तंत्रिका जटिल

तल में 3 समुच्चय वाले विवृत ठीक आच्छादन के तंत्र का निर्माण।

सांस्थिति में, एक समुच्चय वर्ग के तंत्रिका परिसर एक सार सरल जटिल है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करते है। इसका प्रारम्भ पावेल अलेक्जेंड्रोव ने किया था और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में अति आच्छादन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।

मूल परिभाषा

$I$ को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और $C$ समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ का एक वर्ग हो। $C$ की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय $I$ के परिमित उपसमुच्चय का समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय $J\subseteq I$ शामिल हैं जैसे कि $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक $J$ में है गैर-रिक्त है:

$N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.$

अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ कुछ सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत समुच्चय हैं।

समुच्चय $N(C)$ में एकल हो सकते हैं (अवयव $i\in I$ जैसे कि $U_{i}$ गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म $i,j\in I$ जैसे कि $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$), तीनो इत्यादि। यदि $J\in N(C)$ है, तो $J$ का कोई भी उपसमुच्चय भी $N(C)$ में है, जिससे $N(C)$ सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए $N(C)$ को प्रायः $C$ का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।

उदाहरण

1. X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2}\}$ होने दें, जहां $U_{1}$ एक चाप है जो $S^{1}$ के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करते है और $U_{2}$ एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करते है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी $S^{1}$ को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$, जो सार 1-एकदिश है।
2. X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}$ होने दें, जहां प्रत्येक $U_{i}$ चाप है जो $S^{1}$ के एक तिहाई भाग को आच्छादित करते है, जिसमें आसन्न $U_{i}$ के साथ कुछ अधिव्यापन होता है। तब $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$। ध्यान दें कि {1,2,3} $N(C)$ में नहीं है क्योंकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; अतः $N(C)$ अपूर्ण त्रिभुज है।

सीच तंत्रिका

एक सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत आवरक $C=\{U_{i}:i\in I\}$, या अधिक सामान्यतः ग्रोथेंडिक सांस्थिति में एक कवर दिया जाता है, हम जोड़ीदार फाइबर उत्पादों $U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}$ पर विचार कर सकते हैं,, जो एक सांस्थितिक समष्टि की स्थिति में पूर्णतः प्रतिच्छेदन $U_{i}\cap U_{j}$ हैं। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को $$