लघुगणकीय पहचानों की सूची

गणित में, कई लघुगणकीय पहचान (गणित) मौजूद हैं। इनमें से उल्लेखनीय का संकलन निम्नलिखित है, जिनमें से कई का उपयोग कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए किया जाता है।

तुच्छ पहचान

$\log _{b}(1)=0$	because	$b^{0}=1$
$\log _{b}(b)=1$	because	$b^{1}=b$

स्पष्टीकरण

परिभाषा के अनुसार, हम जानते हैं कि:

$\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$,

कहाँ $\color {blue}b\color {black}\neq 0$ या $\color {blue}b\color {black}\neq 1$.

सेटिंग $\color {red}x\color {black}=0$, हम देख सकते हैं कि:

$\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{(0)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}1\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {green}y\color {black}=\color {blue}1\color {black}$. इसलिए, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि:

$\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {blue}1\color {black})=\color {red}0\color {black}$ , जो हमें पहली संपत्ति दिलाती है।

सेटिंग $\color {red}x\color {black}=1$, हम देख सकते हैं कि:

$\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{(1)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {green}y\color {black}=\color {blue}b\color {black}$. इसलिए, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि:

$\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {blue}b\color {black})=\color {red}1\color {black}$ , जो हमें दूसरी संपत्ति दिलाती है।

कई गणितीय पहचानों को तुच्छ कहा जाता है, केवल इसलिए क्योंकि वे अपेक्षाकृत सरल होती हैं (आमतौर पर एक अनुभवी गणितज्ञ के दृष्टिकोण से)। इसका मतलब यह नहीं है कि किसी पहचान या सूत्र को तुच्छ कहने का मतलब यह है कि यह महत्वपूर्ण नहीं है।

घातांक रद्द करना

समान आधार वाले लघुगणक और घातांक फ़ंक्शन एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। यह सच है क्योंकि लघुगणक और घातांक व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं - ठीक उसी तरह जैसे गुणा और भाग व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं, और जोड़ और घटाव व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं।

$b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}{\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x$

$\log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x$

उपरोक्त दोनों निम्नलिखित दो समीकरणों से प्राप्त हुए हैं जो लघुगणक को परिभाषित करते हैं: (ध्यान दें कि इस स्पष्टीकरण में, के चर $\color {red}x\color {black}$ और $x$ हो सकता है कि वह उसी नंबर का जिक्र न कर रहा हो)

$\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$

समीकरण को देखते हुए $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$, और इसके लिए मान प्रतिस्थापित करना $\color {red}x\color {black}$ का $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}$, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:

$\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{\log _{b}(y)}\color {black}=\color {green}y\color {black}\iff \color {blue}b\color {black}\color {red}^{\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})}\color {black}=\color {green}y\color {black}$

, जो हमें पहला समीकरण देता है। इसके बारे में सोचने का एक और अधिक कठिन तरीका यह है $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{\text{something}}\color {black}=\color {green}y\color {black}$, और वह$\color {red}{\text{something}}$है $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})$.

समीकरण को देखते हुए $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}$ , और इसके लिए मान प्रतिस्थापित करना $\color {green}y\color {black}$ का $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}=\color {green}y\color {black}$, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है: $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}y\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}b^{x}\color {black})=\color {red}x\color {black}\iff \color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}({\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}}\color {black})=\color {red}x\color {black}$ , जो हमें दूसरा समीकरण देता है। इसके बारे में सोचने का एक और अधिक कठिन तरीका यह है $\color {black}\log \color {blue}_{b}\color {black}(\color {green}{\text{something}}\color {black})=\color {red}x\color {black}$, और वह कुछ$\color {green}{\text{something}}$है $\color {blue}b\color {black}\color {red}^{x}\color {black}$.

सरल संचालन का उपयोग करना

गणना को आसान बनाने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो संख्याओं को केवल लघुगणक तालिका का उपयोग करके और जोड़कर गुणा किया जा सकता है। इन्हें अक्सर लघुगणकीय गुणों के रूप में जाना जाता है, जिन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रलेखित किया गया है। नीचे दिए गए पहले तीन ऑपरेशन यह मानते हैं x = b^c और/या y = b^d, ताकि log_b(x) = c और log_b(y) = d. व्युत्पत्तियाँ लॉग परिभाषाओं का भी उपयोग करती हैं x = b^log_b(x) और x = log_b(b^x).

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	because	$b^{c}b^{d}=b^{c+d}$
$\log _{b}({\tfrac {x}{y}})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	because	${\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}=b^{c-d}$
$\log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)$	because	$(b^{c})^{d}=b^{cd}$
$\log _{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log _{b}(x)}{y}}$	because	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$
$x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}$	because	$x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=(b^{\log _{b}(y)})^{\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}$
$c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})$	because	$\log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})$

कहाँ $b$, $x$, और $y$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $b\neq 1$, और $c$ और $d$ वास्तविक संख्याएँ हैं.

कानून घातांक को रद्द करने और सूचकांकों के उचित कानून के परिणामस्वरूप होते हैं। पहले कानून से शुरुआत:

$xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

शक्तियों के लिए कानून सूचकांकों के अन्य कानूनों का शोषण करता है:

$x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)$

भागफल से संबंधित कानून इस प्रकार है:

$\log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

$\log _{b}{\bigg (}{\frac {1}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(y^{-1})=-\log _{b}(y)$

इसी प्रकार, मूल नियम को पारस्परिक शक्ति के रूप में जड़ को फिर से लिखकर प्राप्त किया जाता है:

$\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)$

उत्पाद, भागफल और शक्ति नियमों की व्युत्पत्ति

ये तीन मुख्य लघुगणक नियम/नियम/सिद्धांत हैं, जिससे ऊपर सूचीबद्ध अन्य गुण सिद्ध किये जा सकें। इनमें से प्रत्येक लघुगणक गुण उनके संबंधित घातांक कानून के अनुरूप हैं, और उनकी व्युत्पत्ति/प्रमाण उन तथ्यों पर निर्भर होंगे। प्रत्येक लघुगणक नियम को प्राप्त/सिद्ध करने के कई तरीके हैं - यह केवल एक संभावित तरीका है।

किसी उत्पाद का लघुगणक

किसी उत्पाद का लघुगणक कानून को औपचारिक रूप से बताने के लिए:

$\forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

व्युत्पत्ति:

होने देना $b\in \mathbb {R} _{+}$, कहाँ $b\neq 1$, और जाने $x,y\in \mathbb {R} _{+}$. हम भावों को जोड़ना चाहते हैं $\log _{b}(x)$ और $\log _{b}(y)$. इसे घातांक के संदर्भ में पुनः लिखकर अधिक आसानी से किया जा सकता है, जिसके गुणों को हम पहले से ही जानते हैं। इसके अतिरिक्त, चूंकि हम संदर्भित करने जा रहे हैं $\log _{b}(x)$ और $\log _{b}(y)$ अक्सर, हम उनके साथ काम करना आसान बनाने के लिए उन्हें कुछ परिवर्तनशील नाम देंगे: चलो $m=\log _{b}(x)$, और जाने $n=\log _{b}(y)$.

इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखते हुए, हम इसे देखते हैं

${\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}$

यहां से, हम संबंधित हो सकते हैं $b^{m}$ (अर्थात। $x$) और $b^{n}$ (अर्थात। $y$) घातांक कानूनों का उपयोग करते हुए

$xy=(b^{m})(b^{n})=b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}$

लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम आवेदन करते हैं $\log _{b}$ समानता के दोनों पक्षों के लिए.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{m+n})$

पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं $\log _{b}(b^{m+n})=m+n$, देना

$\log _{b}(xy)=m+n$

अब हम मूल्यों को पुनः प्रतिस्थापित करते हैं $m$ और $n$ हमारे समीकरण में, इसलिए हमारी अंतिम अभिव्यक्ति केवल के संदर्भ में है $x$, $y$, और $b$.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है।

भागफल का लघुगणक

किसी भागफल के लघुगणक</in> कानून को औपचारिक रूप से बताने के लिए:

$\forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x,y,\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

व्युत्पत्ति:

होने देना $b\in \mathbb {R} _{+}$, कहाँ $b\neq 1$, और जाने $x,y\in \mathbb {R} _{+}$.

हम भावों को जोड़ना चाहते हैं $\log _{b}(x)$ और $\log _{b}(y)$. इसे घातांक के संदर्भ में पुनः लिखकर अधिक आसानी से किया जा सकता है, जिसके गुणों को हम पहले से ही जानते हैं। इसके अतिरिक्त, चूंकि हम संदर्भित करने जा रहे हैं $\log _{b}(x)$ और $\log _{b}(y)$ अक्सर, हम उनके साथ काम करना आसान बनाने के लिए उन्हें कुछ परिवर्तनशील नाम देंगे: चलो $m=\log _{b}(x)$, और जाने $n=\log _{b}(y)$.

इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखने पर, हम देखते हैं कि:

${\begin{aligned}m&=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x,\\n&=\log _{b}(y)\iff b^{n}=y.\end{aligned}}$

यहां से, हम संबंधित हो सकते हैं $b^{m}$ (अर्थात। $x$) और $b^{n}$ (अर्थात। $y$) घातांक कानूनों का उपयोग करते हुए

${\frac {x}{y}}={\frac {(b^{m})}{(b^{n})}}={\frac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}$

लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम आवेदन करते हैं $\log _{b}$ समानता के दोनों पक्षों के लिए.

$\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}\left(b^{m-n}\right)$

पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं $\log _{b}(b^{m-n})=m-n$, देना

$\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=m-n$

अब हम मूल्यों को पुनः प्रतिस्थापित करते हैं $m$ और $n$ हमारे समीकरण में, इसलिए हमारी अंतिम अभिव्यक्ति केवल के संदर्भ में है $x$, $y$, और $b$.

$\log _{b}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है।

घात का लघुगणक

शक्ति का लघुगणक कानून को औपचारिक रूप से बताने के लिए,

$\forall b\in \mathbb {R} _{+},b\neq 1,\forall x\in \mathbb {R} _{+},\forall r\in \mathbb {R} ,\log _{b}(x^{r})=r\log _{b}(x)$

व्युत्पत्ति:

होने देना $b\in \mathbb {R} _{+}$, कहाँ $b\neq 1$, होने देना $x\in \mathbb {R} _{+}$, और जाने $r\in \mathbb {R}$. इस व्युत्पत्ति के लिए, हम अभिव्यक्ति को सरल बनाना चाहते हैं $\log _{b}(x^{r})$. ऐसा करने के लिए, हम सरल अभिव्यक्ति से शुरुआत करते हैं $\log _{b}(x)$. चूंकि हम प्रयोग करेंगे $\log _{b}(x)$ अक्सर, हम इसे एक नए वेरिएबल के रूप में परिभाषित करेंगे: Let $m=\log _{b}(x)$.

अभिव्यक्ति में अधिक आसानी से हेरफेर करने के लिए, हम इसे एक घातांक के रूप में फिर से लिखते हैं। परिभाषा से, $m=\log _{b}(x)\iff b^{m}=x$, तो हमारे पास

$b^{m}=x$

उपरोक्त व्युत्पत्तियों के समान, हम एक अन्य घातांक नियम का लाभ उठाते हैं। होने के लिए $x^{r}$ अपनी अंतिम अभिव्यक्ति में, हम समानता के दोनों पक्षों को शक्ति तक बढ़ाते हैं $r$:

${\begin{aligned}(b^{m})^{r}&=(x)^{r}\\b^{mr}&=x^{r}\end{aligned}}$

जहां हमने घातांक नियम का उपयोग किया $(b^{m})^{r}=b^{mr}$.

लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम आवेदन करते हैं $\log _{b}$ समानता के दोनों पक्षों के लिए.

$\log _{b}(b^{mr})=\log _{b}(x^{r})$

समानता के बाईं ओर को लघुगणक कानून का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है, जो बताता है कि $\log _{b}(b^{mr})=mr$.

$mr=\log _{b}(x^{r})$

के लिए मूल मान में प्रतिस्थापित करना $m$, पुनर्व्यवस्थित करना, और सरलीकरण करना

${\begin{aligned}\left(\log _{b}(x)\right)r&=\log _{b}(x^{r})\\r\log _{b}(x)&=\log _{b}(x^{r})\\\log _{b}(x^{r})&=r\log _{b}(x)\end{aligned}}$

इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है।

आधार बदलना

आधार लघुगणक सूत्र के परिवर्तन को औपचारिक रूप से बताने के लिए:

$$\forall a,b\in \mathbb {R} _{+},a,b\neq 1\forall x\in \mathbb {R} _{+},\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$$

यह पहचान कैलकुलेटर पर लघुगणक का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी है। उदाहरण के लिए, अधिकांश कैलकुलेटर में प्राकृतिक लघुगणक और सामान्य लघुगणक|लॉग के लिए बटन होते हैं₁₀, लेकिन सभी कैलकुलेटर में मनमाने आधार के लघुगणक के लिए बटन नहीं होते हैं।

प्रमाण/व्युत्पत्ति

होने देना $a,b\in \mathbb {R} _{+}$, कहाँ $a,b\neq 1$ होने देना $x\in \mathbb {R} _{+}$. यहाँ, $a$ और $b$ ये दो आधार हैं जिनका उपयोग हम लघुगणक के लिए करेंगे। वे 1 नहीं हो सकते, क्योंकि 1 के आधार के लिए लघुगणक फ़ंक्शन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। जो नंबर $x$ वही होगा जो लघुगणक मूल्यांकन कर रहा है, इसलिए यह एक सकारात्मक संख्या होनी चाहिए। चूँकि हम शब्द से निपटेंगे $\log _{b}(x)$ अक्सर, हम इसे एक नए वेरिएबल के रूप में परिभाषित करते हैं: Let $m=\log _{b}(x)$.

अभिव्यक्ति में अधिक आसानी से हेरफेर करने के लिए, इसे घातांक के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

$$b^{m}=x$$

को लागू करने $\log _{a}$ समानता के दोनों पक्षों के लिए,

$$\log _{a}(b^{m})=\log _{a}(x)$$

अब, एक शक्ति गुण के लघुगणक का उपयोग करते हुए, जो यह बताता है $\log _{a}(b^{m})=m\log _{a}(b)$,

$$m\log _{a}(b)=\log _{a}(x)$$

अलग $m$, हमें निम्नलिखित मिलता है:

$$m={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$$

पुनर्प्रतिस्थापन $m=\log _{b}(x)$ समीकरण में वापस,

$$\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$$

यह इस बात का प्रमाण पूरा करता है $\log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}$.

इस सूत्र के कई परिणाम हैं:

$$\log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}$$

$$\log _{b^{n}}a={\log _{b}a \over n}$$

$$b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}$$

$$-\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1/b}a$$

$$\log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},$$

कहाँ ${\textstyle \pi }$ सबस्क्रिप्ट का कोई क्रमपरिवर्तन है 1, ..., n. उदाहरण के लिए

$$\log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.$$

योग/घटाव

निम्नलिखित योग/घटाव नियम संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी होता है जब कोई लॉग-संभावनाओं के योग से निपट रहा हो:

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$	because	$\left(a+c\right)=a\times \left(1+{\frac {c}{a}}\right)$
$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$	because	$\left(a-c\right)=a\times \left(1-{\frac {c}{a}}\right)$

ध्यान दें कि घटाव पहचान परिभाषित नहीं है यदि $a=c$, चूँकि शून्य का लघुगणक परिभाषित नहीं है। यह भी ध्यान दें कि, प्रोग्रामिंग करते समय, $a$ और $c$ यदि समीकरणों के दाईं ओर स्विच करना पड़ सकता है $c\gg a$ पूर्णांकन त्रुटियों के कारण 1 + खोने से बचने के लिए। कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक विशिष्ट विशेषता होती है log1p(x) वह फ़ंक्शन जो गणना करता है $\log _{e}(1+x)$ बिना अंडरफ्लो के (कब $x$ छोटा है)।

आम तौर पर अधिक:

$$\log _{b}\sum _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)$$

घातांक

घातांकों से जुड़ी एक उपयोगी पहचान:

$$x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)$$

या अधिक सार्वभौमिक रूप से:

$$x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a$$

अन्य/परिणामी पहचान

$${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)$$

$${\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)$$

असमानताएं

पर आधारित, और

${\frac {x}{1+x}}\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x(6+x)}{6+4x}}\leq x{\mbox{ for all }}{-1}<x$

${\begin{aligned}{\frac {2x}{2+x}}&\leq 3-{\sqrt {\frac {27}{3+2x}}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\\[4pt]&\leq \ln(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}\\[4pt]&{\text{ for }}0\leq x{\text{, reverse for }}{-1}<x\leq 0\end{aligned}}$

चारों ओर सभी सटीक हैं $x=0$, लेकिन बड़ी संख्या के लिए नहीं।

कलन सर्वसमिकाएँ

किसी फ़ंक्शन की सीमा

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0$

अंतिम सीमा को अक्सर संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है क्योंकि लघुगणक x की किसी भी शक्ति या जड़ की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है।

लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्न

${d \over dx}\ln x={1 \over x},x>0$

${d \over dx}\ln |x|={1 \over x},x\neq 0$

${d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a},x>0,a>0,{\text{ and }}a\neq 1$

अभिन्न परिभाषा

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\ dt$

लघुगणकीय फलनों का समाकलन

$\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$

$\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x(\ln x-1)}{\ln a}}+C$

उच्च अभिन्नों को याद रखने के लिए, इसे परिभाषित करना सुविधाजनक है

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

कहाँ $H_{n}$ तब है^वेंहार्मोनिक संख्या:

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}$

तब

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाना

लघुगणक की पहचान का उपयोग बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि log_b(a) + log_b(c) = log_b(ac), जहां ए, बी, और सी मनमाना स्थिरांक हैं। मान लीजिए कि कोई 44वें मेर्सन प्रीमियम का अनुमान लगाना चाहता है, 2^32,582,657 −1. आधार-10 लघुगणक प्राप्त करने के लिए, हमें 32,582,657 को गुणा करना होगा log₁₀(2), उपार्जन 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543. तो हम पा सकते हैं 10^9,808,357 × 10^0.09543 ≈ 1.25 × 10^9,808,357.

इसी प्रकार, पदों के लघुगणक का योग करके कारख़ाने का का अनुमान लगाया जा सकता है।

जटिल लघुगणक सर्वसमिकाएँ

जटिल लघुगणक, लघुगणक फ़ंक्शन का जटिल संख्या एनालॉग है। जटिल तल पर कोई भी एकल मूल्यवान फ़ंक्शन लघुगणक के सामान्य नियमों को संतुष्ट नहीं कर सकता है। हालाँकि, एक बहुमूल्यवान फ़ंक्शन को परिभाषित किया जा सकता है जो अधिकांश पहचानों को संतुष्ट करता है। इसे रीमैन सतह पर परिभाषित एक फ़ंक्शन के रूप में मानना ​​सामान्य बात है। एक एकल मूल्यवान संस्करण, जिसे लघुगणक का मुख्य मूल्य कहा जाता है, को परिभाषित किया जा सकता है जो नकारात्मक एक्स अक्ष पर असंतत है, और एकल शाखा कट पर बहुमूल्यवान संस्करण के बराबर है।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित में, फ़ंक्शंस के प्रमुख मान के लिए बड़े अक्षर का उपयोग किया जाता है, और मल्टीवैल्यूड फ़ंक्शन के लिए निचले केस संस्करण का उपयोग किया जाता है। परिभाषाओं और पहचानों का एकल मूल्यवान संस्करण हमेशा पहले दिया जाता है, उसके बाद एकाधिक मूल्यवान संस्करणों के लिए एक अलग अनुभाग दिया जाता है।

• ln(r) वास्तविक संख्या का मानक प्राकृतिक लघुगणक है r.
• Arg(z) Arg (गणित) फ़ंक्शन का प्रमुख मान है; इसका मूल्य यहीं तक सीमित है (−π, π]. इसका उपयोग करके गणना की जा सकती है Arg(x + iy) = atan2(y, x).
• Log(z) जटिल लघुगणक फ़ंक्शन का प्रमुख मान है और इसकी सीमा में काल्पनिक भाग है (−π, π].
• $\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$
• $e^{\operatorname {Log} (z)}=z$

का बहु-मूल्यवान संस्करण log(z) एक सेट है, लेकिन इसे ब्रेसिज़ के बिना लिखना आसान है और सूत्रों में इसका उपयोग स्पष्ट नियमों का पालन करता है।

• log(z) सम्मिश्र संख्याओं v का समुच्चय है जो संतुष्ट करता है e^v = z
• arg(z), z पर लागू Arg (गणित) फ़ंक्शन के संभावित मानों का सेट है।

जब k कोई पूर्णांक हो:

$\log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)$

$\log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik$

$e^{\log(z)}=z$

स्थिरांक

प्रमुख मूल्य प्रपत्र:

$\operatorname {Log} (1)=0$

$\operatorname {Log} (e)=1$

किसी भी k पूर्णांक के लिए एकाधिक मान प्रपत्र:

$\log(1)=0+2\pi ik$

$\log(e)=1+2\pi ik$

सारांश

प्रमुख मूल्य प्रपत्र:

$\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

$\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)$

$\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

$\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi ;{\text{ e.g., }}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{ and }}\operatorname {Re} z_{2}>0)$

एकाधिक मूल्य प्रपत्र:

$\log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})$

$\log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})$

शक्तियाँ

किसी सम्मिश्र संख्या की सम्मिश्र घात में कई संभावित मान हो सकते हैं।

प्रमुख मूल्य प्रपत्र:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}$

$\operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}$

एकाधिक मूल्य प्रपत्र:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}$

कहाँ k₁, k₂ क्या कोई पूर्णांक हैं:

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}$

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}$

यह भी देखें

• List of formulae involving π
• List of integrals of logarithmic functions
• List of mathematical identities
• Lists of mathematics topics
• List of trigonometric identities – Equalities that involve trigonometric functions

बाहरी संबंध

• A lesson on logarithms can be found on Wikiversity
• Logarithm in Mathwords