कैटेनरी

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बिंदुओं से लटकी हुई श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।

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फ्री-हैंगिंग ओवरहेड पावर लाइन भी कैटेनरी बनाती है (उच्च वोल्टेज लाइनों के साथ सबसे प्रमुख रूप से दिखाई देती है, और तनाव इन्सुलेटर के पास कुछ अपूर्णता के साथ)।

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एक मकड़ी के जाले पर रेशम अनेक लोचदार विरूपण कैटेनरी बनाते हैं।

भौतिकी और ज्यामिति में, कैटेनरी वह वक्र है जिसे आदर्शीकृत लटकती श्रृंखला या तार रस्सी अपने स्वयं के भार के अनुसार ग्रहण करती है जब केवल समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इसके सिरों पर समर्थित होती है।

कैटेनरी आर्क में यू-आकार की आकृति होती है, जो सतही रूप से परवलय के समान होता है, किन्तु यह परवलय नहीं है।

वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और कैटेनॉयड के क्रॉस सेक्शन के रूप में दिखाई देता है - दो समानांतर वृत्ताकार रिंगों से घिरी साबुन फिल्म द्वारा ग्रहण की गई आकृति होती है।

कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है। या, यह विशेष रूप से पदार्थ विज्ञान में, फनिक्युलर रोप स्टैटिक्स उत्कृष्ट स्थैतिक समस्या में कैटेनरी का वर्णन करता है जिसमें हैंगिंग रोप सम्मिलित है।

गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र अतिपरवलयिक कोज्या फलन के फलन का ग्राफ़ है। जो कि कैटेनरी वक्र की क्रांति की सतह , कैटेनॉयड, न्यूनतम सतह है, जो कि विशेष रूप से क्रांति की न्यूनतम सतह है जो कि लटकी हुई श्रृंखला कम से कम संभावित ऊर्जा का आकार ग्रहण करेगी जो कैटेनरी है। 1638 में गैलिलियो गैलिली ने दो नए विज्ञान की पुस्तक में कैटेनरी पर विचार किया गया था, यह मानते हुए कि यह परवलय से अलग था। जिससे कैटेनरी वक्र के गणितीय गुणों का अध्ययन रॉबर्ट हुक ने 1670 के दशक में किया था, और इसका समीकरण 1691 में लाइबनिट्स, क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली द्वारा प्राप्त किया गया था।

वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में जिससे बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। जो कि अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी स्टील कैटेनरी रिसर को संदर्भित करता है, उत्पादन प्लेटफॉर्म और सीबेड के मध्य निलंबित पाइपलाइन जो अनुमानित कैटेनरी आकार को अपनाती है। रेल उद्योग में यह अतिरिक्त रेखा को संदर्भित करता है जो ट्रेनों को विद्युत स्थानांतरित करता है। (यह अधिकांशत: हल्के संपर्क तार का समर्थन करता है, जिस स्थिति में यह सच्चे कैटेनरी वक्र का पालन नहीं करता है।)

ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फलन मैक्सवेल के समीकरणों के मूलभूत समाधान हैं। जिसमे यह दो अपवर्तक तरंगों से युक्त सममित मोड कैटेनरी आकार का निर्माण करेंगे।

इतिहास

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कासा मिला में एंटोनी गौडी का कैटेनरी मॉडल

कैटेनरी शब्द लैटिन शब्द कैटना से लिया गया है, जिसका अर्थ है चेन। अंग्रेजी शब्द कैटेनरी समान्य रूप से थॉमस जेफरसन को उत्तरदाई ठहराया जाता है,

जिन्होंने पुल के लिए आर्क के निर्माण पर थॉमस पेन को पत्र में लिखा था:

वर्तमान में मुझे इटली से मेहराब के संतुलन पर अब्बे माशेरोनी द्वारा लिखित एक ग्रंथ प्राप्त हुआ है। यह अत्यंत वैज्ञानिक कार्य प्रतीत होता है। मेरे पास अभी तक इसमें सम्मिलित होने का समय नहीं है; किन्तु मुझे लगता है कि उनके प्रदर्शनों का निष्कर्ष यह है कि कैटेनरी का हर भाग पूर्ण संतुलन में है।

अधिकांशत: यह कहा जाता है कि गैलीलियो गैलीली ने सोचा था कि लटकी हुई श्रृंखला का वक्र परवलयिक था। चूँकि, अपने दो नए विज्ञान (1638) में, गैलीलियो ने लिखा है कि लटकती हुई रस्सी केवल अनुमानित परवलय है, जो कि स्पष्ट रूप से यह देखते हुए कि यह अनुमान स्पष्टता में सुधार करता है क्योंकि वक्रता छोटी हो जाती है और लगभग स्पष्ट होती है जब ऊंचाई 45 डिग्री से कम होती है। तथ्य यह है कि श्रृंखला के बाद वक्र परवलय नहीं है जोआचिम जुंगियस (1587-1657) द्वारा सिद्ध किया गया था; यह परिणाम मरणोपरांत 1669 में प्रकाशित हुआ था।

आर्क के निर्माण के लिए कैटेनरी के आवेदन का श्रेय रॉबर्ट हुक को दिया जाता है, जिसका वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप सेंट पॉल कैथेड्रल के पुनर्निर्माण के संदर्भ में कैटेनरी की ओर संकेत करता है। जो कि कुछ बहुत पुराने आर्क अनुमानित कैटेनरी हैं, जिनमें से उदाहरण सीटीसिफॉन में तकी सीज़र का आर्क है।

1671 में, हुक ने रॉयल सोसाइटी को घोषणा की कि उन्होंने आर्च के इष्टतम आकार की समस्या को हल कर दिया है, और 1675 में लैटिन विपर्यय के रूप में एन्क्रिप्टेड समाधान प्रकाशित किया गया था। जिसमे हेलियोस्कोप के उनके विवरण के परिशिष्ट में है , जहां उन्होंने लिखा है कि उन्होंने भवन के लिए सभी प्रकार के मेहराबों का वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप पाया है। उन्होंने इस विपर्यय का समाधान प्रकाशित नहीं किया गया था जिसे अपने जीवनकाल में, किन्तु 1705 में उनके निष्पादक ने इसे यूटी पेंडेट कॉन्टिनम फ्लेक्साइल, एसआईसी स्टैबिट कॉन्टिगुम रिगिडम इनवर्सम के रूप में प्रदान किया गया था, जिसका अर्थ है कि जैसे लचीली केबल लटकती है, वैसे ही व्युत्क्रम , आर्च के स्पर्श करने वाले टुकड़े खड़े हो जाते हैं।

1691 में, गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो , क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली ने जैकब बर्नौली द्वारा चुनौती के उत्तर में समीकरण निकाला गया था; जिसे उनके समाधान जून 1691 के लिए जर्नल ऑफ स्कॉलर्स में प्रकाशित किए गए थे। डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ) ने 1697 में कैटेनरी पर ग्रंथ लिखा था जिसमें उन्होंने सही अंतर समीकरण की गलत व्युत्पत्ति प्रदान की गई थी।

यूलर ने 1744 में सिद्ध किया गया था कि कैटेनरी वह वक्र है, जिसे घुमाने पर x-अक्ष, दिए गए बाउंडिंग सर्कल के लिए न्यूनतम सतह क्षेत्र (कैटेनॉयड) की सतह देता है। निकोलस फुस ने 1796 में किसी भी बल के अनुसार श्रृंखला के संतुलन का वर्णन करने वाले समीकरण दिए है।

विपरीत कैटेनरी आर्क

इस प्रकार के भट्ठों के निर्माण में अधिकांशत: कैटेनरी आर्क का उपयोग किया जाता है। जिसमे वांछित वक्र बनाने के लिए, वांछित आयामों की लटकती श्रृंखला के आकार को ऐसे रूप में स्थानांतरित किया जाता है जिसे तब ईंटों या अन्य निर्माण पदार्थ की नियुक्ति के लिए गाइड के रूप में उपयोग किया जाता है।

सेंट लुइस, मिसौरी, संयुक्त राज्य अमेरिका में गेटवे आर्क को कभी-कभी (व्युत्क्रम ) कैटेनरी कहा जाता है, किन्तु यह गलत है। यह समीकरण के साथ अधिक सामान्य वक्र के समीप है जिसे चपटा कैटेनरी कहा जाता है समीकरण y = A cosh(Bx), के साथ है जो कैटेनरी है यदि AB = 1. है जबकि कैटेनरी निरंतर मोटाई के फ्रीस्टैंडिंग आर्च के लिए आदर्श आकार है, जो कि गेटवे आर्क शीर्ष के पास संकरा है। आर्च के लिए यू.एस. राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न नामांकन के अनुसार, यह इसके अतिरिक्त भारित कैटेनरी है। इसका आकार उस आकार से मेल खाता है जो भारित श्रृंखला, जिसमें मध्य में हल्के लिंक होते हैं, बनते हैं। जो कि मैकडॉनल्ड्स के लिए लोगो, सुनहेरे कमान है, जबकि दो जुड़े हुए परवलयों का आशय है, कैटेनरी पर भी आधारित है।

कैटेनरी ब्रिज

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साधारण निलंबन पुल अनिवार्य रूप से मोटे केबल होते हैं, और कैटेनरी वक्र का अनुसरण करते हैं।

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उरुग्वे के माल्डोनाडो में लियोनेल वीरा ब्रिज की तरह तनावग्रस्त रिबन पुल भी कठोर डेक में एम्बेडेड केबलों के साथ कैटेनरी वक्र का अनुसरण करते हैं।

फ्री-हैंगिंग चेन में, चेन की लंबाई के संबंध में लगाया गया बल समान होता है, और इसलिए चेन कैटेनरी कर्व का अनुसरण करती है। जिसे साधारण निलंबन पुल या कैटेनरी पुल के बारे में भी यही सच है, जहां सड़क मार्ग केबल का अनुसरण करता है।

एक तनावग्रस्त रिबन पुल ही कैटेनरी आकार के साथ अधिक परिष्कृत संरचना है।

चूँकि , एक निलंबित सड़क के साथ एक निलंबन पुल में, चेन या केबल पुल के भार का समर्थन करते हैं, और इसलिए स्वतंत्र रूप से नहीं लटकते हैं। जो की अधिकत्तर स्थितियों में सड़क समतल होती है, इसलिए जब केबल का भार समर्थित भार की तुलना में नगण्य होता है, तो लगाया गया बल क्षैतिज दूरी के संबंध में एक समान होता है, और परिणाम एक परवलय होता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है (चूँकि शब्द " कैटेनरी" अधिकांशत: अनौपचारिक अर्थ में अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यदि केबल भारी है तो परिणामी वक्र एक कैटेनरी और एक परवलय के मध्य होता है।

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एक कैटेनरी आर्च (ब्लैक डॉटेड कर्व) और परवलयिक आर्क (लाल सॉलिड कर्व) की तुलना ही स्पैन और सैग के साथ। कैटेनरी साधारण सस्पेंशन ब्रिज, या सस्पेंडेड-डेक सस्पेंशन ब्रिज की केबल का प्रतिनिधित्व करता है, जिस पर इसके डेक और हैंगर में केबल की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। परवलय निलंबित-डेक निलंबन पुल के केबल के प्रोफाइल का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर इसके केबल और हैंगर के डेक की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। ही स्पैन और सैग के साथ वास्तविक सस्पेंशन ब्रिज के केबल का प्रोफाइल दो कर्व्स के मध्य स्थित होता है। कैटेनरी और परवलय समीकरण क्रमशः y = cosh(x) तथा y =x² हैं,

समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग

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एंकर पर खींचने के कम कोण के साथ भारी एंकर श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।

गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित कैटेनरी भारी एंकर की सवारी को लाभ प्रदान करती है। एक एंकर राइड (या एंकर लाइन) में समान्य रूप से चेन या केबल या दोनों होते हैं। एंकर की सवारी का उपयोग जहाजों, तेल रिग, गोदी, तैरती पवन टरबाइन और अन्य समुद्री उपकरणों द्वारा किया जाता है जिन्हें समुद्र तल पर एंकर डालना चाहिए।

जब रस्सी ढीली होती है, तो कैटेनरी वक्र एंकर या मूरिंग उपकरण पर खींचने का कम कोण प्रस्तुत करता है, यदि यह लगभग सीधा होता तो ऐसा होता है । यह एंकर के प्रदर्शन को बढ़ाता है और बल के स्तर को बढ़ाता है जो इसे खींचने से पहले विरोध करेगा। हवा की उपस्थिति में कैटेनरी आकार को बनाए रखने के लिए भारी श्रृंखला की आवश्यकता होती है, जिससे गहरे जल में केवल बड़े जहाज ही इस प्रभाव पर विश्वाश कर सकें। छोटी नावें भी अधिकतम धारण शक्ति बनाए रखने के लिए कैटेनरी पर निर्भर करती हैं।

गणितीय विवरण

समीकरण

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के विभिन्न मूल्यों के लिए कैटेनरी a

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कैटेनरी के समीकरण का रूप है

$$y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)$$

जहाँ पर cosh अतिपरवलयिक फलन है, और जहाँ x निम्नतम बिंदु से मापा जाता है।

$$\kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}\,.$$

ओस्कुलेटिंग सर्कल तब है

$$\rho =a\sec ^{2}\varphi$$

जो स्पर्शरेखा की लंबाई है या सामान्य रेखा से इसके और के मध्य वक्र तक x-अक्ष है ।

अन्य वक्रों से संबंध

जब एक परवलय को एक सीधी रेखा के साथ घुमाया जाता है, तो उसके फोकस से बना रूलेट वक्र एक कैटेनरी होता है। परवलय की नियति का आवरण भी एक श्रृंगिका है। इससे व्युत्क्रम है , जो कि एक कैटेनरी पर एक रेखा को घुमाने पर शीर्ष पर प्रारंभ होने वाले बिंदु से पता लगाया गया रूलेट है, जो कि ट्रैक्ट्रिक्स है।

एक अन्य रूले, कैटेनरी पर लाइन को रोल करके बनाई गई है, और जो लाइन है। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्क्रम कैटेनरी वक्र के आकार में धक्कों की श्रृंखला से बनी सड़क पर चौकोर पहिये पूरी तरह से सुचारू रूप से लुढ़क सकते हैं। जो पहिए त्रिभुज को छोड़कर कोई भी नियमित बहुभुज हो सकते हैं, किन्तु कैटेनरी में पहियों के आकार और आयामों के अनुरूप पैरामीटर होने चाहिए।

ज्यामितीय गुण

किसी भी क्षैतिज अंतराल पर, कैटेनरी के नीचे के क्षेत्रफल और उसकी लंबाई का अनुपात a समान होता है जो कि चयनित अंतराल से स्वतंत्र होता है। इस संपत्ति के साथ क्षैतिज रेखा के अतिरिक्त कैटेनरी एकमात्र समतल वक्र है। इसके अतिरिक्त , कैटेनरी के विस्तार के अनुसार क्षेत्र का ज्यामितीय केन्द्रक वक्र के केन्द्रक और x-अक्ष को जोड़ने वाले लंबवत खंड का मध्यबिंदु है।

विज्ञान

एक समान विद्युत क्षेत्र में एक गतिमान आवेश एक कैटेनरी के साथ यात्रा करता है (यदि आवेश वेग प्रकाश की गति c से बहुत कम है तो यह एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है)।

दोनों छोर पर निश्चित त्रिज्या के साथ क्रांति की सतह जिसका सतह क्षेत्र न्यूनतम है, x-अक्ष के चारों ओर घूमने वाली एक कैटेनरी है।

विश्लेषण

चेन और आर्क का मॉडल

गणितीय मॉडल में श्रृंखला (या कॉर्ड, केबल, रस्सी, स्ट्रिंग, आदि) को यह मानकर आदर्श बनाया जाता है कि यह इतना पतला है कि इसे वक्र माना जा सकता है और यह इतना लचीला है कि तनाव (भौतिकी) का कोई भी बल लगाया जाता है। जो कि श्रृंखला द्वारा श्रृंखला के समानांतर है। इष्टतम आर्च के लिए वक्र का विश्लेषण समान है अतिरिक्त इसके कि तनाव की शक्ति संपीड़न (भौतिकी) की शक्ति बन जाती हैं और सब कुछ विपरीत हो जाता है।

एक अंतर्निहित सिद्धांत यह है कि बार संतुलन प्राप्त करने के बाद श्रृंखला को कठोर निकाय माना जा सकता है। प्रत्येक बिंदु पर वक्र के आकार और श्रृंखला के तनाव को परिभाषित करने वाले समीकरण इस तथ्य का उपयोग करके खंड पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों के सावधानीपूर्वक निरीक्षण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं कि यदि श्रृंखला स्थिर संतुलन में है तो इन बलों को संतुलन में होना चाहिए।

मान लीजिए कि श्रृंखला द्वारा अनुसरण किए गए पथ को r = (x, y) = (x(s), y(s)) द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है, जहां s चाप की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है और r स्थिति सदिश है। यह प्राकृतिक मानकीकरण है और इसमें वह गुण है

$${\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u}$$

जहाँ पर u इकाई स्पर्शरेखा सदिश है।

File:CatenaryForceDiagram.svg

c से r तक कैटेनरी के एक खंड पर कार्य करने वाले बलों का आरेख। बल c पर तनाव T₀, r पर तनाव T और श्रृंखला का भार (0, −λgs) हैं। चूँकि श्रृंखला विरामावस्था में है इसलिए इन बलों का योग शून्य होना चाहिए।

वक्र के लिए अंतर समीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। होने देना c श्रृंखला का सबसे निचला बिंदु हो, जिसे कैटेनरी का शीर्ष कहा जाता है। वक्र का ढलान dy/dx, c पर शून्य है चूंकि यह न्यूनतम बिंदु है। मान लें कि r, c के दाईं ओर है क्योंकि अन्य स्थिति समरूपता द्वारा निहित है। c से r तक श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल c पर श्रृंखला का तनाव, r पर श्रृंखला का तनाव और श्रृंखला का भार हैं। जो कि c पर तनाव, c पर वक्र के स्पर्शरेखा है और इसलिए बिना किसी ऊर्ध्वाधर घटक के क्षैतिज है और यह अनुभाग को बाईं ओर खींचता है इसलिए इसे (−T₀, 0)लिखा जा सकता है जहां T₀ बल का परिमाण है। r पर तनाव आर पर वक्र के समानांतर है और अनुभाग को दाईं ओर खींचता है। r पर तनाव को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसे Tu = (T cos φ, T sin φ) लिखा जा सकता है, जहां T बल का परिमाण है और φ r पर वक्र और x-अक्ष के मध्य का कोण है। (स्पर्शरेखा कोण देखें)। अंत में, श्रृंखला के भार को (0, −λgs) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां λ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है, g गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है और s, c और r के मध्य श्रृंखला के खंड की लंबाई है।

श्रृंखला संतुलन में है इसलिए तीन बलों का योग है 0, इसलिए

$$T\cos \varphi =T_{0}$$

तथा

$$T\sin \varphi =\lambda gs\,,$$

और इन्हें विभाजित करने पर मिलता है

$${\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda gs}{T_{0}}}\,.$$

लिखना सुविधाजनक है

$$a={\frac {T_{0}}{\lambda g}}$$

जो श्रृंखला की लंबाई है जिसका भार c पर तनाव के परिमाण के समान है। तब

$$\frac{dy}{dx}=$$