डायगामा फंक्शन

For बार्न्स का दो चरों का गामा फलन, see दोहरा गामा फ़ंक्शन.

डायगामा फलन $\psi (z)$,
डोमेन रंग का उपयोग करके कल्पना की गई

डायगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन करते हैं

गणित में, डायगामा फलन को गामा फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.$

यह पॉलीगामा फलन में से प्रथम होता है। यह फलन कठोरता से बढ़ रहा है और मोनोटोनिक फलन और $(0,\infty )$ पर जटिलता से अवतल है , और यह स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के रूप में व्यवहार करता है

$\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},$

इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक $\varepsilon$. . . . के साथ सेक्टर $|\arg z|<\pi -\varepsilon$ में उच्च तर्क ($|z|\rightarrow \infty$) के लिए।

डायगामा फलन को सदैव $\psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)$ इस रूप में दर्शाया जाता है या Ϝ (पुरातन ग्रीक व्यंजन डायगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।।

हार्मोनिक संख्याओं से संबंध

गामा फलन समीकरण का पालन करता है

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,$

z के संबंध में व्युत्पन्न लेने से प्राप्त होता है:

$\Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,$

Γ(z + 1) या समकक्ष zΓ(z) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

${\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}$

या:

$\psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}$

चूँकि हार्मोनिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांकों n के लिए परिभाषित की जाती हैं जैसा

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

डायगामा फलन उनसे संबंधित होती है

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

जहाँ H₀ = 0, और γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डायगामा फलन मान लेता है$\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.$

अभिन्न प्रतिनिधित्व

यदि का वास्तविक भाग z सकारात्मक है तो गॉस के कारण डायगामा फलन में निम्नलिखित अभिन्न प्रतिनिधित्व होता है:

$\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(z)$