डील-ग्रोव मॉडल

डील-ग्रोव मॉडल गणितीय रूप से किसी सामग्री की सतह पर ऑक्साइड परत का विकास करने में सहायक होता है। विशेष रूप से इसका उपयोग अर्धचालक उपकरण निर्माण में सिलिकॉन के ऊष्मागतिकी ऑक्सीकरण की उपियोगिता और व्याख्या करने के लिए किया जाता है। इस मॉडल को सर्वप्रथम 1965 में ब्रूस डील और फेयरचाइल्ड सेमीकंडक्टर के एंड्रयू ग्रोव द्वारा प्रकाशित किया गया था, इस प्रकार 1950 के दशक के अंत में बेल लैब्स में ऊष्मागतिकी ऑक्सीडेशन द्वारा सिलिकॉन सतह की निष्क्रियता पर मोहम्मद एम अटाला के कार्य पर निर्माण किया गया था। यह सीएमओएस उपकरणों के विकास और एकीकृत परिपथों के निर्माण में विशेष चरण के रूप में कार्य करता है।

भौतिक धारणाएँ

इस मॉडल के अनुसार ऑक्साइड और परिवेशी गैस के अतिरिक्त ऑक्साइड परत और सब्सट्रेट सामग्री के बीच इंटरफ़ेस पर रिडॉक्स रासायनिक प्रतिक्रिया होती है। इस प्रकार, यह तीन घटनाओं पर विचार करता है कि ऑक्सीकरण प्रजातियां इस क्रम में गुजरती हैं:

1. यह परिवेशी गैस के थोक से सतह तक प्रसारित होता है।
2. यह वर्तमान समय में ऑक्साइड परत के माध्यम से ऑक्साइड-सब्सट्रेट इंटरफेस में प्रसारित होता है।
3. यह सब्सट्रेट के साथ प्रतिक्रिया करता है।

इस मॉडल के अनुसार इनमें से प्रत्येक चरण ऑक्सीडेंट की एकाग्रता के आनुपातिक दर पर आगे बढ़ता है। इसके पहले चरण में हेनरी का नियम उपयोग होता हैं, दूसरे में, फिक का विसरण का नियम उपयोग होता हैं, तीसरे में, दर समीकरण या प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाएँ जिसे ऑक्सीडेंट के संबंध में प्रथम-क्रम प्रतिक्रिया के रूप में उपयोग किया जाता हैं। यह स्थिर स्थिति की स्थिति भी मानता है, अर्ताथ इसका क्षणिक प्रभाव प्रकट नहीं होते हैं।

परिणाम

इन धारणाओं को देखते हुए, तीन चरणों में से प्रत्येक के माध्यम से ऑक्सीडेंट के प्रवाह को सांद्रता, भौतिक गुणों और तापमान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$J_{gas}=h_{g}(C_{g}-C_{s})$

$J_{oxide}=D_{ox}{\frac {C_{s}-C_{i}}{x}}$

$J_{reacting}=k_{i}C_{i}$

तीन फ्लक्स को दूसरे के बराबर स्थिति करके $J_{gas}=J_{oxide}=J_{reacting}$ का मान प्राप्त होता हैं, निम्नलिखित संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:

${\frac {C_{i}}{C_{g}}}={\frac {1}{1+k_{i}/h_{g}+{k_{i}x}/D_{ox}}}$

${\frac {C_{s}}{C_{g}}}={\frac {1+{k_{i}x}/D_{ox}}{1+k_{i}/h_{g}+{k_{i}x}/D_{ox}}}$

एक प्रसार नियंत्रित विकास मान लिया जाए अर्ताथ जहाँ $J_{oxide}$ विकास दर, और प्रतिस्थापन को निर्धारित करता है, वहाँ $C_{i}$ और $C_{s}$ के अनुसार $C_{g}$ उपरोक्त दो संबंधों से में $J_{oxide}$ और $J_{reacting}$ समीकरण क्रमशः इस प्रकार प्राप्त करता है:

$J_{oxide}=J_{reacting}={\frac {k_{i}C_{g}}{1+k_{i}/h_{g}+{k_{i}x}/D_{ox}}}$

यदि एन ऑक्साइड की इकाई मात्रा के अंदर ऑक्सीडेंट की एकाग्रता रहती है, तो ऑक्साइड विकास दर को अंतर समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। इस समीकरण का हल किसी भी समय t पर ऑक्साइड की मोटाई देता है।

$\frac{dx}{dt}=\frac{J_{oxide}}{N}=\frac{k_i{C}_g/N}{1+k_i/h_g+k_{i}x/D_{ox}}$