उत्तल पॉलीटॉप
उत्तल पॉलीटॉप मुख्यतः पॉलीटॉप की ऐसी विशेष स्थिति है, जिसमें अतिरिक्त गुण होते हैं इसका कारण यह हैं कि यह उत्तल समुच्चय द्वारा प्रदर्शित होता हैं इस कारण -आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष को के रूप में लिख सकते हैं। इस प्रकार अधिकांश ग्रंथों[1][2] के माध्यम से बंधे हुए समुच्चयों को उत्तल पॉलीटॉप के लिए पॉलीटॉप शब्द का उपयोग करते हैं, और अधिक सामान्य रूप प्राप्त करने के लिए संभवतः अबाधित वस्तु के लिए पॉलीहेड्रॉन शब्द का उपयोग करते हैं। इस कारण किसी अन्य[3] (इस लेख सहित) पॉलीटोप्स को असीमित होने की अनुमति देते हैं। इस प्रकार बाउंडेड या अनबाउंड कॉन्वेक्स पॉलीटोप का उपयोग नीचे उस स्थिति में किया जाएगा जब बाउंडनेस द्वारा की गई चर्चा के कारण इन स्थितियों के लिए इसे महत्वपूर्ण माना जाता हो। फिर भी अन्य ग्रंथ इसकी सीमा के साथ उत्तल पॉलीटॉप की पहचान करते हैं।
उत्तल बहुशीर्ष गणित की विभिन्न शाखाओं और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों दोनों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, विशेष रूप से रैखिक प्रोग्रामिंग में इसकी विशेष भूमिका होती हैं।
इस प्रकार ग्रुनबाम की प्रभावशाली पाठ्यपुस्तकों में[1]और ज़िग्लर[2] विषय पर साथ ही असतत ज्यामिति में कई अन्य ग्रंथों में, उत्तल पॉलीटोप्स को अधिकांशतः पॉलीटोप्स कहा जाता है। इस कारण ग्रुनबाउम बताते हैं कि यह केवल उत्तल शब्द की अंतहीन पुनरावृत्ति से बचने के लिए करते हैं, और यह कि चर्चा को केवल उत्तल विविधता (पृष्ठ 51) पर लागू करने के रूप में समझा जाना चाहिए।
एक पॉलीटॉप को पूर्ण-आयामी कहा जाता है, इस कारण यदि यह -आयामी वस्तु में के रूप में प्रदर्शित होता हैं।
उदाहरण
- बाध्य उत्तल पॉलीटोप्स के कई उदाहरण लेख पॉलीहेड्रॉन में पाए जा सकते हैं।
- 2-आयामी मामले में पूर्ण-आयामी उदाहरण आधा-विमान, दो समानांतर रेखाओं के बीच पट्टी, कोण आकार (दो गैर-समानांतर अर्ध-विमानों का प्रतिच्छेदन), उत्तल बहुभुज श्रृंखला द्वारा परिभाषित आकृति है इसके सिरों से जुड़ी दो किरणें (ज्यामिति) और उत्तल बहुभुज माना जाता हैं।
- किसी असीमित उत्तल पॉलीटोप के विशेष स्थितियों को दो समानांतर हाइपरप्लेन के बीच स्लैब (ज्यामिति), दो गैर-समानांतर हाफ-स्पेस (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित वेज हैं। इस प्रकार हाफ-स्पेस, पॉलीहेड्रल सिलेंडर (अनंत प्रिज्म (ज्यामिति)), और बहुफलकीय शंकु (अनंत शंकु) सामान्य बिंदु से गुजरने वाली तीन या अधिक अर्ध-रिक्तियों द्वारा परिभाषित किया जाता हैं।
परिभाषाएँ
इस समस्या के लिए अधिक उपयुक्त क्या है, इस पर निर्भर करते हुए उत्तल पॉलीटॉप को कई विधियों से परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार ग्रुनबाम की परिभाषा अंतरिक्ष में बिंदुओं के उत्तल समुच्चय के संदर्भ में है। अन्य महत्वपूर्ण परिभाषाएँ हैं: अर्ध-स्थान (ज्यामिति) के प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में या अर्ध-स्थान (आधा-स्थान प्रतिनिधित्व) और बिंदुओं के समुच्चय के उत्तल आवरण के रूप में (शीर्ष प्रतिनिधित्व) किया जाता हैं।
अक्षीय प्रतिनिधित्व (उत्तल आवरण)
अपनी पुस्तक उत्तल पॉलीटोप्स में, ग्रुनबाम उत्तल पॉलीटॉप को 'कॉम्पैक्ट स्पेस उत्तल समुच्चय के साथ उच्च बिंदुओं की सीमित संख्या' के रूप में परिभाषित करता है:
- एक समुच्चय का उत्तल है यदि, अलग-अलग बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए , में , समापन बिंदु के साथ बंद खंड तथा के भीतर निहित रहता है।
यह परिमित उत्तल पॉलीटॉप को बिंदुओं के परिमित समुच्चय के उत्तल आवरण के रूप में परिभाषित करने के समान है, जहां परिमित समुच्चय में पॉलीटॉप के उच्च बिंदुओं का समुच्चय होना चाहिए। इस प्रकार की परिभाषा को शीर्ष प्रतिनिधित्व (वी-प्रतिनिधित्व या वी-विवरण) कहा जाता है।[1] इस कारण कॉम्पैक्ट उत्तल पॉलीटॉप के लिए, न्यूनतम वी-विवरण अद्वितीय है और यह पॉलीटॉप के अक्षीय (ज्यामिति) के समुच्चय द्वारा दिया गया है।[1] इस प्रकार उत्तल पॉलीटॉप को अभिन्न पॉलीटॉप कहा जाता है यदि इसके सभी कोने पूर्णांक निर्देशांक होते हैं।
अर्धस्थानों का अंतःखण्ड
एक उत्तल पॉलीटॉप को अर्ध-स्थानों की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ऐसी परिभाषा को आधा स्थान प्रतिनिधित्व (एच-प्रतिनिधित्व या एच-विवरण) कहा जाता है।[1] इस प्रकार उत्तल पॉलीटॉप के उच्चतम रूप से कई एच-विवरण सम्मिलित हैं। चूंकि पूर्ण-आयामी उत्तल पॉलीटॉप के लिए, न्यूनतम एच-विवरण वास्तव में अद्वितीय है और यह पहलू (ज्यामिति) के समुच्चय द्वारा दिया जाता है - हाफस्पेस को परिभाषित करता है।[1]
किसी बंद अर्ध-स्थान को रैखिक असमानता के रूप में लिखा जा सकता है:[1]
जहाँ पर विचाराधीन पॉलीटॉप वाले स्थान का आयाम है। इसलिए, बंद उत्तल पॉलीटॉप को रैखिक असमानताओं की प्रणाली के समाधान के समुच्चय के रूप में माना जा सकता है: