क्लासेन फलन

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन का ग्राफ़ Cl₂(θ)

गणित में थॉमस क्लाजेंन (1832) द्वारा प्रस्तुत क्लॉजेन फलन एकल चर का एक विशेष फलन है। इसे निश्चित समाकलन, त्रिकोणमितीय श्रृंखला और विभिन्न प्रकारों से व्यक्त किया जा सकता है। यह बहुगणित, प्रतिलोम स्पर्शज्या समाकलन, पॉलीगामा फलन, रीमैन जेटा फलन, डिरिचलेट एटा फलन और डिरिचलेट बीटा फलन के साथ जुड़ा हुआ है।

क्रम 2 का क्लॉजेन फलन - अनेक वर्गों में से समान होने के बाद भी इसे क्लॉजेन फलन के रूप में प्रदर्शित किया जाता है - समाकलन द्वारा दिया जाता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:$

अंतराल $0<\varphi <2\pi \,$ निरपेक्ष मान से कम साइन फलन धनात्मक रहता है, इसलिए निरपेक्ष मान के चिह्न को छोड़ा जा सकता है। क्लॉजेन फलन के द्वारा फूरियर श्रृंखला को भी प्रदर्शित किया जा सकता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots$

विशेष रूप से निश्चित और अनिश्चित दोनों लघुगणक और बहुगणितीय समाकलन के कई वर्गों के परिणाम के संबंध में क्लॉजेन फलन, फलन के एक वर्ग के रूप में, आधुनिक गणितीय अनुसंधान के कई क्षेत्रों में व्यापक रूप से प्रदर्शित होते हैं। उनके पास हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के योग, केंद्रीय द्विपद गुणांक के प्रतिलोम से जुड़े योग, पॉलीगामा फलन के योग और डिरिचलेट L -श्रृंखला के संबंध में भी कई अनुप्रयोग हैं।

मूल गुण

क्लॉजेन फलन (क्रम 2 के) में $\pi ,\,$सभी (पूर्णांक) गुणकों में शून्य होते हैं यदि $k\in \mathbb {Z} \,$ एक पूर्णांक है, तो $\sin k\pi =0$

$\operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots$

इसमें अधिकतम $\theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$ है

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots$

और न्यूनतम $\theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$ पर है

$\operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots$

निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के परिणाम हैं:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

$\operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

देखना लू & पेरेज (1992).

सामान्य परिभाषा

Standard Clausen functions

Glaisher–Clausen functions

सामान्यतः कोई दो व्यापक क्लॉजेन फलन को परिभाषित करता है:

$\operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}$

${\mathrm{C}}_z<!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=\underset{}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$