View source for संभाव्यता वितरण के संकल्पों की सूची

प्रायिकता सिद्धांत में, दो या दो से अधिक स्वतंत्र (प्रायिकता) यादृच्छिक चर के योग का प्रायिकता वितरण उनके अलग-अलग वितरणों का कनवल्शन है। यह शब्द इस तथ्य से प्रेरित है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का प्रायिकता द्रव्यमान फलन या प्रायिकता घनत्व फलन क्रमशः उनके संगत प्रायिकता द्रव्यमान फलन या प्रायिकता घनत्व फलन का [[कनवल्शन]] है। कई प्रसिद्ध वितरणों में सरल कनवल्शन होते हैं। निम्नलिखित इन संकल्पों की सूची है। प्रत्येक कथन रूप का है |
:<math>\sum_{i=1}^n X_i \sim Y</math>
जहाँ <math>X_1, X_2,\dots, X_n</math> स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, और <math>Y</math> वह वितरण है | जो <math>X_1, X_2,\dots, X_n</math> <math>X_i</math> और <math>Y</math> के स्थान संबंधित वितरणों के नाम और उनके मापदंड दर्शाए गए हैं।    

== असतत वितरण ==

* <math>\sum_{i=1}^n \mathrm{Bernoulli}(p) \sim \mathrm{Binomial}(n,p) \qquad 0<p<1 \quad n=1,2,\dots </math>
* <math>\sum_{i=1}^n \mathrm{Binomial}(n_i,p) \sim \mathrm{Binomial}\left(\sum_{i=1}^n n_i,p\right) \qquad 0<p<1 \quad n_i=1,2,\dots </math>
* <math>\sum_{i=1}^n \mathrm{NegativeBinomial}(n_i,p) \sim \mathrm{NegativeBinomial}\left(\sum_{i=1}^n n_i,p\right) \qquad 0<p<1 \quad n_i=1,2,\dots </math>
* <math>\sum_{i=1}^n \mathrm{Geometric}(p) \sim \mathrm{NegativeBinomial}(n,p) \qquad 0<p<1 \quad n=1,2,\dots </math>
* <math>\sum_{i=1}^n \mathrm{Poisson}(\lambda_i) \sim \mathrm{Poisson}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right) \qquad \lambda_i>0 </math>
== निरंतर वितरण ==

* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Stable}\left(\alpha,\beta_i,c_i,\mu_i\right)=\operatorname{Stable}\left(\alpha,\frac{\sum_{i=1}^n \beta_i c_i ^\alpha}{\sum_{i=1}^n c_i^\alpha},\left( \sum_{i=1}^n c_i^\alpha \right)^{1/\alpha},\sum_{i=1}^n\mu_i\right)</math>
<math>\qquad 0<\alpha_i\le 2 \quad -1 \le \beta_i \le 1 \quad c_i>0 \quad \infty<\mu_i<\infty</math>

निम्नलिखित तीन कथन उपरोक्त कथन के विशेष स्थिति हैं |

* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Normal}(\mu_i,\sigma_i^2) \sim \operatorname{Normal}\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \sum_{i=1}^n \sigma_i^2\right) \qquad -\infty<\mu_i<\infty \quad \sigma_i^2>0\quad (\alpha=2, \beta_i=0) </math>
* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Cauchy}(a_i,\gamma_i) \sim \operatorname{Cauchy}\left(\sum_{i=1}^n a_i, \sum_{i=1}^n \gamma_i\right) \qquad -\infty<a_i<\infty \quad \gamma_i>0 \quad (\alpha=1, \beta_i=0) </math>
* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Levy}(\mu_i,c_i) \sim \operatorname{Levy}\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \left(\sum_{i=1}^n \sqrt{c_i}\right)^2\right) \qquad -\infty<\mu_i<\infty \quad c_i>0\quad (\alpha=1/2, \beta_i=1)</math>
* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Gamma}(\alpha_i,\beta) \sim \operatorname{Gamma}\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i,\beta\right) \qquad \alpha_i>0  \quad \beta>0 </math>
* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Voigt}(\mu_i,\gamma_i,\sigma_i) \sim \operatorname{Voigt}\left(\sum_{i=1}^n \mu_i,\sum_{i=1}^n \gamma_i,\sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2}\right) \qquad -\infty<\mu_i<\infty \quad \gamma_i>0  \quad \sigma_i>0 </math><ref name="wmVoigt">{{Cite web |year=2016 |orig-year=2012 |title=Voigtवितरण|url=https://reference.wolfram.com/language/ref/VoigtDistribution.html |access-date=2021-04-08 |website=Wolfram Language Documentation}}</ref>
* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{VarianceGamma}(\mu_i,\alpha,\beta,\lambda_i) \sim \operatorname{VarianceGamma}\left(\sum_{i=1}^n \mu_i, \alpha,\beta, \sum_{i=1}^n \lambda_i\right) \qquad -\infty<\mu_i<\infty \quad \lambda_i > 0 \quad \sqrt{\alpha^2 - \beta^2} > 0 </math><ref name="wmVarGamma">{{Cite web |year=2012 |title=भिन्नता गामा वितरण|url=https://reference.wolfram.com/language/ref/VarianceGammaDistribution.html.en |access-date=2021-04-09 |website=Wolfram Language Documentation |publication-date=2016}}</ref>
* <math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Exponential}(\theta) \sim \operatorname{Erlang}(n,\theta) \qquad \theta>0 \quad n=1,2,\dots</math>
*<math>\sum_{i=1}^n \operatorname{Exponential}(\lambda_i) \sim \operatorname{Hypoexponential}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) \qquad \lambda_i>0 </math><ref name="Yanev_2020">{{Cite journal |arxiv=2012.08498 |first=George P. |last=Yanev |title=घातीय और हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण: कुछ लक्षण|journal=Mathematics |date=2020-12-15|volume=8 |issue=12 |page=2207 |doi=10.3390/math8122207 |doi-access=free }}</ref>
* <math>\sum_{i=1}^n \chi^2(r_i) \sim \chi^2\left(\sum_{i=1}^n r_i\right) \qquad r_i=1,2,\dots</math>
* <math>\sum_{i=1}^r N^2(0,1) \sim \chi^2_r \qquad r=1,2,\dots</math>
* <math>\sum_{i=1}^n(X_i - \bar X)^2 \sim \sigma^2 \chi^2_{n-1}, \quad</math> जहाँ <math> X_1,\dots,X_n </math> का यादृच्छिक नमूना है <math> N(\mu,\sigma^2)</math> और <math> \bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i. </math>
मिश्रित वितरण:

* <math>\operatorname{Normal}(\mu,\sigma^2)+\operatorname{Cauchy}(x_0,\gamma) \sim \operatorname{Voigt}(\mu+x_0,\sigma,\gamma)\qquad -\infty<\mu<\infty \quad -\infty<x_0<\infty \quad \gamma>0  \quad \sigma>0 </math>
== यह भी देखें ==
* [[यादृच्छिक चर का बीजगणित]]
*[[संभाव्यता वितरण के बीच संबंध|प्रायिकता वितरण के बीच संबंध]]
* [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]]
* बर्नौली वितरण
* [[द्विपद वितरण]]
* [[कॉची वितरण]]
* [[एरलांग वितरण]]
* [[घातांकी रूप से वितरण]]
* [[गामा वितरण]]
* [[ज्यामितीय वितरण]]
* [[हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण]]
* लेवी वितरण
* [[पॉसों वितरण]]
* [[स्थिर वितरण]]
* [[मिश्रण वितरण]]
* [[सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग]]

==संदर्भ==
{{reflist}}


== स्रोत ==
*{{cite book |last1=Hogg |first1=Robert V. |authorlink1=Robert V. Hogg |last2=McKean |first2=Joseph W. |last3=Craig |first3=Allen T. |title=गणितीय आँकड़ों का परिचय|edition=6th |publisher=Prentice Hall |url=https://www.pearson.com/us/higher-education/product/Hogg-Introduction-to-Mathematical-Statistics-6th-Edition/9780130085078.html |location=Upper Saddle River, New Jersey  |year=2004 | page=692 |isbn=978-0-13-008507-8 |mr=467974}}

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