्थिति हैं जहां पैरामीटर के नाममात्र मान में छोटी गड़बड़ी के विरूद्ध प्रबल स्थान की मांग की जाती है। स्थानीय प्रबल का बहुत ही लोकप्रिय प्रारूप स्थिरता त्रिज्या प्रारूप है:

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}(x,\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{u}):=\underset{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->0}{max}\{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:u\in <!--\; \in \; -->S(x),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}u\in <!--\; \in \; -->$