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गणित में, अर्धक्षेत्र एक [[बीजगणितीय संरचना]] है जिसमें दो द्विआधारी संक्रियाएँ, जोड़ और गुणा होती हैं, जो एक क्षेत्र (गणित) के समान होती है, लेकिन कुछ स्वयंसिद्ध आराम के साथ।
गणित में, अर्धक्षेत्र एक [[बीजगणितीय संरचना]] है जिसमें दो द्वि-आधारी संक्रियाएँ, जोड़ और गुणा होते हैं, जो एक क्षेत्र के समान है, लेकिन कुछ सिद्धांतों के साथ शिथिल है।


== सिंहावलोकन ==
== सिंहावलोकन ==
अर्धक्षेत्र शब्द के दो परस्पर विरोधी अर्थ हैं, जिनमें से दोनों में क्षेत्र को एक विशेष विषय के रूप में सम्मिलित किया गया है।
अर्धक्षेत्र शब्द के दो परस्पर विरोधी अर्थ हैं, जिनमें से दोनों में क्षेत्र को एक विशेष विषय के रूप में सम्मिलित किया गया है।


* [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और [[परिमित ज्यामिति]] ([[गणित विषय वर्गीकरण]] 51A, 51E, 12K10) में, एक अर्धक्षेत्र गुणक पहचान तत्व के साथ एक गैर-सहयोगी विभाजन वलय है।<ref name="Knuth" /> अधिक सटीक रूप से, यह एक [[गैर-सहयोगी बीजगणित]] है जिसके अशून्य तत्व गुणन के तहत एक [[पाश (बीजगणित)|लूप (बीजगणित)]] बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, अर्धक्षेत्र एक सेट S है जिसमें दो संक्रियाएं + (जोड़) और · (गुणा) होते हैं, जैसे कि
* [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] और [[परिमित ज्यामिति]] ([[गणित विषय वर्गीकरण]] 51A, 51E, 12K10) में, अर्धक्षेत्र गुणक पहचान तत्व के साथ एक गैर-साहचर्य विभाजन वलय है।<ref name="Knuth" /> अधिक सटीक रूप से, यह एक [[गैर-सहयोगी बीजगणित|गैर-साहचर्य वलय]] है जिसके अशून्य तत्व गुणन के तहत एक [[पाश (बीजगणित)|परिपथ (लूप)]] बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, अर्धक्षेत्र एक समुच्चय S है जिसमें दो संक्रियाएं + (जोड़) और · (गुणा) होते हैं, जैसे कि
** (S,+) एक [[एबेलियन समूह]] है,
** (S,+) एक [[एबेलियन समूह]] है,
** गुणन बाएँ और दाएँ दोनों पर वितरण गुण है,
** गुणन बाएँ और दाएँ दोनों पर वितरणात्मक है,
** वहाँ एक गुणात्मक [[पहचान तत्व]] उपस्थित है, और
** वहाँ एक गुणात्मक [[पहचान तत्व]] उपस्थित है, और
** [[विभाजन (गणित)]] हमेशा संभव है: S में प्रत्येक a और प्रत्येक अशून्य b के लिए, S में अद्वितीय x और y उपस्थित हैं जिसके लिए b·x = a और y·b = a हैं।
** [[विभाजन (गणित)]] हमेशा: S में प्रत्येक a और प्रत्येक अशून्य b के लिए संभव होता है, S में अद्वितीय x और y उपस्थित होते हैं जिनके लिए b·x = a और y·b = a होता है।
: विशेष रूप से ध्यान दें कि गुणन को क्रमविनिमेय गुण या साहचर्य गुण नहीं माना जाता है। एक अर्धक्षेत्र जो साहचर्य है वह एक विभाजन वलय है, और जो साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है वह एक क्षेत्र (गणित) है। इस परिभाषा के अनुसार एक अर्धक्षेत्र [[kassifield|क्वासिफ़ील्ड]] का एक विशेष विषय है। यदि S परिमित है, तो ऊपर की परिभाषा में अंतिम अभिगृहीत को इस धारणा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, ताकि a·b = 0 का तात्पर्य यह हो कि a = 0 या b = 0।<ref name="Landquist" /> ध्यान दें कि [[साहचर्य]] की कमी के कारण, अंतिम अभिगृहीत इस धारणा के समतुल्य नहीं है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, जैसा कि आमतौर पर क्षेत्रों और विभाजन वलय की परिभाषाओं में पाया जाता है।
: विशेष रूप से ध्यान दें कि गुणन को क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं माना जाता है। अर्धक्षेत्र जो साहचर्य है वह एक विभाजन वलय है, और जो साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है वह एक क्षेत्र (गणित) है। इस परिभाषा के अनुसार अर्धक्षेत्र [[kassifield|क्वासिफ़ील्ड]] का एक विशेष विषय है। यदि S परिमित है, तो उपरोक्त परिभाषा में अंतिम अभिगृहीत को इस धारणा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, ताकि a·b = 0 का तात्पर्य यह हो कि a = 0 या b = 0 है।<ref name="Landquist" /> ध्यान दें कि [[साहचर्य]] की कमी के कारण, अंतिम अभिगृहीत इस धारणा के समतुल्य नहीं है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, जैसा कि आमतौर पर क्षेत्रों और विभाजन वलय की परिभाषाओं में पाया जाता है।


* [[अंगूठी सिद्धांत|वलय सिद्धांत]], साहचर्य, [[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनिक विश्लेषण]] और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] (गणित विषय वर्गीकरण 16Y60) में, 'अर्धक्षेत्र' एक [[मोटी हो जाओ|अर्ध वलय]] (S,+,·) है जिसमें सभी गैर-शून्य तत्वों का गुणक व्युत्क्रम होता है।<ref name="Golan" /><ref name="HW" /> इन वस्तुओं को उचित अर्धक्षेत्र भी कहा जाता है। इस परिभाषा में भिन्नता उत्पन्न होती है यदि ''S'' में एक अवशोषित शून्य होता है जो गुणक इकाई ''e'' से भिन्न होता है, यह आवश्यक है कि गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय हों, और ''a'·0 = 0·''a'' = 0''। चूंकि गुणन साहचर्य है, अर्धक्षेत्र के (गैर-शून्य) तत्व एक समूह (गणित) बनाते हैं। फिर भी, युग्म (S,+) केवल एक अर्धसमूह है, अर्थात योगात्मक व्युत्क्रम का अस्तित्व आवश्यक नहीं है, या, बोलचाल की भाषा में, 'कोई घटाव नहीं है'। कभी-कभी, यह नहीं माना जाता है कि गुणन साहचर्य है।
* [[अंगूठी सिद्धांत|वलय सिद्धांत]], साहचर्य, [[कार्यात्मक विश्लेषण|फलनिक विश्लेषण]] और [[सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान]] (गणित विषय वर्गीकरण 16Y60) में, 'अर्धक्षेत्र' एक [[मोटी हो जाओ|अर्ध वलय]] (S,+,·) है जिसमें सभी गैर-शून्य तत्वों का गुणक व्युत्क्रम होता है।<ref name="Golan" /><ref name="HW" /> इन वस्तुओं को उचित अर्धक्षेत्र भी कहा जाता है। इस परिभाषा में भिन्नता उत्पन्न होती है यदि ''S'' में एक अवशोषित शून्य होता है जो गुणक इकाई ''e'' से भिन्न होता है, यह आवश्यक है कि गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय हों, और ''a'·0 = 0·''a'' = 0 हों''। चूंकि गुणन साहचर्य है, अर्धक्षेत्र के (गैर-शून्य) तत्व एक समूह (गणित) बनाते हैं। फिर भी, युग्म (S,+) केवल एक अर्धसमूह है, अर्थात योगात्मक व्युत्क्रम का अस्तित्व आवश्यक नहीं है, या, बोलचाल की भाषा में, 'कोई घटाव नहीं है'। कभी-कभी, यह नहीं माना जाता है कि गुणन साहचर्य है।


== अर्धक्षेत्रों की आदिमता ==
== अर्धक्षेत्रों की आदिमता ==
एक अर्धक्षेत्र D को राइट (सम्मान बाएं) आदिम कहा जाता है यदि इसमें एक तत्व w है जैसे कि D * के गैर-शून्य तत्वों का सेट w के सभी दाएं (सम्मान बाएं) प्रमुख घात के समुच्चय के बराबर है।
एक अर्धक्षेत्र D को दाहिना (सम्मान. बाएं) अभाज्य कहा जाता है यदि इसमें एक तत्व w इस प्रकार है कि D * के गैर-शून्य तत्वों का समुच्चय w के सभी दाएं (सम्मान. बाएं) प्रमुख घात के समुच्चय के बराबर है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
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* सामान्य जोड़ और गुणा के साथ धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाती हैं।
* सामान्य जोड़ और गुणा के साथ धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]एँ क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाती हैं।
*: इसे एक अवशोषित 0 द्वारा विस्तृत किया सकता है, जिससे प्रायिकता अर्ध वलय बनती है, जो [[लॉग सेमीरिंग|लॉग अर्ध वलय]] के लिए समरूपी है।
*: इसे एक अवशोषित 0 द्वारा विस्तृत किया सकता है, जिससे प्रायिकता अर्ध वलय बनती है, जो [[लॉग सेमीरिंग|लॉग अर्ध वलय]] के लिए समरूपी है।
* फॉर्म f / g के [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत फलन]], जहां f और g सकारात्मक गुणांक वाले एक चर में [[बहुपद]] हैं, एक  क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाते हैं।
* f / g रूप के [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत फलन]], जहां f और g सकारात्मक गुणांक वाले चर में [[बहुपद]] हैं, एक  क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाते हैं।
*: इसे 0 सम्मिलित करने के लिए विस्तृत किया सकता है।
*: इसे 0 सम्मिलित करने के लिए विस्तृत किया सकता है।
* वास्तविक संख्या 'R' को अर्धक्षेत्र में देखा जा सकता है जहां दो तत्वों का योग उनकी अधिकतम और उत्पाद को उनकी सामान्य राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है; यह अर्धक्षेत्र अधिक संक्षिप्त रूप से निरूपित है ('R', अधिकतम, +)। इसी तरह ('R', निम्नतम, +) एक अर्धक्षेत्र है। इन्हें [[उष्णकटिबंधीय]] अर्ध वलय कहा जाता है।
* वास्तविक संख्या 'R' को अर्धक्षेत्र में देखा जा सकता है जहां दो तत्वों का योग उनकी अधिकतम और उत्पाद को उनकी सामान्य राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है; यह अर्धक्षेत्र अधिक संक्षिप्त रूप से निरूपित है ('R', अधिकतम, +)। इसी तरह ('R', निम्नतम, +) एक अर्धक्षेत्र है। इन्हें [[उष्णकटिबंधीय]] अर्ध वलय कहा जाता है।
*: इसे −∞ (अवशोषित 0) द्वारा विस्तृत किया सकता है; यह लॉग अर्ध वलय की सीमा (उष्णकटिबंधीयकरण) है क्योंकि आधार अनंत तक जाता है।
*: इसे −∞ (अवशोषित 0) द्वारा विस्तृत किया सकता है; यह लॉग अर्ध वलय की सीमा (उष्णकटिबंधीयकरण) है क्योंकि आधार अनंत तक जाता है।
* पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण, अगर (A,·,≤) एक जालीदार-आदेशित समूह है तो (A,+,·) योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र है, जिसमें अर्धक्षेत्र योग को दो तत्वों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, कोई भी योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र (A,+,·) एक जाली-आदेशित समूह (A,·,≤) को परिभाषित करता है, जहाँ a≤b तब ही है जब यदि और केवल यदि a + b = b है।
* पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण, अगर (A,·,≤) एक जालीदार-आदेशित समूह है तो (A,+,·) योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र है, जिसमें अर्धक्षेत्र योग को दो तत्वों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, कोई भी योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र (A,+,·) एक जाली-आदेशित समूह (A,·,≤) को परिभाषित करता है, जहाँ a≤b तब ही है संभव जब a + b = b हो।
* बूलियन अर्धक्षेत्र 'बी' = {0, 1} [[तार्किक या]] द्वारा परिभाषित जोड़ के साथ, और [[तार्किक और]] द्वारा परिभाषित गुणन के साथ।
* बूलियन अर्धक्षेत्र 'बी' = {0, 1} जोड़ के साथ [[तार्किक या]] द्वारा परिभाषित, और गुणन के साथ [[तार्किक और]] द्वारा परिभाषित होता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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<ref name="HW">Hebisch, Udo; Weinert, Hanns Joachim, ''Semirings and semifields''. Handbook of algebra, Vol. 1, 425--462, North-Holland, Amsterdam, 1996. {{MathSciNet|id=1421808}}.</ref>
<ref name="HW">Hebisch, Udo; Weinert, Hanns Joachim, ''Semirings and semifields''. Handbook of algebra, Vol. 1, 425--462, North-Holland, Amsterdam, 1996. {{MathSciNet|id=1421808}}.</ref>
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Algebraic structure → Ring theory
Ring theory
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• Kernel
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Algebraic structures

• Module
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Related structures

• Field
• Finite field
• Non-associative ring
• Lie ring
• Jordan ring
• Semiring
• Semifield
Commutative algebra
Commutative rings
• Integral domain
• Integrally closed domain
• GCD domain
• Unique factorization domain
• Principal ideal domain
• Euclidean domain
• Field
• Finite field
• Composition ring
• Polynomial ring
• Formal power series ring

Algebraic number theory

• Algebraic number field
• Ring of integers
• Algebraic independence
• Transcendental number theory
• Transcendence degree

p-adic number theory and decimals

• Direct limit/Inverse limit
• Zero ring
• Integers modulo pn
• Prüfer p-ring
• Base-p circle ring
• Base-p integers
• p-adic rationals
• Base-p real numbers
• p-adic integers
• p-adic numbers
• p-adic solenoid

Algebraic geometry

• Affine variety
Noncommutative algebra
Noncommutative rings
• Division ring
• Semiprimitive ring
• Simple ring
• Commutator

Noncommutative algebraic geometry

Free algebra

Clifford algebra

• Geometric algebra
Operator algebra

गणित में, अर्धक्षेत्र एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें दो द्वि-आधारी संक्रियाएँ, जोड़ और गुणा होते हैं, जो एक क्षेत्र के समान है, लेकिन कुछ सिद्धांतों के साथ शिथिल है।

सिंहावलोकन

अर्धक्षेत्र शब्द के दो परस्पर विरोधी अर्थ हैं, जिनमें से दोनों में क्षेत्र को एक विशेष विषय के रूप में सम्मिलित किया गया है।

विशेष रूप से ध्यान दें कि गुणन को क्रमविनिमेय या साहचर्य नहीं माना जाता है। अर्धक्षेत्र जो साहचर्य है वह एक विभाजन वलय है, और जो साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है वह एक क्षेत्र (गणित) है। इस परिभाषा के अनुसार अर्धक्षेत्र क्वासिफ़ील्ड का एक विशेष विषय है। यदि S परिमित है, तो उपरोक्त परिभाषा में अंतिम अभिगृहीत को इस धारणा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, ताकि a·b = 0 का तात्पर्य यह हो कि a = 0 या b = 0 है।[2] ध्यान दें कि साहचर्य की कमी के कारण, अंतिम अभिगृहीत इस धारणा के समतुल्य नहीं है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, जैसा कि आमतौर पर क्षेत्रों और विभाजन वलय की परिभाषाओं में पाया जाता है।
  • वलय सिद्धांत, साहचर्य, फलनिक विश्लेषण और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान (गणित विषय वर्गीकरण 16Y60) में, 'अर्धक्षेत्र' एक अर्ध वलय (S,+,·) है जिसमें सभी गैर-शून्य तत्वों का गुणक व्युत्क्रम होता है।[3][4] इन वस्तुओं को उचित अर्धक्षेत्र भी कहा जाता है। इस परिभाषा में भिन्नता उत्पन्न होती है यदि S में एक अवशोषित शून्य होता है जो गुणक इकाई e से भिन्न होता है, यह आवश्यक है कि गैर-शून्य तत्व व्युत्क्रमणीय हों, और a'·0 = 0·a = 0 हों। चूंकि गुणन साहचर्य है, अर्धक्षेत्र के (गैर-शून्य) तत्व एक समूह (गणित) बनाते हैं। फिर भी, युग्म (S,+) केवल एक अर्धसमूह है, अर्थात योगात्मक व्युत्क्रम का अस्तित्व आवश्यक नहीं है, या, बोलचाल की भाषा में, 'कोई घटाव नहीं है'। कभी-कभी, यह नहीं माना जाता है कि गुणन साहचर्य है।

अर्धक्षेत्रों की आदिमता

एक अर्धक्षेत्र D को दाहिना (सम्मान. बाएं) अभाज्य कहा जाता है यदि इसमें एक तत्व w इस प्रकार है कि D * के गैर-शून्य तत्वों का समुच्चय w के सभी दाएं (सम्मान. बाएं) प्रमुख घात के समुच्चय के बराबर है।

उदाहरण

हम केवल दूसरे अर्थ में अर्धक्षेत्रों का उदाहरण देते हैं, अर्थात वितरण गुणन के साथ योज्य अर्धसमूह। इसके अतिरिक्त, हमारे उदाहरणों में योग क्रमविनिमेय है और गुणन साहचर्य है।

  • परिमेय संख्याएँ सामान्य जोड़ और गुणन के साथ क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाती हैं।
    इसे अवशोषित 0 द्वारा विस्तृत किया सकता है।
  • सामान्य जोड़ और गुणा के साथ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाती हैं।
    इसे एक अवशोषित 0 द्वारा विस्तृत किया सकता है, जिससे प्रायिकता अर्ध वलय बनती है, जो लॉग अर्ध वलय के लिए समरूपी है।
  • f / g रूप के तर्कसंगत फलन, जहां f और g सकारात्मक गुणांक वाले चर में बहुपद हैं, एक क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाते हैं।
    इसे 0 सम्मिलित करने के लिए विस्तृत किया सकता है।
  • वास्तविक संख्या 'R' को अर्धक्षेत्र में देखा जा सकता है जहां दो तत्वों का योग उनकी अधिकतम और उत्पाद को उनकी सामान्य राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है; यह अर्धक्षेत्र अधिक संक्षिप्त रूप से निरूपित है ('R', अधिकतम, +)। इसी तरह ('R', निम्नतम, +) एक अर्धक्षेत्र है। इन्हें उष्णकटिबंधीय अर्ध वलय कहा जाता है।
    इसे −∞ (अवशोषित 0) द्वारा विस्तृत किया सकता है; यह लॉग अर्ध वलय की सीमा (उष्णकटिबंधीयकरण) है क्योंकि आधार अनंत तक जाता है।
  • पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण, अगर (A,·,≤) एक जालीदार-आदेशित समूह है तो (A,+,·) योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र है, जिसमें अर्धक्षेत्र योग को दो तत्वों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, कोई भी योगात्मक रूप से निष्क्रिय अर्धक्षेत्र (A,+,·) एक जाली-आदेशित समूह (A,·,≤) को परिभाषित करता है, जहाँ a≤b तब ही है संभव जब a + b = b हो।
  • बूलियन अर्धक्षेत्र 'बी' = {0, 1} जोड़ के साथ तार्किक या द्वारा परिभाषित, और गुणन के साथ तार्किक और द्वारा परिभाषित होता है।

यह भी देखें

  • तलीय त्रिगुट वलय (प्रथम भाव)

संदर्भ

  1. ↑ Donald Knuth, Finite semifields and projective planes. J. Algebra, 2, 1965, 182--217 MR0175942.
  2. ↑ Landquist, E.J., "On Nonassociative Division Rings and Projective Planes", Copyright 2000.
  3. ↑ Golan, Jonathan S., Semirings and their applications. Updated and expanded version of The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8 MR1746739.
  4. ↑ Hebisch, Udo; Weinert, Hanns Joachim, Semirings and semifields. Handbook of algebra, Vol. 1, 425--462, North-Holland, Amsterdam, 1996. MR1421808.
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