खड़ी लहर

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खड़ी लहर का एनिमेशन (लाल) बाएं घूमने (नीला) और दाएं घूमने (< अवधि शैली = रंग: हरा; > हरा ) लहर

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अनुदैर्ध्य खड़ी तरंग

भौतिक विज्ञान में एक खड़ी लहर, जिसे एक स्थिर तरंग के नाम से भी जाना जाता है, ऐसी लहर तरंग है। जो समय के साथ दोलन गति करती है। किन्तु जिसका उच्चतमआयाम प्रोफ़ाइल अंतरिक्ष में नहीं चलती है। अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर तरंग दोलनों का उच्च आयाम समय के संबंध में स्थिर होता है और सम्पूर्ण तरंग में विभिन्न बिंदुओं पर दोलन चरण होते हैं। जिन स्थानों पर आयाम का निरपेक्ष मान न्यूनतम होता है। उन्हें नोड (भौतिकी) कहा जाता है और जिन स्थानों पर आयाम का निरपेक्ष मान अधिकतम होता है। उन्हें एंटीनोड कहा जाता है।

1831 में पहली बार माइकल फैराडे द्वारा स्थायी तरंगों को देखा गया था। फैराडे ने एक कंपन कंटेनर में तरल की सतह पर खड़ी तरंगों का अवलोकन किया। फ्रांज रिपोर्ट ने 1860 के आसपास स्टैंडिंग वेव (जर्मन: स्टीहेंडे वेले या स्टीहवेल) शब्द का निर्माण किया और कंपन तारों के साथ अपने क्लासिक प्रयोग में घटना का प्रदर्शन किया।

यह घटना इसलिए घटित हो सकती है क्योंकि माध्यम तरंग की गति के विपरीत दिशा में चल रहा है या यह विपरीत दिशाओं में गमन करने वाली दो तरंगों के बीच हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) के परिणामस्वरूप एक स्थिर माध्यम में उत्पन्न हो सकता है। स्थायी तरंगों का सबसे सामान्य कारण प्रतिध्वनि की घटना है। जिसमें रेजोनेटर यंत्र की रेजोनेन्ट आवृत्ति पर आगे और पीछे परावर्तित तरंगों के बीच हस्तक्षेप के कारण एक रेजोनेटर यंत्र के अंदर खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं।

विपरीत दिशाओं में गमन करने वाले समान आयाम की तरंगों के लिए औसतन ऊर्जा का शुद्ध प्रसार नहीं होता है।

गतिमान माध्यम

File:Great Falls National Park - kayak surfing - 4.webm

ग्रेट फॉल्स पार्क में खड़ी लहर में सर्फिंग करते केकर

प्रथम प्रकार के उदाहरण के रूप में, कुछ मौसम संबंधी परिस्थितियों में पर्वत श्रृंखलाओं की प्राप्त की गयी तरंगों में वातावरण में खड़ी लहरों का निर्माण होता है्। गलाइडर पायलट द्वारा ऐसी तरंगों का अधिकांशतः शोषण किया जाता है।

खड़ी लहरें और हाइड्रोलिक छलांग भी तेजी से बहने वाली नदी रैपिड्स और ज्वारीय धाराओं जैसे साल्टस्ट्रुमेन भंवर पर बनती हैं। नदी की धाराओं में इसके लिए एक आवश्यकता उथली गहराई के साथ एक बहते पानी की है। जिसमें सुपरक्रिटिकल प्रवाह गति के कारण पानी की जड़ता अपने गुरुत्वाकर्षण पर नियंत्रण करती है। (फ्राउडे संख्या: 1.7 - 4.5, 4.5 से अधिक होने पर प्रत्यक्ष खड़ी लहर होती है) और इसलिए बाधा से अधिक धीमा नहीं हो पाता है और न ही किनारे की ओर बल आरोपित किया जाता है। कई खड़ी नदी लहरें विशेष रिवर सर्फिंग ब्रेक हैं।

विरोधी लहरें

Standing waves

Standing wave.gif Standing wave in stationary medium. The red dots represent the wave nodes. Standing wave 2.gif A standing wave (black) depicted as the sum of two propagating waves traveling in opposite directions (red and blue).

Standing wave.svg Electric force vector (E) and magnetic force vector (H) of a standing wave. Standing waves on a string.gif Standing waves in a string – the fundamental mode and the first 5 harmonics.

Drum vibration mode01.gif A standing wave on a circular membrane, an example of standing waves in two dimensions. This is the fundamental mode. Drum vibration mode21.gif A higher harmonic standing wave on a disk with two nodal lines crossing at the center.

द्वतीय प्रकार के उदाहरण के रूप में, एक संचरण लाइन में स्थायी तरंग एक लहर का निर्माण करती है। जिसमें वर्तमान (बिजली), वोल्टेज या क्षेत्र की शक्ति का विभाजन एक ही आवृत्ति की दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में प्रसार के सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा निर्माण होता है। प्रभाव संचरण रेखा के साथ निश्चित बिंदुओं पर नोड (भौतिकी) (शून्य कण विस्थापन ) और एंटी-नोड्स (अधिकतम कण विस्थापन) की एक श्रृंखला होती है। इस प्रकार की एक स्थायी लहर का निर्माण तब हो सकता है। जब एक तरंग संचरण लाइन के एक किनारे में प्रेषित होती है और दूसरे किनारे से एक विद्युत प्रतिबाधा प्रतिबाधा मिलान द्वारा प्रतिबिंब (विद्युत) होती है, अर्थात विच्छेदन, जैसे कि एक विकट: संवृत सर्किट या एक छोटा सर्किट होता है। स्टैंडिंग वेव फ्रीक्वेंसी पर पावर ट्रांसफर करने के लिए लाइन की विफलता के परिणामस्वरूप सामान्यतः क्षीणन विकृति होगी।

व्यवहारिक रूप में ट्रांसमिशन लाइन और अन्य घटकों में हानि का अर्थ होता है कि एक पूर्ण प्रतिबिंब और एक शुद्ध स्थायी लहर कभी भी प्राप्त नहीं होती है। परिणाम एक आंशिक स्थायी तरंग है। जो एक स्थायी तरंग और एक गमन तरंग का सुपरपोजिशन है। वह डिग्री जिस तक तरंग या तो शुद्ध स्थायी तरंग या शुद्ध गमन तरंग के समान होती है, उसे स्थायी तरंग अनुपात (एसडब्लूआऱ) द्वारा मापा जाता है।

एक अन्य उदाहरण संवृत हुए समुद्र में खड़ी लहरें हैं। जो लहरों द्वारा बनाई गई समान तरंग अवधि के साथ विपरीत दिशाओं में चलती हैं। ये तूफान केंद्रों के पास, या तट पर एक प्रफुल्लितता के प्रतिबिंब से बन सकते हैं और माइक्रोबारोम्स और सूक्ष्म जीवों के स्रोत हैं।

गणितीय विवरण

यह खंड स्थायी तरंगों के प्रतिनिधि एक और द्वि-आयामी स्थितियों पर विचार करता है। एक अनंत लंबाई के तार का एक उदाहरण प्रदर्शित होता है कि विपरीत दिशाओं में गमन करने वाली समान तरंगें खड़ी तरंगों का उत्पादन करने के लिए कैसे हस्तक्षेप करती हैं। अगला विभिन्न सीमा मान समस्या के साथ दो परिमित लंबाई स्ट्रिंग उदाहरण प्रदर्शित करते हैं कि सीमा की स्थिति उन आवृत्तियों को कैसे प्रतिबंधित करती है। जो स्थायी तरंगों का निर्माण कर सकती हैं। अगला एक पाइप में ध्वनि तरंगों का उदाहरण दर्शाता है कि समान सीमा स्थितियों के साथ अनुदैर्ध्य तरंगों पर समान सिद्धांतों को कैसे संचालित किया जा सकता है।

दो या तीन आयामी रेजोनेटर्स यंत्रों में स्थायी तरंगें भी हो सकती हैं। द्वि-आयामी झिल्लियों जैसे ढोल पर चढ़ा हुआ चमड़े पर खड़ी तरंगों के साथ ऊपर दिए गए एनिमेशन में दिखाया गया है, नोड्स नोडल रेखाएं बन जाती हैं, सतह पर रेखाएं जिस पर कोई गति नहीं होती है। जो विभिन्न क्षेत्रों को विपरीत चरण के साथ कंपन करती है। इन नोडल रेखा प्रतिरूपों को श्लाडनी आकृतियाँ कहा जाता है। त्रि-आयामी रेजोनेटर्स यंत्रों में जैसे संगीत वाद्ययंत्र ध्वनि बक्से और माइक्रोवेव गुहा अनुनादक, नोडल सतहें होती हैं। इस खंड में एक आयताकार सीमा के साथ एक द्वि-आयामी स्थायी तरंग उदाहरण सम्मिलित है। यह समझाने के लिए कि अवधारणा को उच्च आयामों तक कैसे बढ़ाया जाए।

एक अनंत लंबाई स्ट्रिंग पर स्थायी लहर-

प्रारम्भ करने के लिए x-अक्ष के साथ अनंत लंबाई की एक स्ट्रिंग पर विचार करें। जो कि y दिशा में अनुप्रस्थ तरंग को खींचने के लिए स्वतंत्र है।

स्ट्रिंग के साथ दाईं ओर गमन करने वाली एक हार्मोनिक तरंग के लिए स्थिति x और समय t के कार्य के रूप में y दिशा में स्ट्रिंग का विस्थापन (ज्यामिति) है।

$y_{\text{R}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right).$

बाईं ओर गमन करने वाली एक समान हार्मोनिक तरंग के लिए y-दिशा में विस्थापन करती है।

$y_{\text{L}}(x,t)=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right),$

जहाँ पर्-

• y_max प्रत्येक तरंग के लिए रस्सी के विस्थापन के आयाम को प्रदर्शित करता है।
• ω कोणीय आवृत्ति है या समतुल्य 2π बारंबारता f को प्रदर्शित करता है।
• λ तरंग की तरंग दैर्ध्य को प्रदर्शित करती है।

एक ही रस्सी पर समान दाएँ और बाएँ चलने वाली तरंगों के लिए रस्सी का कुल विस्थापन y का योग y_R और y_L होता है।

$y(x,t)=y_{\text{R}}+y_{\text{L}}=y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }-\omega t\right)+y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }+\omega t\right).$

त्रिकोणमितीय सम-से-उत्पाद पहचान का उपयोग करना $\sin a+\sin b=2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({a-b \over 2}\right)$,

$y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)\cos(\omega t).$

(1)

ध्यान दें कि समीकरण (1) एक गमन तरंग का वर्णन नहीं करता है। किसी भी स्थिति में x, y(x,t) बस एक आयाम के साथ समय में दोलन करता है। जो x-दिशा में $2y_{\text{max}}\sin \left({2\pi x \over \lambda }\right)$से भिन्न होता है। इस आलेख के प्रारम्भ में एनीमेशन यह प्रदर्शित करता है कि क्या हो रहा है। जैसा कि बाएं-गमन करने वाली नीली लहर और दाएं-गमन करने वाली हरी लहर में हस्तक्षेप होता है। वे खड़ी लाल लहर का निर्माण करते हैं। जो गमन नहीं करती है और इसके बजाय दोलन करती है।

क्योंकि स्ट्रिंग अनंत लंबाई की है, x-अक्ष के साथ किसी भी बिंदु पर इसके विस्थापन के लिए इसकी कोई सीमा शर्त नहीं है। नतीजतन, एक स्थायी लहर किसी भी आवृत्ति पर बन सकती है।

x-अक्ष पर उन स्थानों पर जो एक चौथाई तरंग दैर्ध्य के भी गुणक हैं,

$x=\ldots ,-{3\lambda \over 2},\;-\lambda ,\;-{\lambda \over 2},\;0,\;{\lambda \over 2},\;\lambda ,\;{3\lambda \over 2},\ldots$

आयाम सदैव शून्य होता है। इन