केली रूपांतरण

गणित में, आर्थर केली के नाम पर केली रूपांतरण, संबंधित चीजों का एक समूह है। जैसा कि मूल रूप से केली (1846) द्वारा वर्णित है, केली रूपांतरण विषम सममित आव्यूह और विशेष लांबिक आव्यूह के बीच एक मानचित्रण है। परिवर्तन वास्तविक विश्लेषण, सम्मिश्र विश्लेषण और चतुष्कोणीय विश्लेषण में प्रयुक्त एक होमोग्राफी है। हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सिद्धांत में, केली रूपांतरण रैखिक संचालक के बीच एक मानचित्रण (Nikol’skii 2001) है

यथार्थ होमोग्राफी

केली रूपांतरण वास्तविक प्रक्षेपी रेखा का एक स्वसमाकृतिकता है जो अनुक्रम में {1, 0, -1, ∞} के तत्वों को क्रमबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यह सकारात्मक वास्तविक संख्याओं को अंतराल [−1, 1] में प्रतिचित्रित करता है। इस प्रकार केली रूपांतरण का उपयोग लिजेंड्रे बहुपदों को अनुकूल बनाने के लिए किया जाता है ताकि लेजेंड्रे तर्कसंगत कार्यों के साथ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर उपयोग किया जा सके।

वास्तविक होमोग्राफी के रूप में, बिंदुओं को प्रक्षेपीय निर्देशांक के साथ वर्णित किया गया है, और निम्न प्रतिचित्रण है

$[y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.$

सम्मिश्र होमोग्राफी

यूनिट डिस्क में अपर कॉम्प्लेक्स हाफ-प्लेन का केली रूपांतरण

रीमैन क्षेत्र पर, केली रूपांतरण है:

$f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

चूँकि {∞, 1, –1 } को {1, –i, i } में प्रतिचित्र किया जाता है, और मोबियस रूपांतरण सम्मिश्र समतल में सामान्यीकृत वृत्त को अनुमति देता है, f वास्तविक रेखा को एकल वृत्त में प्रतिचित्र करता है। इसके अलावा, चूँकि f निरंतर प्रतिचित्रण है और i को f द्वारा 0 पर ले जाया जाता है, ऊपरी अर्ध समतल को एकल चक्रिका पर प्रतिचित्र किया जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के गणितीय प्रतिरूप के संदर्भ में, यह केली रूपांतरण पॉइनकेयर अर्ध समतल प्रतिरूप को पॉइंकेयर चक्रिका प्रतिरूप से संबंधित करता है। विद्युत अभियांत्रिकी में केली रूपांतरण का उपयोग संचरण लाइन के प्रतिबाधा मिलान के लिए उपयोग किए जाने वाले स्मिथ चार्ट के विद्युत प्रतिघात अर्ध-विमान को प्रतिचित्र करने के लिए किया गया है।

चतुष्कोण होमोग्राफी

चतुष्कोणों के चार आयामी स्थान में q = a + b i + c j + d k, छंद

$u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta$ इकाई 3-गोला बनाएँ।

चूंकि चतुष्कोण गैर-क्रम विनिमय हैं, वलय के ऊपर इसकी प्रक्षेप्य रेखा के तत्वों में U (a, b) लिखे गए सजातीय निर्देशांक हैं, यह इंगित करने के लिए कि सजातीय कारक बाईं ओर गुणा करता है। चतुष्कोणीय परिवर्तन निम्न है

$f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].$

ऊपर वर्णित वास्तविक और सम्मिश्र समरूपता क्वाटरनियन होमोग्राफी के उदाहरण हैं जहां θ क्रमशः शून्य या π/2 है।

स्पष्ट रूप से परिवर्तन u → 0 → -1 लेता है और -u → ∞ → 1 लेता है।

q = 1 पर इस होमोग्राफी का मूल्यांकन वर्सर u को अपनी धुरी में प्रतिचित्र करता है:

$f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.$

लेकिन $|1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{and}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$

इस प्रकार $f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.$

इस रूप में केली रूपांतरण को क्रमावर्तन के तर्कसंगत प्राचलीकरण के रूप में वर्णित किया गया है: सम्मिश्र संख्या पहचान में t = tan φ/2 दें

$e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}$

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