चतुर्घाती फलन
बीजगणित में, एक चतुर्घाती फलन निम्नलिखित प्रकार का फलन होता है-
जहाँ a अशून्य है, जिसे चतुर्थ घात के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे चतुर्घाती बहुपद कहा जाता है।
एक चतुर्घाती समीकरण या चतुर्थ घात का समीकरण, एक समीकरण है जो इस रूप के चतुर्घाती बहुपद को शून्य के बराबर करता है-
जहाँ पर a ≠ 0
[1] चतुर्घाती फलन का व्युत्पन्न एक घन फलन है।
कभी-कभी चतुर्घाती के बजाय द्विवर्गीय शब्द का उपयोग किया जाता है, लेकिन आमतौर पर द्विवर्गीय फ़लन एक वर्ग के द्विघात फ़लन को संदर्भित करता है (या समतुल्य, विषम घात की शर्तों के बिना चतुर्घाती बहुपद द्वारा परिभाषित फ़लन के लिए), निम्नलिखित रूप में -
चूँकि एक चतुर्घाती फलन को सम कोटि के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जब तर्क धनात्मक या ऋणात्मक अनन्तता में जाता है तो इसकी समान अनंत सीमा होती है। यदि a धनात्मक है, तो फलन दोनों सिरों पर धनात्मक अनंत तक बढ़ जाता है, और इस प्रकार फलन निम्निष्ट है। इसी तरह, यदि a ऋणात्मक है तो यह ऋणात्मक अनंत तक घटता है और अधिकतम होता है। दोनों ही मामलों में इसमें एक अधिकतम और दूसरा न्यूनतम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।
एबेल-रफ़िनी प्रमेय के अनुसार, चतुर्थ घात (चतुर्घाती स्थिति) उच्चतम घात है जैसे कि हर बहुपद समीकरण को रेडिकल (√ प्रतीक जिसका उपयोग वर्गमूल या n वें मूल को दर्शाने के लिए किया जाता है) द्वारा हल किया जा सकता है।
इतिहास
लोदोविको फेरारी को 1540 में चतुर्घात के हल की खोज का श्रेय दिया जाता है, लेकिन चूंकि इस चतुर्घात के सभी बीजगणितीय हल की तरह, एक घन समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है, इसे तुरंत प्रकाशित नहीं किया जा सका।[2] चतुर्घात का हल फेरारी के सलाहकार जेरोम कार्डानो द्वारा अर्स मैग्ना (गेरोलमो कार्डानो) पुस्तक में घन के हल के साथ प्रकाशित किया गया था।[3]
सोवियत इतिहासकार आई.वाई. डेपमैन ने दावा किया कि इससे पहले भी, 1486 में स्पेनिश गणितज्ञ वाल्म्स को चतुर्घाती समीकरण को हल करने का दावा करने के लिए सब दांव पर लगा दिया था।[4] जांचकर्ता जनरल टॉमस डी टोरक्वेमाडा ने कथित तौर पर वाल्म्स को बताया कि यह ईश्वर की इच्छा थी कि ऐसा हल मानव समझ के लिए दुर्गम हो।[5] हालाँकि, पश्चिम में डेपमैन की इस कहानी को लोकप्रिय बनाने वाले पेट्र बेकमैन ने कहा कि यह अविश्वसनीय था और संकेत दिया कि इसका आविष्कार सोवियत विरोधी धार्मिक प्रचार के रूप में किया गया हो सकता है।[6] इस कहानी के बेकमैन के संस्करण को कई किताबों और इंटरनेट साइटों में व्यापक रूप से कॉपी किया गया है, आमतौर पर उनके आरक्षण के बिना और कभी-कभी काल्पनिक अलंकरणों के साथ। इस कहानी के लिए, या यहां तक कि वाल्म्स के अस्तित्व के लिए पुष्टि करने वाले सबूत खोजने के कई प्रयास विफल रहे हैं।[7]
चार एक सामान्य बहुपद की उच्चतम डिग्री है जिसके लिए इस तरह के हल खोजे जा सकते हैं, जिसका सबूत है कि पहली बार 1824 में एबेल-रफिनी प्रमेय में दिया गया था, यह साबित करते हुए कि उच्च क्रम बहुपदों को हल करने के सभी प्रयास व्यर्थ होंगे। 1832 में एक द्वंद्वयुद्ध में मरने से पहले एवरिस्ट गैलोइस द्वारा छोड़े गए लेखों ने बाद में बहुपदों के मूलो के एक पूर्ण सिद्धांत का नेतृत्व किया, जिसमें से यह प्रमेय एक परिणाम था।[8]
अनुप्रयोग
दो शंकु वर्गों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का प्रत्येक निर्देशांक एक चतुर्घाती समीकरण का एक हल है। एक रेखा और एक टोरस्र्स के प्रतिच्छेदन के लिए भी यही सच है। यह इस प्रकार है कि चतुर्घात समीकरण अक्सर अभिकलनी ज्यामिति और अभिकलित्र आलेखिकी, कंप्यूटर एडेड डिजाइन(अभिकलित्र सहाय अभिकल्पना), कम्प्यूटर सहायित विनिर्माण और प्रकाशिकी जैसे सभी संबंधित क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं। यहां अन्य ज्यामितीय समस्याओं के उदाहरण दिए गए हैं जिनके समाधान में चतुर्घात समीकरण को हल करना शामिल है।
कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण में, टोरस एक ऐसा आकार है जो आमतौर पर एंडमिल कटर से जुड़ा होता है। त्रिकोणीय सतह के सापेक्ष इसके स्थान की गणना करने के लिए, z- अक्ष पर एक क्षैतिज टोरस की स्थिति का पता लगाया जाना चाहिए। जहां यह एक निश्चित रेखा पर स्पर्शरेखा है, और इसकी गणना करने के लिए एक सामान्य चतुर्घाती समीकरण के हल की आवश्यकता होती है।[9]
क्रास्ड लैडर समस्या को हल करने की प्रक्रिया में एक चतुर्घाती समीकरण भी उत्पन्न होता है, जिसमें दो क्रास्ड लैडर की लंबाई, प्रत्येक एक दीवार के खिलाफ और दूसरी के खिलाफ झुकी हुई होती है, उस ऊंचाई के साथ दी जाती है जिस पर वे पार करते हैं, और दीवारों के बीच की दूरी पता लगानी हैं।[10]
प्रकाशिकी में, अलहज़ेन की समस्या इस प्रकार है कि एक प्रकाश स्रोत और एक गोलाकार दर्पण को देखते हुए, दर्पण पर उस बिंदु का पता लगाएं जहां प्रकाश एक पर्यवेक्षक की आंख पर प्रतिबिंबित होगा। यह एक चतुर्थक समीकरण का नेतृत्व करता है।[11][12][13]
दो दीर्घवृत्त के निकटतम उपगमन की दूरी का पता लगाने में एक चतुर्घात समीकरण को हल करना शामिल है।
एक 4×4 आव्यूह (गणित) के इगेन मान एक चतुर्घाती बहुपद के मूल हैं जो आव्यूह के विशिष्ट बहुपद है।
चौथे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण या अवकल समीकरण का अभिलाक्षणिक समीकरण एक चतुर्घात समीकरण है। किरणपुंज वंकन के टिमोचेंको-रेले सिद्धांत में इसका एक उदाहरण सामने आता है।[14]
चतुर्घाती समीकरणों का उपयोग करके गोलाकार, सिलेंडर या अन्य चतुष्कोणों के प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) प्राप्त किये जा सकते है।
नतिपरिवर्तन बिंदु और स्वर्ण अनुपात
यहां F तथा G को चतुर्घाती फलन के ग्राफ के अलग-अलग नतिपरिवर्तन बिंदु होने दें और H, विभक्ति छेदक रेखा FG और चतुर्घाती का प्रतिच्छेदन हो, जो G के करीब हो F कि तुलना में, फिर G FH को स्वर्ण अनुपात में विभाजित करता हैं :[15]
इसके अलावा छेदक रेखा और छेदक रेखा के नीचे चतुर्घाती के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल छेदक रेखा के ऊपर के क्षेत्र और छेदक रेखा के ऊपर चतुर्घाती के बीच के क्षेत्र के बराबर होता है। उन क्षेत्रों में से एक को समान क्षेत्र के उप-क्षेत्रों में विभाजित किया गया है।
हल
मूलो की प्रकृति
सामान्य चतुर्घाती समीकरण दिया गया है-
वास्तविक गुणांक और a ≠ 0 के साथ इसके मूलो की प्रकृति मुख्य रूप से इसके विवेचक के चिन्ह से निर्धारित होती है