खंडशः समाकलन

कलन में, और अधिक सामान्यतः गणितीय विश्लेषण में, खंडशः समाकलन या आंशिक समाकलन द्वारा समाकलन एक ऐसी प्रक्रिया है जो प्रकार्य (गणित) के एक उत्पाद (गणित) के अभिन्न (गणित) को उनके व्युत्पन्न और प्रतिअवकलज के उत्पाद के अभिन्न अंग के संदर्भ में खोजती है। यह प्रायः कार्यों के एक उत्पाद के प्रतिअवकलज को एक प्रतिअवकलज में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है जिसके लिए एक समाधान अधिक आसानी से पाया जा सकता है। नियम को व्युत्पन्न के उत्पाद नियम के अभिन्न संस्करण के रूप में माना जा सकता है।

भाग सूत्र द्वारा समाकलन कहता है:

$${\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}$$

या, मान लीजिये $u=u(x)$ और $du=u'(x)\,dx$ जबकि $v=v(x)$ और $dv=v'(x)\,dx$, सूत्र को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है:

$$\int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.$$

गणितज्ञ ब्रुक टेलर ने भागों द्वारा समाकलन की खोज की और पहली बार 1715 में इस विचार को प्रकाशित किया। भागों द्वारा समाकलन के अधिक सामान्य सूत्रीकरण रीमैन-स्टील्टजेस समाकल के लिए मौजूद हैं। अनुक्रम के लिए असतत गणित समधर्मी को भागों द्वारा संकलन कहा जाता है।

प्रमेय

दो कार्यों का उत्पाद

प्रमेय को निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। दो निरंतर अवकलनीय फलन (गणित) u(x) और v(x) के लिए गुणन नियम कहता है:

$${\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=v(x)u'(x)+u(x)v'(x).$$

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

$$\int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,$$

और यह देखते हुए कि एक अनिश्चितकालीन अभिन्न एक प्रतिअवकलज निम्न देता है

$$u(x)v($$