एक तरफा सीमा

कलन में, एक तरफा सीमा किसी फलन (गणित) के फलन की दो सीमाओं में से किसी एक को संदर्भित करती है। $f(x)$ एक वास्तविक संख्या चर का $x$ जैसा $x$ किसी निर्दिष्ट बिंदु तक या तो बाएँ से या दाएँ से पहुँचता है।

सीमा के रूप में $x$ मूल्य में कमी आ रही है $a$ ($x$ दृष्टिकोण $a$ दाईं ओर से या ऊपर से ) निरूपित किया जा सकता है:

$$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)$$

सीमा के रूप में $x$ मूल्य में वृद्धि आ रही है $a$ ($x$ दृष्टिकोण $a$ बाएं से या नीचे से ) निरूपित किया जा सकता है।

$$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)$$

अगर की सीमा $f(x)$ के रूप में जैसा $x$ दृष्टिकोण $a$ अस्तित्व में है तो बाएँ और दाएँ दोनों की सीमाएँ उपस्थित हैं और समान हैं। कुछ स्थितियों में जिनमें सीमा

$$\lim _{x\to a}f(x)$$

उपस्थित नहीं है, फिर भी दो एकतरफा सीमाएँ उपस्थित हैं। परिणामस्वरूप, के रूप में सीमा $x$ दृष्टिकोण $a$ कभी-कभी दो तरफा सीमा कहा जाता है।

दो एकतरफा सीमाओं में से एक का अस्तित्व में होना संभव है (जबकि दूसरी का अस्तित्व नहीं है)। यह भी संभव है कि दो एकतरफा सीमाओं में से किसी का भी अस्तित्व न हो।

औपचारिक परिभाषा

परिभाषा

अगर $I$ कुछ अंतराल (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है जो किसी फलन के डोमेन में निहित है $f$ और अगर $a$ में बिंदु है $I$ फिर दाईं ओर की सीमा के रूप में $x$ दृष्टिकोण $a$ मूल्य के रूप में कड़ाई से परिभाषित किया जा सकता है $R$ जो संतुष्ट करता है।