शूटिंग विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 08:10, 20 September 2023

संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके समाधान करने की विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोज सम्मिलित है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा नियमों को भी पूरा करता हो। समान्य आदमी के शब्दों में, कोई सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ को तब तक "शूट" करता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति को "हिट" करता है।

गणितीय विवरण

मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को समाधान करना चाहता है

y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.

मान लीजियह $y(t;a)$ प्रारंभिक-मूल्य समस्या को समाधान करें

y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.

यदि $y(t_{1};a)=y_{1}$ , तब $y(t;a)$ सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।

शूटिंग विधि अनेकअलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को समाधान करने की प्रक्रिया है जब तक कि कोई समाधान $y(t;a)$ नहीं मिल जाता है जो वांछित सीमा नियमों को पूरा करता है। समान्यत: कोई ऐसा संख्यात्मक रूप से करता है। समाधान(s) की जड़(s) से मेल खाते हैं

F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.

शूटिंग पैरामीटर

a

को व्यवस्थित रूप से बदलने और रूट खोजने के लिए, कोई मानक रूट-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।

$F$ की मूल और सीमा मूल्य समस्या के समाधान समतुल्य हैं। यदि $a$ , $F$ का मूल है, तो $y(t;a)$ सीमा मान समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मान समस्या का समाधान $y(t)$ है, तो यह प्रारंभिक मान समस्या का अद्वितीय समाधान $y(t;a)$ भी है जहां $a=y'(t_{0})$ है, इसलिए $a$ $F$ का मूल है।

व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान

शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति अर्तिल्लेरी से हुई है। शूटिंग विधि के लिए सादृश्य है

स्थान पर अवस्था $y(t_{0})=y_{0}$ रखें , तब
परिवर्तन के कोण $a=y'(t_{0})$ को अलग-अलग करें
तोप को तब तक दागें जब तक वह सीमा मान $y(t_{1})=y_{1}$ तक न पहुंच जाए।

प्रत्येक शॉट के मध्य, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक समीप लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है।

रेखीय शूटिंग विधि

यदि f का रूप है तो सीमा मान समस्या रैखिक है

f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).

इस स्थिति में, सीमा मूल्य समस्या का समाधान समान्यत: इस प्रकार दिया जाता है:

y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)

जहाँ

y_{(1)}(t)

प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है:

y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,

और

y_{(2)}(t)

प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है:

y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.

उस स्पष्ट स्थिति के लिए प्रमाण देखें जिसके अनुसार यह परिणाम मान्य है।^[1]

उदाहरण

मानक सीमा मान समस्या

चित्र 1. s = w'(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को वृत्त से चिह्नित किया गया है।

चित्र 2. फलन F(s) = w(1;s) - 1.

स्टोअर और बुलिर्श^[2] (धारा 7.3.1) द्वारा सीमा मूल्य समस्या इस प्रकार दी गई है।

w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w(1)=1

प्रारंभिक मूल्य समस्या

w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s

चित्र 2 में प्लॉट किए गए s = −1, −2, −3, ..., −100, और F(s) = w(1;s) − 1 के लिए समाधान किया गया था। F के प्लॉट का निरीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि −8 और −36 के पास मूल हैं। w(t;s) के कुछ प्रक्षेप पथ चित्र 1 में दिखाए गए हैं।

स्टोअर और बुलिर्श ^[2] बताएं कि दो समाधान हैं, जिसे बीजगणितीय विधियों से पाया जा सकता है।

यह प्रारंभिक स्थितियों w′(0) = −8 और w′(0) = −35.9 (लगभग) के अनुरूप हैं।

आइगेनवेल्यू समस्या

ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय

E_{0}=1/2

, शूटिंग विधि वेवफलनउत्पन्न करती है जो अनंत तक विसरित होती है। यहां, सही तरंग फलनकी मूल शून्य होनी चाहिए और अनंत पर शून्य तक जाना चाहिए, इसलिए यह नारंगी और हरी रेखाओं के मध्य कहीं स्थित है। इसलिए ऊर्जा मध्य में है

0.495

और

0.500

(संख्यात्मक सटीकता के साथ)।

शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को समाधान करने के लिए भी किया जा सकता है। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें

-{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).

क्वांटम यांत्रिकी में, व्यक्ति सीमा स्थितियों के अधीन सामान्यीकरण योग्य तरंग कार्यों

\psi _{n}(x)

और उनकी संबंधित ऊर्जाओं की खोज करता है।

\psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.

समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से समाधान करके

n=0,1,2,\dots

के लिए ऊर्जा

E_{n}=n+1/2

का पता लगाया जा सकता है, किंतु यह शूटिंग पद्धति का उत्कृष्ट उदाहरण भी है। इसे प्रयुक्त करने के लिए, पहले श्रोडिंगर समीकरण के कुछ सामान्य गुणों पर ध्यान दें:

यदि $\psi _{n}(x)$ ईजेनफंक्शन है, तो यह किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक $C$ के लिए यह $C\psi _{n}(x)$ है।
n-वीं उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)$ की मूल n हैं जहां $\psi _{n}(x)=0$ है।
सम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)$ मूल बिंदु पर सममित और शून्येतर है।
विषम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)$ एंटीसिमेट्रिक है और इस प्रकार मूल पर शून्य है।

n-वें उत्तेजित अवस्था $\psi _{n}(x)$ और उसकी ऊर्जा $E_{n}$ को खोजने के लिए, शूटिंग विधि यह है:

कुछ ऊर्जा का अनुमान लगाएं $E_{n}$ .
श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करें। उदाहरण के लिए, केंद्रीय परिमित अंतर विधि का उपयोग करें
$-{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.$
$-{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.$
- यदि n सम है, तो $\psi _{0}$ को किसी इच्छित संख्या पर स्थित करें (मान लें कि $\psi _{n}^{0}=1$ - तरंगक्रिया को वैसे भी एकीकरण के पश्चात् सामान्य किया जा सकता है) और सममित गुण का उपयोग करें शेष सभी $\psi _{n}^{i}$ खोजें।
- यदि n विषम है, तो $\psi _{n}^{0}=0$ को कुछ इच्छित संख्या पर स्थित करें (जैसे कि $\psi _{n}^{1}=1$ - वैसे भी एकीकरण के पश्चात् तरंग फलन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी $\psi _{n}^{i}$ खोजे
$\psi _{n}$ $\psi _{n}$ की मूल को गिनें और ऊर्जा $E_{n}$ $E_{n}$ के अनुमान को परिष्कृत करें।
- यदि n या उससे कम मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत कम है, इसलिए इसे बढ़ाएं और प्रक्रिया को दोहराएं।
- यदि n से अधिक मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत अधिक है, इसलिए इसे कम करें और प्रक्रिया को दोहराएं।

ऊर्जा-अनुमान द्विभाजन विधि से किया जा सकता है, और जब ऊर्जा अंतर पर्याप्त रूप से छोटा हो तो प्रक्रिया को समाप्त किया जा सकता है। तब कोई अंतराल में किसी भी ऊर्जा को सही ऊर्जा मान सकता है।

यह भी देखें

प्रत्यक्ष एकाधिक शूटिंग विधि

वायुमंडल में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना

↑ Mathews, John H.; Fink, Kurtis K. (2004). "9.8 Boundary Value Problems". MATLAB का उपयोग करके संख्यात्मक विधियाँ (PDF) (4th ed.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson. ISBN 0-13-065248-2. Archived from the original (PDF) on 9 December 2006.
↑ ^2.0 ^2.1 Stoer, J. and Bulirsch, R. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980.

संदर्भ

Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 18.1. The Shooting Method". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

बाहरी संबंध

Brief Description of ODEPACK (at Netlib; contains LSODE)
Shooting method of solving boundary value problems – Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica at Holistic Numerical Methods Institute [1]

[1] Mathews, John H.; Fink, Kurtis K. (2004). "9.8 Boundary Value Problems". MATLAB का उपयोग करके संख्यात्मक विधियाँ (PDF) (4th ed.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson. ISBN 0-13-065248-2. Archived from the original (PDF) on 9 December 2006.

[Stoer1980-2] 2.0 ^2.1 Stoer, J. and Bulirsch, R. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980.

[1]

[2]

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 {{Short description|Method for solving boundary value problems}}
-[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, शूटिंग विधि एक [[सीमा मूल्य समस्या]] को [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] में कम करके हल करने की एक विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान ढूंढना शामिल है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा शर्तों को भी पूरा करता हो। आम आदमी के शब्दों में, कोई एक सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ चलाता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति से टकराता है।
+[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, '''शूटिंग विधि''' [[सीमा मूल्य समस्या]] को [[प्रारंभिक मूल्य समस्या]] में कम करके समाधान करने की विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान खोज सम्मिलित है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा नियमों को भी पूरा करता हो। समान्य आदमी के शब्दों में, कोई सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ को तब तक "शूट" करता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति को "हिट" करता है।
 == गणितीय विवरण ==
-मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को हल करना चाहता है<math display="block"> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y(t_1) = y_1. </math>होने देना <math> y(t; a) </math> प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करें<math display="block"> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = a. </math>अगर <math> y(t_1; a) = y_1 </math>, तब <math> y(t; a) </math> सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।
+मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को समाधान करना चाहता है<math display="block"> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y(t_1) = y_1. </math>
-शूटिंग विधि कई अलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की प्रक्रिया है <math> a </math> जब तक कोई समाधान नहीं मिल जाता <math> y(t; a) </math> जो वांछित सीमा शर्तों को पूरा करता है। आमतौर पर, कोई साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों से ऐसा करता है। समाधान(ओं) की जड़(ओं) से मेल खाते हैं <math display="block"> F(a) = y(t_1; a) - y_1.</math>शूटिंग पैरामीटर को व्यवस्थित रूप से बदलने के लिए <math> a </math> और जड़ ढूंढने के लिए, कोई मानक जड़-खोज एल्गोरिदम जैसे [[द्विभाजन विधि]] या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।
-की जड़ें <math> F </math> और सीमा मूल्य समस्या का समाधान समतुल्य है। अगर <math> a </math> की जड़ है <math> F </math>, तब <math> y(t; a) </math> सीमा मूल्य समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मूल्य समस्या का कोई समाधान है <math> y(t) </math>, यह अनोखा समाधान भी है <math> y(t; a) </math> प्रारंभिक मूल्य समस्या का कहाँ <math> a = y'(t_0) </math>, इसलिए <math> a </math> की जड़ है <math> F </math>.
+मान लीजियह <math> y(t; a) </math> प्रारंभिक-मूल्य समस्या को समाधान करें<math display="block"> y''(t) = f(t, y(t), y'(t)), \quad y(t_0) = y_0, \quad y'(t_0) = a. </math>
+यदि <math> y(t_1; a) = y_1 </math>, तब <math> y(t; a) </math> सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।
+शूटिंग विधि अनेकअलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को समाधान करने की प्रक्रिया है जब तक कि कोई समाधान <math> y(t; a) </math> नहीं मिल जाता है जो वांछित सीमा नियमों को पूरा करता है। समान्यत: कोई ऐसा संख्यात्मक रूप से करता है। समाधान(s) की जड़(s) से मेल खाते हैं<math display="block"> F(a) = y(t_1; a) - y_1.
+                                                                                                                                                                                                                                  </math>शूटिंग पैरामीटर <math> a </math> को व्यवस्थित रूप से बदलने और रूट खोजने के लिए, कोई मानक रूट-खोज एल्गोरिदम जैसे द्विभाजन विधि या न्यूटन की विधि को नियोजित कर सकता है।
+<math> F </math> की मूल और सीमा मूल्य समस्या के समाधान समतुल्य हैं। यदि <math> a </math>, <math> F </math> का मूल है, तो <math> y(t; a) </math>सीमा मान समस्या का समाधान है। इसके विपरीत, यदि सीमा मान समस्या का समाधान <math> y(t) </math> है, तो यह प्रारंभिक मान समस्या का अद्वितीय समाधान <math> y(t; a) </math> भी है जहां <math> a = y'(t_0) </math> है, इसलिए <math> a </math> <math> F </math> का मूल है।
 == व्युत्पत्ति और अंतर्ज्ञान ==
-शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति तोपखाने से हुई है। शूटिंग विधि के लिए एक सादृश्य है
+शूटिंग पद्धति शब्द की उत्पत्ति अर्तिल्लेरी से हुई है। शूटिंग विधि के लिए सादृश्य है
-* स्थान पर एक तोप रखें  <math>y(t_0) = y_0</math>, तब
+* स्थान पर अवस्था <math>y(t_0) = y_0</math> रखें , तब
-* कोण भिन्न करें <math>a = y'(t_0)</math> तोप का, फिर
+*परिवर्तन के कोण <math>a = y'(t_0)</math> को अलग-अलग करें
-* तोप को तब तक फायर करें जब तक वह सीमा मान तक न पहुंच जाए <math>y(t_1) = y_1</math>.
+*तोप को तब तक दागें जब तक वह सीमा मान <math>y(t_1) = y_1</math> तक न पहुंच जाए।
-प्रत्येक शॉट के बीच, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक करीब लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है।
+प्रत्येक शॉट के मध्य, तोप की दिशा को पिछले शॉट के आधार पर समायोजित किया जाता है, इसलिए प्रत्येक शॉट पिछले शॉट की तुलना में अधिक समीप लगता है। वांछित सीमा मान तक पहुंचने वाला प्रक्षेपवक्र सीमा मान समस्या का समाधान है - इसलिए इसे शूटिंग विधि नाम दिया गया है।
 ==रेखीय शूटिंग विधि==
 यदि f का रूप है तो सीमा मान समस्या रैखिक है
 <math display="block"> f(t, y(t), y'(t)) = p(t) y'(t) + q(t)y(t) + r(t). </math>
-इस मामले में, सीमा मूल्य समस्या का समाधान आमतौर पर इस प्रकार दिया जाता है:
+इस स्थिति में, सीमा मूल्य समस्या का समाधान समान्यत: इस प्रकार दिया जाता है:
 <math display="block">y(t) = y_{(1)}(t) + \frac{y_{1}-y_{(1)}(t_1)}{y_{(2)}(t_1)} y_{(2)}(t)</math>
-कहाँ <math>y_{(1)}(t)</math> प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है:
+जहाँ <math>y_{(1)}(t)</math> प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है:
 <math display="block">y_{(1)}''(t) = p(t) y_{(1)}'(t) + q(t) y_{(1)}(t) + r(t),\quad y_{(1)}(t_0) = y_0, \quad y_{(1)}'(t_0) = 0, </math>
 और <math>y_{(2)}(t)</math> प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है:
 <math display="block">y_{(2)}''(t) = p(t) y_{(2)}'(t) + q(t) y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_0) = 0, \quad y_{(2)}'(t_0) = 1. </math>
-उस सटीक स्थिति के लिए प्रमाण देखें जिसके तहत यह परिणाम मान्य है।<ref>{{cite book |last1=Mathews |first1=John H. |last2=Fink |first2=Kurtis K. |title=MATLAB का उपयोग करके संख्यात्मक विधियाँ|date=2004 |publisher=Pearson |location=Upper Saddle River, N.J. |isbn=0-13-065248-2 |edition=4th |archive-url=https://web.archive.org/web/20061209234620/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf |archive-date=9 December 2006 |chapter=9.8 Boundary Value Problems |url=http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf}}</ref>
+उस स्पष्ट स्थिति के लिए प्रमाण देखें जिसके अनुसार यह परिणाम मान्य है।<ref>{{cite book |last1=Mathews |first1=John H. |last2=Fink |first2=Kurtis K. |title=MATLAB का उपयोग करके संख्यात्मक विधियाँ|date=2004 |publisher=Pearson |location=Upper Saddle River, N.J. |isbn=0-13-065248-2 |edition=4th |archive-url=https://web.archive.org/web/20061209234620/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf |archive-date=9 December 2006 |chapter=9.8 Boundary Value Problems |url=http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf}}</ref>
 == उदाहरण ==
 === मानक सीमा मान समस्या ===
-[[Image:Shooting method trajectories.svg|thumb|400px|चित्र 1. s = w<nowiki>'</nowiki>(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को एक वृत्त से चिह्नित किया गया है।]][[Image:Shooting method error.svg|thumb|400px|चित्र 2. फलन F(s) = w(1;s) - 1.]]स्टोअर और बुलिर्श द्वारा एक सीमा मान समस्या इस प्रकार दी गई है<ref name = "Stoer1980">Stoer, J. and Bulirsch, R. ''Introduction to Numerical Analysis''. New York: Springer-Verlag, 1980.</ref> (धारा 7.3.1).
+[[Image:Shooting method trajectories.svg|thumb|223x223px|चित्र 1. s = w<nowiki>'</nowiki>(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को वृत्त से चिह्नित किया गया है।]][[Image:Shooting method error.svg|thumb|215x215px|चित्र 2. फलन F(s) = w(1;s) - 1.]]स्टोअर और बुलिर्श<ref name="Stoer1980">Stoer, J. and Bulirsch, R. ''Introduction to Numerical Analysis''. New York: Springer-Verlag, 1980.</ref> (धारा 7.3.1) द्वारा सीमा मूल्य समस्या इस प्रकार दी गई है।
 <math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w(1) = 1 </math>
 प्रारंभिक मूल्य समस्या
 <math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w'(0) = s</math>
-चित्र 2 में प्लॉट किए गए s = −1, −2, −3, ..., −100, और F(s) = w(1;s) − 1 के लिए हल किया गया था।
+चित्र 2 में प्लॉट किए गए s = −1, −2, −3, ..., −100, और F(s) = w(1;s) − 1 के लिए समाधान किया गया था। F के प्लॉट का निरीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि −8 और −36 के पास मूल हैं। w(t;s) के कुछ प्रक्षेप पथ चित्र 1 में दिखाए गए हैं।
-F के प्लॉट का निरीक्षण करने पर, हम देखते हैं कि -8 और -36 के पास जड़ें हैं।
-w(t;s) के कुछ प्रक्षेप पथ चित्र 1 में दिखाए गए हैं।
-स्टोअर और बुलिर्श<ref name = "Stoer1980"/>बताएं कि दो समाधान हैं,
+स्टोअर और बुलिर्श <ref name = "Stoer1980"/> बताएं कि दो समाधान हैं, जिसे बीजगणितीय विधियों से पाया जा सकता है।
-जिसे बीजगणितीय तरीकों से पाया जा सकता है।
-ये प्रारंभिक स्थितियों w′(0) = −8 और w′(0) = −35.9 (लगभग) के अनुरूप हैं।{{clear}}
+यह प्रारंभिक स्थितियों w′(0) = −8 और w′(0) = −35.9 (लगभग) के अनुरूप हैं।
 === आइगेनवेल्यू समस्या ===
-[[File:Shooting method.svg|alt=Illustration of the shooting method for finding the ground state of the quantum harmonic oscillator|thumb|400x400px|ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय <math>E_0 = 1/2</math>, शूटिंग विधि वेवफ़ंक्शन उत्पन्न करती है जो अनंत तक विसरित होती है। यहां, सही तरंग फ़ंक्शन की जड़ें शून्य होनी चाहिए और अनंत पर शून्य तक जाना चाहिए, इसलिए यह नारंगी और हरी रेखाओं के बीच कहीं स्थित है। इसलिए ऊर्जा बीच में है <math>0.495</math> और <math>0.500</math> (संख्यात्मक सटीकता के साथ)।]]शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें <math display="block">-\frac{1}{2} \psi_n''(x) + \frac{1}{2} x^2 \psi_n(x) = E_n \psi_n(x).</math> क्वांटम यांत्रिकी में, व्यक्ति सामान्यीकरण योग्य तरंग कार्यों की तलाश करता है <math>\psi_n(x)</math> और उनकी संगत ऊर्जाएं सीमा स्थितियों के अधीन हैं <math display="block">\psi_n(x \rightarrow +\infty) = \psi_n(x \rightarrow -\infty) = 0.</math>ऊर्जाओं को खोजने के लिए समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है <math>E_n = n + 1/2</math> के लिए <math>n = 0, 1, 2, \dots</math>, बल्कि शूटिंग पद्धति के उत्कृष्ट चित्रण के रूप में भी कार्य करता है। इसे लागू करने के लिए, पहले श्रोडिंगर समीकरण के कुछ सामान्य गुणों पर ध्यान दें:
+[[File:Shooting method.svg|alt=Illustration of the shooting method for finding the ground state of the quantum harmonic oscillator|thumb|210x210px|ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय <math>E_0 = 1/2</math>, शूटिंग विधि वेवफलनउत्पन्न करती है जो अनंत तक विसरित होती है। यहां, सही तरंग फलनकी मूल शून्य होनी चाहिए और अनंत पर शून्य तक जाना चाहिए, इसलिए यह नारंगी और हरी रेखाओं के मध्य कहीं स्थित है। इसलिए ऊर्जा मध्य में है <math>0.495</math> और <math>0.500</math> (संख्यात्मक सटीकता के साथ)।]]शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को समाधान करने के लिए भी किया जा सकता है। [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें <math display="block">-\frac{1}{2} \psi_n''(x) + \frac{1}{2} x^2 \psi_n(x) = E_n \psi_n(x).</math> क्वांटम यांत्रिकी में, व्यक्ति सीमा स्थितियों के अधीन सामान्यीकरण योग्य तरंग कार्यों <math>\psi_n(x)</math>और उनकी संबंधित ऊर्जाओं की खोज करता है। <math display="block">\psi_n(x \rightarrow +\infty) = \psi_n(x \rightarrow -\infty) = 0.</math>समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से समाधान करके <math>n = 0, 1, 2, \dots</math> के लिए ऊर्जा <math>E_n = n + 1/2</math> का पता लगाया जा सकता है, किंतु यह शूटिंग पद्धति का उत्कृष्ट उदाहरण भी है। इसे प्रयुक्त करने के लिए, पहले श्रोडिंगर समीकरण के कुछ सामान्य गुणों पर ध्यान दें:
-* अगर <math>\psi_n(x)</math> एक eigenfunction है, इसलिए है <math>C \psi_n(x)</math> किसी भी शून्येतर स्थिरांक के लिए <math>C</math>.
+*यदि <math>\psi_n(x)</math> ईजेनफंक्शन है, तो यह किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक <math>C</math> के लिए यह <math>C \psi_n(x)</math> है।
-* <math>n</math>वें>-वें उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x)</math> है <math>n</math> जड़ें कहां <math>\psi_n(x) = 0</math>.
+*n-वीं उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x)</math> की मूल n हैं जहां <math>\psi_n(x) = 0</math> है।
-* एक जैसे के लिए <math>n</math>, द <math>n</math>-वें उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x) = \psi_n(-x)</math> मूल में सममित और शून्येतर है।
+*सम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x) = \psi_n(-x)</math> मूल बिंदु पर सममित और शून्येतर है।
-*विषम के लिए <math>n</math>, द <math>n</math>-वें उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x) = -\psi_n(-x)</math> एंटीसिमेट्रिक है और इस प्रकार मूल में शून्य है।
+*विषम n के लिए, n-वीं उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x) = -\psi_n(-x)</math> एंटीसिमेट्रिक है और इस प्रकार मूल पर शून्य है।
-खोजने के लिए <math>n</math>-वें उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x)</math> और इसकी ऊर्जा <math>E_n</math>, शूटिंग विधि तब है:
+n-वें उत्तेजित अवस्था <math>\psi_n(x)</math> और उसकी ऊर्जा <math>E_n</math> को खोजने के लिए, शूटिंग विधि यह है:
 # कुछ ऊर्जा का अनुमान लगाएं <math>E_n</math>.
 # श्रोडिंगर समीकरण को एकीकृत करें। उदाहरण के लिए, केंद्रीय [[परिमित अंतर विधि]] का उपयोग करें<math display="block">-\frac{1}{2} \frac{\psi^{i+1}_n - 2 \psi^i_n + \psi^{i-1}_n}{{\Delta x}^2} + \frac{1}{2} (x^i)^2 \psi^i_n = E_n \psi^i_n.</math>
-#* अगर <math>n</math> सम है, सेट है <math>\psi_0</math> किसी मनमानी संख्या के लिए (कहें) <math>\psi^0_n = 1</math> - वैसे भी एकीकरण के बाद तरंग फ़ंक्शन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी को खोजने के लिए सममित संपत्ति का उपयोग करें <math>\psi_n^i</math>.
+#*यदि n सम है, तो <math>\psi_0</math> को किसी इच्छित संख्या पर स्थित करें (मान लें कि <math>\psi^0_n = 1</math> - तरंगक्रिया को वैसे भी एकीकरण के पश्चात् सामान्य किया जा सकता है) और सममित गुण का उपयोग करें शेष सभी <math>\psi_n^i</math> खोजें।
-#* अगर <math>n</math> विषम है, सेट है <math>\psi^0_n = 0</math> और <math>\psi^1_n</math> किसी मनमानी संख्या के लिए (कहें) <math>\psi^1_n = 1</math> - वैसे भी एकीकरण के बाद वेवफंक्शन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी को ढूंढें <math>\psi_n^i</math>.
+#*यदि n विषम है, तो <math>\psi^0_n = 0</math> को कुछ इच्छित संख्या पर स्थित करें (जैसे कि <math>\psi^1_n = 1</math>- वैसे भी एकीकरण के पश्चात् तरंग फलन को सामान्य किया जा सकता है) और शेष सभी <math>\psi_n^i</math> खोजे
-#की जड़ें गिनें <math>\psi_n</math> और ऊर्जा के अनुमान को परिष्कृत करें <math>E_n</math>.
+#<math>\psi_n</math> की मूल को गिनें और ऊर्जा <math>E_n</math> के अनुमान को परिष्कृत करें।
-#* अगर वहाँ <math>n</math> या कम जड़ें, अनुमानित ऊर्जा बहुत कम है, इसलिए इसे बढ़ाएं और प्रक्रिया को दोहराएं।
+#*यदि n या उससे कम मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत कम है, इसलिए इसे बढ़ाएं और प्रक्रिया को दोहराएं।
-#* यदि इससे अधिक हैं <math>n</math> जड़ों में, अनुमानित ऊर्जा बहुत अधिक है, इसलिए इसे कम करें और प्रक्रिया को दोहराएं।
+#*यदि n से अधिक मूल हैं, तो अनुमानित ऊर्जा बहुत अधिक है, इसलिए इसे कम करें और प्रक्रिया को दोहराएं।
 ऊर्जा-अनुमान द्विभाजन विधि से किया जा सकता है, और जब ऊर्जा अंतर पर्याप्त रूप से छोटा हो तो प्रक्रिया को समाप्त किया जा सकता है। तब कोई अंतराल में किसी भी ऊर्जा को सही ऊर्जा मान सकता है।
-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें                                                                                                                                                                                 ==
-[[प्रत्यक्ष एकाधिक शूटिंग विधि]] विधि
+[[प्रत्यक्ष एकाधिक शूटिंग विधि]]
 *[[वायुमंडल में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना]]
 == टिप्पणियाँ ==
 {{reflist}}
 == संदर्भ ==
 *{{Cite book | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 18.1. The Shooting Method | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=959}}
 == बाहरी संबंध ==
 * [http://www.netlib.org/odepack/opks-sum Brief Description of ODEPACK] ''(at [[Netlib]]; contains LSODE)''
 * [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/shooting_method.html Shooting method of solving boundary value problems – Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica] at ''Holistic Numerical Methods Institute'' [http://numericalmethods.eng.usf.edu]
-[[Category: संख्यात्मक अंतर समीकरण]] [[Category: सीमा मूल्य की समस्याएँ]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 23/07/2023]]
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