लघुगणकीय पहचानों की सूची: Difference between revisions
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गणित में, अनेक '''लघुगणकीय [[पहचान (गणित)]]''' उपस्थित हैं। इनमें से उल्लेखनीय का संकलन निम्नलिखित है, जिनमें से अनेक का उपयोग कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए किया जाता है। | |||
गणित में, | |||
== | == सामान्य पहचान == | ||
:{| cellpadding=3 | :{| cellpadding=3 | ||
| <math>\log_b(1) = 0 </math> || | | <math>\log_b(1) = 0 </math> || क्योकि || <math> b^0 = 1</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>\log_b(b) = 1 </math> || | | <math>\log_b(b) = 1 </math> || क्योकि || <math> b^1 = b</math> | ||
|} | |} | ||
=== स्पष्टीकरण === | === स्पष्टीकरण === | ||
परिभाषा के अनुसार, हम जानते हैं कि: | परिभाषा के अनुसार, हम जानते हैं कि: | ||
:<math>\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black}</math>, | :<math>\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black}</math>, | ||
जहाँ <math>\color{blue}b\color{black} \neq 0 </math> या <math>\color{blue}b\color{black}\neq 1 </math>. | |||
सेटिंग <math>\color{red}x\color{black} = 0</math> हम देख सकते हैं कि: <math> | |||
सेटिंग <math>\color{red}x\color{black} = 0</math> | |||
हम देख सकते हैं कि: | |||
\color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black} | \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{(0)}\color{black} = \color{green}y\color{black} | \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{(0)}\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{blue}1\color{black} = \color{green}y\color{black} | \iff \color{blue}1\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{green}y\color{black} = \color{blue}1\color{black} | \iff \color{green}y\color{black} = \color{blue}1\color{black} | ||
</math> | |||
<math> | |||
</math> इसलिए, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि: <math> | |||
\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} | \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} | ||
\iff \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{blue}1\color{black}) = \color{red}0\color{black} | \iff \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{blue}1\color{black}) = \color{red}0\color{black} | ||
</math> | </math>, जो हमें पहली गुण प्राप्त करता है। | ||
, जो हमें पहली | |||
सेटिंग <math>\color{red}x\color{black} = 1</math>, हम देख सकते हैं कि:<math> | |||
सेटिंग <math>\color{red}x\color{black} = 1</math>, | |||
हम देख सकते हैं कि: | |||
\color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black} | \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{(1)}\color{black} = \color{green}y\color{black} | \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{(1)}\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{blue}b\color{black} = \color{green}y\color{black} | \iff \color{blue}b\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{green}y\color{black} = \color{blue}b\color{black} | \iff \color{green}y\color{black} = \color{blue}b\color{black} | ||
</math>. इसलिए, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि: | </math>. इसलिए, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि: <math> | ||
<math> | |||
\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} | \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} | ||
\iff \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{blue}b\color{black}) = \color{red}1\color{black} | \iff \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{blue}b\color{black}) = \color{red}1\color{black} | ||
</math> | </math>, जो हमें दूसरी गुण दिलाती है। | ||
, जो हमें दूसरी | |||
अनेक गणितीय पहचानों को <i>सामान्य</i> कहा जाता है, केवल इसलिए क्योंकि वे अपेक्षाकृत सरल होती हैं (समान्यत: एक अनुभवी गणितज्ञ के दृष्टिकोण से) इसका अर्थ यह नहीं है कि किसी पहचान या सूत्र को <i>सामान्य </i>कहने का अर्थ यह है कि यह महत्वपूर्ण नहीं है। | |||
== घातांक | == घातांक समाप्त करना == | ||
समान आधार वाले लघुगणक और घातांक | समान आधार वाले लघुगणक और घातांक फलन एक दूसरे को समाप्त कर देते हैं। यह सच है क्योंकि लघुगणक और घातांक व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं - ठीक उसी तरह जैसे गुणा और भाग व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं, और जोड़ और घटाव व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं। | ||
:<math>b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\mbox{antilog}_b(\log_b(x)) = x</math> | :<math>b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\mbox{antilog}_b(\log_b(x)) = x</math> | ||
:<math>\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\mbox{antilog}_b(x)) = x</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=लोगारित्म|url=https://mathworld.wolfram.com/लोगारित्म.html|access-date=2020-08-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | :<math>\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\mbox{antilog}_b(x)) = x</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=लोगारित्म|url=https://mathworld.wolfram.com/लोगारित्म.html|access-date=2020-08-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> | ||
उपरोक्त दोनों निम्नलिखित दो समीकरणों से प्राप्त हुए हैं जो लघुगणक को परिभाषित करते हैं: | उपरोक्त दोनों निम्नलिखित दो समीकरणों से प्राप्त हुए हैं जो लघुगणक को परिभाषित करते हैं: (ध्यान दें कि इस स्पष्टीकरण में, के वेरिएबल <math> \color{red}x\color{black}</math> और <math>x</math> हो सकता है कि वह उसी नंबर का जिक्र न कर रहा हो) | ||
(ध्यान दें कि इस स्पष्टीकरण में, के | |||
:<math>\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black}</math> | :<math>\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black}</math> | ||
समीकरण | समीकरण <math> \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black} </math> को देखते हुए, और <math>\color{red}x\color{black}</math> में से <math> \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} </math> के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है: <math> | ||
<math> \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} </math>, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है: | |||
\color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black} | \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{ \log _b (y)}\color{black} = \color{green}y\color{black} | \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{ \log _b (y)}\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
\iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black})}\color{black} = \color{green}y\color{black} | \iff \color{blue}b\color{black} \color{red}^{\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black})}\color{black} = \color{green}y\color{black} | ||
</math> | </math>, जो हमें पहला समीकरण देता है। इसके बारे में सोचने का एक और अधिक समान्य विधि यह है कि <math> \color{blue}b\color{black} \color{red}^{\text{something}}\color{black} = \color{green}y\color{black}</math>, और वह "<math>\color{red}{\text{something}}</math>" <math> \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) </math> है। | ||
, जो हमें पहला समीकरण देता है। | |||
इसके बारे में सोचने का एक और अधिक | . | ||
और वह<math>\color{red}{\text{something}}</math> | |||
समीकरण को देखते हुए <math> \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black}</math>, और इसके लिए मान प्रतिस्थापित करना <math> \color{green}y\color{black} </math> का <math>\color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black} = \color{green}y\color{black}</math>, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है: | |||
<math> | <math> | ||
\color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} | \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}y\color{black}) = \color{red}x\color{black} | ||
Line 77: | Line 63: | ||
\iff \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} ({\color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black}}\color{black}) = \color{red}x\color{black} | \iff \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} ({\color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black}}\color{black}) = \color{red}x\color{black} | ||
</math> | </math> | ||
जो हमें दूसरा समीकरण देता है। इसके बारे में सोचने का एक और अधिक कठिन विधि यह <math> \color{black} \log \color{blue}_b \color{black} (\color{green}\text{something}\color{black}) = \color{red}x\color{black}</math>,और वह कुछ <math>\color{green}\text{something}</math> , <math> \color{blue}b\color{black} \color{red}^x\color{black}</math>.है | |||
== सरल संचालन का उपयोग करना == | |||
गणना को सरल बनाने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो संख्याओं को केवल लघुगणक तालिका का उपयोग करके और जोड़कर गुणा किया जा सकता है। इन्हें अधिकांशतः लघुगणकीय गुणों के रूप में जाना जाता है, जिन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रलेखित किया गया है।<ref>{{Cite web|title=4.3 - Properties of Logarithms|url=https://people.richland.edu/james/lecture/m116/logs/properties.html|access-date=2020-08-29|website=people.richland.edu}}</ref> नीचे दिए गए पहले तीन ऑपरेशन मानते हैं कि {{math|1=''x'' = ''b''<sup>''c''</sup>}} और/या {{math|1=''y'' = ''b''<sup>''d''</sup>}} जिससे {{math|1=log<sub>''b''</sub>(''x'') = ''c''}} और {{math|1=log<sub>''b''</sub>(''y'') = ''d''}} हो। व्युत्पत्तियाँ लॉग परिभाषाओं {{math|1=''x'' = ''b''<sup>log<sub>''b''</sub>(''x'')</sup>}} और {{math|1=''x'' = log<sub>''b''</sub>(''b''<sup>''x''</sup>)}} का भी उपयोग करती हैं। | |||
गणना को | |||
:{| cellpadding=3 | :{| cellpadding=3 | ||
| <math>\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)</math> || | | <math>\log_b(xy)=\log_b(x)+\log_b(y)</math> || क्योकि || <math>b^c b^d=b^{c+d}</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>\log_b(\tfrac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)</math> || | | <math>\log_b(\tfrac{x}{y})=\log_b(x)-\log_b(y)</math> || क्योकि || <math>\tfrac{b^c}{b^d}=b^{c-d}</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>\log_b(x^d)=d\log_b(x)</math> || | | <math>\log_b(x^d)=d\log_b(x)</math> || क्योकि || <math>(b^c)^d=b^{cd}</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>\log_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\frac{\log_b(x)}{y}</math> || | | <math>\log_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\frac{\log_b(x)}{y}</math> || क्योकि || <math>\sqrt[y]{x}=x^{1/y}</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>x^{\log_b(y)}=y^{\log_b(x)}</math> || | | <math>x^{\log_b(y)}=y^{\log_b(x)}</math> || क्योकि || <math>x^{\log_b(y)}=b^{\log_b(x)\log_b(y)}=(b^{\log_b(y)})^{\log_b(x)}=y^{\log_b(x)}</math> | ||
|- | |- | ||
| <math>c\log_b(x)+d\log_b(y)=\log_b(x^c y^d)</math> || | | <math>c\log_b(x)+d\log_b(y)=\log_b(x^c y^d)</math> || क्योकि || <math>\log_b(x^c y^d)=\log_b(x^c)+\log_b(y^d)</math> | ||
|} | |} | ||
जहाँ <math>b</math>, <math>x</math>, और <math>y</math> धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और <math>b \ne 1</math>, और <math>c</math> और <math>d</math> वास्तविक संख्याएँ हैं. | |||
नियम घातांक को समाप्त करने और सूचकांकों के उचित नियम के परिणामस्वरूप होते हैं। पहले नियम से प्रारंभिक : | |||
:<math>xy = b^{\log_b(x)} b^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) + \log_b(y)} \Rightarrow \log_b(xy) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y)</math> | :<math>xy = b^{\log_b(x)} b^{\log_b(y)} = b^{\log_b(x) + \log_b(y)} \Rightarrow \log_b(xy) = \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) = \log_b(x) + \log_b(y)</math> | ||
शक्तियों के लिए | शक्तियों के लिए नियम सूचकांकों के अन्य नियमों का शोषण करता है: | ||
:<math>x^y = (b^{\log_b(x)})^y = b^{y \log_b(x)} \Rightarrow \log_b(x^y) = y \log_b(x)</math> | :<math>x^y = (b^{\log_b(x)})^y = b^{y \log_b(x)} \Rightarrow \log_b(x^y) = y \log_b(x)</math> | ||
भागफल से संबंधित | भागफल से संबंधित नियम इस प्रकार है: | ||
:<math>\log_b \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \log_b(x y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)</math> | :<math>\log_b \bigg(\frac{x}{y}\bigg) = \log_b(x y^{-1}) = \log_b(x) + \log_b(y^{-1}) = \log_b(x) - \log_b(y)</math> | ||
Line 121: | Line 99: | ||
=== उत्पाद, भागफल और शक्ति नियमों की व्युत्पत्ति === | === उत्पाद, भागफल और शक्ति नियमों की व्युत्पत्ति === | ||
ये तीन मुख्य लघुगणक नियम/नियम/सिद्धांत हैं,<ref> | ये तीन मुख्य लघुगणक नियम/नियम/सिद्धांत हैं,<ref> | ||
Line 130: | Line 108: | ||
|access-date=2022-04-23 | |access-date=2022-04-23 | ||
}} | }} | ||
</ref> जिससे ऊपर सूचीबद्ध अन्य गुण सिद्ध किये जा | </ref> जिससे ऊपर सूचीबद्ध अन्य गुण सिद्ध किये जा सकता है। इनमें से प्रत्येक लघुगणक गुण उनके संबंधित घातांक नियम के अनुरूप हैं, और उनकी व्युत्पत्ति/प्रमाण उन तथ्यों पर निर्भर होंगे। प्रत्येक लघुगणक नियम को प्राप्त/सिद्ध करने के अनेक विधि हैं - यह केवल एक संभावित विधि है। | ||
==== किसी उत्पाद का लघुगणक ==== | ==== किसी उत्पाद का लघुगणक ==== | ||
<i>किसी उत्पाद का लघुगणक</i> | <i>किसी उत्पाद का लघुगणक</i> नियम को औपचारिक रूप से बताने के लिए: | ||
:<math>\forall b \in \mathbb{R}_+, b \neq 1, \forall x, y, \in \mathbb{R}_+, \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)</math> | :<math>\forall b \in \mathbb{R}_+, b \neq 1, \forall x, y, \in \mathbb{R}_+, \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)</math> | ||
व्युत्पत्ति: | व्युत्पत्ति: | ||
मान लीजिए <math>b \in \mathbb{R}_+</math>, जहां <math>b \neq 1</math> और मान लीजिए <math>x, y \in \mathbb{R}_+</math>हम व्यंजकों <math>\log_b(x)</math> और <math>\log_b(y)</math>} को संबंधित करना चाहते हैं। इसे घातांक के संदर्भ में पुनः लिखकर अधिक सरली से किया जा सकता है, जिसके गुणों को हम पहले से ही जानते हैं। इसके अतिरिक्त, चूँकि हम अधिकांशतः <math>\log_b(x)</math> और <math>\log_b(y)</math> का उल्लेख करने जा रहे हैं, हम उनके साथ काम करना सरल बनाने के लिए उन्हें कुछ परिवर्तनीय नाम देंगे: माना <math>m = \log_b(x)</math>, और जाने <math>n = \log_b(y)</math>.है | |||
और | |||
इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखते हुए, हम इसे देखते हैं | इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखते हुए, हम इसे देखते हैं | ||
Line 148: | Line 125: | ||
n &= \log_b(y) \iff b^n = y. | n &= \log_b(y) \iff b^n = y. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यहां से, हम | यहां से, हम <math>b^m</math> संबंधित हो सकते हैं (अर्थात। <math>x</math>) और <math>b^n</math> (अर्थात। <math>y</math>) घातांक नियमों का उपयोग करते हुए | ||
:<math>xy = (b^m)(b^n) = b^m \cdot b^n = b^{m + n}</math> | :<math>xy = (b^m)(b^n) = b^m \cdot b^n = b^{m + n}</math> | ||
लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम | लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम <math>\log_b</math> आवेदन करते हैं समानता के दोनों पक्षों के लिए. | ||
:<math>\log_b(xy) = \log_b(b^{m + n})</math> | :<math>\log_b(xy) = \log_b(b^{m + n})</math> | ||
पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं <math>\log_b(b^{m + n}) = m + n</math>, | पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं की <math>\log_b(b^{m + n}) = m + n</math>, दे रहा है | ||
:<math>\log_b(xy) = m + n</math> | :<math>\log_b(xy) = m + n</math> | ||
अब हम | अब हम अपने समीकरण में <math>m</math> और <math>n</math> के मानों को पुनः प्रतिस्थापित करते हैं, इसलिए हमारी अंतिम अभिव्यक्ति केवल <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>b</math> के संदर्भ में है। | ||
:<math>\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)</math> | :<math>\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y)</math> | ||
इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है। | इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है। | ||
==== भागफल का लघुगणक ==== | ==== भागफल का लघुगणक ==== | ||
भागफल नियम के लघुगणक को औपचारिक रूप से बताने के लिए: | |||
:<math>\forall b \in \mathbb{R}_+, b \neq 1, \forall x, y, \in \mathbb{R}_+, \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)</math> | :<math>\forall b \in \mathbb{R}_+, b \neq 1, \forall x, y, \in \mathbb{R}_+, \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)</math> | ||
व्युत्पत्ति: | व्युत्पत्ति: | ||
माना ` <math>b \in \mathbb{R}_+</math>, जहाँ <math>b \neq 1</math>, और जाने <math>x, y \in \mathbb{R}_+</math>. | |||
और जाने <math>x, y \in \mathbb{R}_+</math>. | |||
भागफल नियम के लघुगणक को औपचारिक रूप से बताने के लिए: <math>\log_b(x)</math> और <math>\log_b(y)</math>। इसे घातांक के संदर्भ में पुनः लिखकर अधिक सरली से किया जा सकता है, जिसके गुणों को हम पहले से ही जानते हैं। इसके अतिरिक्त, चूँकि हम अधिकांशतः <math>\log_b(x)</math> और <math>\log_b(y)</math> का उल्लेख करने जा रहे हैं, हम उनके साथ काम करना सरल बनाने के लिए उन्हें कुछ परिवर्तनीय नाम देंगे: | |||
माना ,<math>m = \log_b(x)</math> और जाने <math>n = \log_b(y)</math>है । | |||
इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखने पर, हम देखते हैं कि: | इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखने पर, हम देखते हैं कि: | ||
Line 177: | Line 155: | ||
n &= \log_b(y) \iff b^n = y. | n &= \log_b(y) \iff b^n = y. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यहां से, हम | यहां से, हम <math>b^m</math> संबंधित हो सकते हैं (अर्थात। <math>x</math>) और <math>b^n</math> (अर्थात। <math>y</math>) घातांक नियमों का उपयोग करते हुए | ||
:<math>\frac{x}{y} = \frac{(b^m)}{(b^n)} = \frac{b^m}{b^n} = b^{m - n}</math> | :<math>\frac{x}{y} = \frac{(b^m)}{(b^n)} = \frac{b^m}{b^n} = b^{m - n}</math> | ||
लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम | लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम <math>\log_b</math> आवेदन करते हैं समानता के दोनों पक्षों के लिए. | ||
:<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b \left( b^{m -n} \right)</math> | :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b \left( b^{m -n} \right)</math> | ||
पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं <math>\log_b(b^{m - n}) = m - n</math>, | पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं तो <math>\log_b(b^{m - n}) = m - n</math>, दे रहा है | ||
:<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = m -n</math> | :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = m -n</math> | ||
अब हम | अब हम अपने समीकरण में <math>m</math> और <math>n</math> के मानों को पुनः प्रतिस्थापित करते हैं, इसलिए हमारी अंतिम अभिव्यक्ति केवल <math>x</math>, <math>y</math>, और <math>b</math> के संदर्भ में है | ||
:<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)</math> | :<math>\log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)</math> | ||
इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है। | इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है। | ||
Line 193: | Line 170: | ||
==== घात का लघुगणक ==== | ==== घात का लघुगणक ==== | ||
<i>शक्ति का लघुगणक</i> | <i>शक्ति का लघुगणक</i> नियम को औपचारिक रूप से बताने के लिए, | ||
:<math>\forall b \in \mathbb{R}_+, b \neq 1, \forall x \in \mathbb{R}_+, \forall r \in \mathbb{R}, \log_b(x^r) = r\log_b(x)</math> | :<math>\forall b \in \mathbb{R}_+, b \neq 1, \forall x \in \mathbb{R}_+, \forall r \in \mathbb{R}, \log_b(x^r) = r\log_b(x)</math> | ||
व्युत्पत्ति: | व्युत्पत्ति: | ||
मान लीजिए <math>b \in \mathbb{R}_+</math>, जहाँ <math>b \neq 1</math>, मान लीजिए <math>x\in \mathbb{R}_+</math>, और मान लीजिए <math>r \in \mathbb{R}</math> इस व्युत्पत्ति के लिए, हम अभिव्यक्ति <math>\log_b(x^r)</math> को सरल बनाना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सरल अभिव्यक्ति <math>\log_b(x)</math> से प्रारंभ करते हैं। चूँकि हम अधिकांशतः <math>\log_b(x)</math> का उपयोग करेंगे, हम इसे एक नए वेरिएबल के रूप में परिभाषित करेंगे: मान लीजिए <math>m = \log_b(x)</math> है । | |||
अभिव्यक्ति में अधिक | अभिव्यक्ति में अधिक सरली से परिवर्तन करने के लिए, हम इसे एक घातांक के रूप में फिर से लिखते हैं। परिभाषा से, <math>m = \log_b(x) \iff b^m = x</math>, तो हमारे पास | ||
:<math>b^m = x</math> | :<math>b^m = x</math> | ||
उपरोक्त व्युत्पत्तियों के समान, हम एक अन्य घातांक नियम का लाभ उठाते हैं। | उपरोक्त व्युत्पत्तियों के समान, हम एक अन्य घातांक नियम का लाभ उठाते हैं। अपनी अंतिम अभिव्यक्ति में <math>x^r</math> प्राप्त करने के लिए, हम समानता के दोनों पक्षों को <math>r</math> की घात तक बढ़ाते हैं। | ||
:<math> | :<math> | ||
Line 211: | Line 188: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
जहां हमने घातांक नियम | जहां हमने घातांक नियम <math>(b^m)^r = b^{mr}</math> का उपयोग किया था। | ||
लघुगणक को | लघुगणक को पुनः प्राप्त करने के लिए, हम समानता के दोनों पक्षों पर <math>\log_b</math> प्रयुक्त करते हैं। | ||
:<math>\log_b(b^{mr}) = \log_b(x^r)</math> | :<math>\log_b(b^{mr}) = \log_b(x^r)</math> | ||
समानता के बाईं ओर को लघुगणक | समानता के बाईं ओर को लघुगणक नियम का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है, जो बताता है कि <math>\log_b(b^{mr}) = mr</math>. | ||
:<math>mr = \log_b(x^r)</math> | :<math>mr = \log_b(x^r)</math> | ||
मूल मान में <math>m</math> को प्रतिस्थापित करना, पुनर्व्यवस्थित करना और सरलीकरण करना | |||
:<math> | :<math> | ||
Line 230: | Line 207: | ||
इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है। | इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है। | ||
== आधार | == आधार परिवर्तन == | ||
आधार लघुगणक सूत्र के परिवर्तन को औपचारिक रूप से बताने के लिए: | आधार लघुगणक सूत्र के परिवर्तन को औपचारिक रूप से बताने के लिए: | ||
<math display="block">\forall a, b \in \mathbb{R}_+, a, b \neq 1 \forall x \in \mathbb{R}_+, \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math> | <math display="block">\forall a, b \in \mathbb{R}_+, a, b \neq 1 \forall x \in \mathbb{R}_+, \log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math> | ||
यह पहचान कैलकुलेटर पर लघुगणक का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी है। उदाहरण के लिए, अधिकांश कैलकुलेटर में [[प्राकृतिक]] लघुगणक और सामान्य लघुगणक | यह पहचान कैलकुलेटर पर लघुगणक का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी है। उदाहरण के लिए, अधिकांश कैलकुलेटर में [[प्राकृतिक]] लघुगणक और सामान्य लघुगणक या log<sub>10</sub> के लिए बटन होते हैं किंतु सभी कैलकुलेटर में इच्छित आधार के लघुगणक के लिए बटन नहीं होते हैं। | ||
=== प्रमाण/व्युत्पत्ति === | === प्रमाण/व्युत्पत्ति === | ||
मान लीजिए <math>a, b \in \mathbb{R}_+</math>, जहां <math>a, b \neq 1</math> मान लीजिए <math>x \in \mathbb{R}_+</math> यहां, <math>a</math> और <math>b</math> दो आधार हैं जिनका उपयोग हम लघुगणक के लिए करेंगे। वे 1 नहीं हो सकते, क्योंकि 1 के आधार के लिए लघुगणक फलन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। संख्या <math>x</math> वह होगी जिसका लघुगणक मूल्यांकन कर रहा है, इसलिए यह एक सकारात्मक संख्या होनी चाहिए। चूँकि हम <math>\log_b(x)</math> शब्द से बार-बार निपटेंगे, इसलिए हम इसे एक नए चर के रूप में परिभाषित करते हैं: मान लीजिए <math>m = \log_b(x)</math> है। | |||
अभिव्यक्ति में अधिक | अभिव्यक्ति में अधिक सरली से परिवर्तन करने के लिए, इसे घातांक के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। | ||
<math display="block">b^m = x </math> | <math display="block">b^m = x </math> | ||
समानता के दोनों पक्षों पर <math>\log_a</math> प्रयुक्त करने पर, | |||
<math display="block">\log_a(b^m) = \log_a(x) </math> | <math display="block">\log_a(b^m) = \log_a(x) </math> | ||
अब, एक शक्ति गुण के लघुगणक का उपयोग करते हुए, जो यह बताता है <math>\log_a(b^m) = m\log_a(b)</math>, | अब, एक शक्ति गुण के लघुगणक का उपयोग करते हुए, जो यह बताता है <math>\log_a(b^m) = m\log_a(b)</math>, | ||
<math display="block">m\log_a(b) = \log_a(x)</math> | <math display="block">m\log_a(b) = \log_a(x)</math> | ||
<math>m</math> को अलग करने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है: | |||
<math display="block">m = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math> | <math display="block">m = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math> | ||
पुनर्प्रतिस्थापन <math>m = \log_b(x)</math> समीकरण में वापस, | पुनर्प्रतिस्थापन <math>m = \log_b(x)</math> समीकरण में वापस, | ||
Line 252: | Line 230: | ||
यह इस बात का प्रमाण पूरा करता है <math>\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math>. | यह इस बात का प्रमाण पूरा करता है <math>\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}</math>. | ||
इस सूत्र के | इस सूत्र के अनेक परिणाम हैं: | ||
<math display="block"> b^{\log_a d} = d^{\log_a b} </math> | <math display="block"> \log_b a = \frac 1 {\log_a b} </math><math display="block"> \log_{b^n} a = {\log_b a \over n} </math><math display="block"> b^{\log_a d} = d^{\log_a b} </math><math display="block"> -\log_b a = \log_b \left({1 \over a}\right) = \log_{1/b} a</math><math display="block"> \log_{b_1}a_1 \,\cdots\, \log_{b_n}a_n | ||
<math display="block"> -\log_b a = \log_b \left({1 \over a}\right) = \log_{1/b} a</math> | |||
<math display="block"> \log_{b_1}a_1 \,\cdots\, \log_{b_n}a_n | |||
= \log_{b_{\pi(1)}}a_1\, \cdots\, \log_{b_{\pi(n)}}a_n, </math> | = \log_{b_{\pi(1)}}a_1\, \cdots\, \log_{b_{\pi(n)}}a_n, </math> | ||
जहां <math display="inline">\pi</math> सबस्क्रिप्ट {{math|1, ..., ''n''}} का कोई क्रमपरिवर्तन है। उदाहरण के लिए | |||
<math display="block"> \log_b w\cdot \log_a x \cdot \log_d c \cdot \log_d z | <math display="block"> \log_b w\cdot \log_a x \cdot \log_d c \cdot \log_d z | ||
= \log_d w \cdot \log_b x \cdot \log_a c \cdot \log_d z. </math> | = \log_d w \cdot \log_b x \cdot \log_a c \cdot \log_d z. </math> | ||
=== योग/घटाव === | === योग/घटाव === | ||
निम्नलिखित योग/घटाव नियम संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी होता है जब कोई लॉग-संभावनाओं के योग से निपट रहा हो: | निम्नलिखित योग/घटाव नियम संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी होता है जब कोई लॉग-संभावनाओं के योग से निपट रहा हो: | ||
Line 276: | Line 242: | ||
{| | {| | ||
|<math>\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1 + \frac{c}{a}\right)</math> | |<math>\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1 + \frac{c}{a}\right)</math> | ||
| | |क्योकि | ||
|<math>\left(a + c \right) = a \times \left(1 + \frac{c}{a} \right)</math> | |<math>\left(a + c \right) = a \times \left(1 + \frac{c}{a} \right)</math> | ||
|- | |- | ||
|<math>\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1 - \frac{c}{a}\right)</math> | |<math>\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1 - \frac{c}{a}\right)</math> | ||
| | |क्योकि | ||
|<math>\left(a - c \right) = a \times \left(1 - \frac{c}{a} \right)</math> | |<math>\left(a - c \right) = a \times \left(1 - \frac{c}{a} \right)</math> | ||
|} | |} | ||
ध्यान दें कि यदि <math>a=c</math> है तो घटाव पहचान परिभाषित नहीं है, क्योंकि शून्य का लघुगणक परिभाषित नहीं है। यह भी ध्यान दें कि, प्रोग्रामिंग करते समय, राउंडिंग त्रुटियों के कारण "1 +" खोने से बचने के लिए, <math>a</math> और <math>c</math> को समीकरणों के दाईं ओर स्विच करना पड़ सकता है यदि <math>c \gg a</math> अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक विशिष्ट <code>log1p(x)</code>फलन होता है जो बिना अंडरफ्लो (जब <math>x</math> छोटा होता है) के बिना <math>\log_e (1+x)</math>की गणना करता है। | |||
समान्यत: अधिक: | |||
<math display="block">\log _b \sum_{i=0}^N a_i = \log_b a_0 + \log_b \left( 1+\sum_{i=1}^N \frac{a_i}{a_0} \right) = \log _b a_0 + \log_b \left( 1+\sum_{i=1}^N b^{\left( \log_b a_i - \log _b a_0 \right)} \right)</math> | |||
=== घातांक === | === घातांक === | ||
घातांकों से जुड़ी एक उपयोगी पहचान: | घातांकों से जुड़ी एक उपयोगी पहचान: | ||
Line 294: | Line 261: | ||
या अधिक सार्वभौमिक रूप से: | या अधिक सार्वभौमिक रूप से: | ||
<math display="block"> x^{\frac{\log(a)}{\log(x)}} = a</math> | <math display="block"> x^{\frac{\log(a)}{\log(x)}} = a</math> | ||
=== अन्य/परिणामी पहचान === | === अन्य/परिणामी पहचान === | ||
<math display="block"> \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)} + \frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{xy}(a)</math> | <math display="block"> \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)} + \frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{xy}(a)</math><math display="block"> \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}-\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{\frac{x}{y}}(a)</math> | ||
<math display="block"> \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}-\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{\frac{x}{y}}(a)</math> | |||
==असमानताएं== | ==असमानताएं== | ||
आधारित,<ref>{{Cite web |url=http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v7n2/pade.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2016-12-20 |archive-date=2016-10-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161020123226/http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v7n2/pade.pdf |url-status=dead }}</ref><ref>http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> और <ref>http://downloads.hindawi.com/archive/2013/412958.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> | |||
:<math>\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) | :<math>\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) | ||
\leq \frac{x(6+x)}{6+4x} | \leq \frac{x(6+x)}{6+4x} | ||
Line 311: | Line 273: | ||
&\text{ for } 0 \le x \text{, reverse for } {-1} < x \le 0 | &\text{ for } 0 \le x \text{, reverse for } {-1} < x \le 0 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
सभी <math>x=0</math> के आसपास स्पष्ट हैं, किंतु बड़ी संख्याओं के लिए नहीं है। | |||
== कलन सर्वसमिकाएँ == | == कलन सर्वसमिकाएँ == | ||
=== [[किसी फ़ंक्शन की सीमा]] === | === [[किसी फ़ंक्शन की सीमा|किसी फलन की सीमा]] === | ||
:<math>\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } a > 1</math> | :<math>\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } a > 1</math> | ||
:<math>\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } 0 < a < 1</math> | :<math>\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } 0 < a < 1</math> | ||
Line 322: | Line 284: | ||
:<math>\lim_{x\to 0^+}x^b\log_a(x)=0\quad \mbox{if } b > 0</math> | :<math>\lim_{x\to 0^+}x^b\log_a(x)=0\quad \mbox{if } b > 0</math> | ||
:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a(x)}{x^b}=0\quad \mbox{if } b > 0</math> | :<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a(x)}{x^b}=0\quad \mbox{if } b > 0</math> | ||
अंतिम सीमा को | अंतिम सीमा को अधिकांशतः संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है क्योंकि लघुगणक x की किसी भी शक्ति या जड़ की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है। | ||
=== लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्न === | === लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्न === | ||
Line 328: | Line 290: | ||
:<math>{d \over dx} \ln |x| = {1 \over x }, x \neq 0</math> | :<math>{d \over dx} \ln |x| = {1 \over x }, x \neq 0</math> | ||
:<math>{d \over dx} \log_a x = {1 \over x \ln a}, x > 0, a > 0, \text{ and } a\neq 1</math> | :<math>{d \over dx} \log_a x = {1 \over x \ln a}, x > 0, a > 0, \text{ and } a\neq 1</math> | ||
=== अभिन्न परिभाषा === | === अभिन्न परिभाषा === | ||
:<math>\ln x = \int_1^x \frac {1}{t}\ dt </math> | :<math>\ln x = \int_1^x \frac {1}{t}\ dt </math> | ||
=== लघुगणकीय फलनों का समाकलन === | === लघुगणकीय फलनों का समाकलन === | ||
:<math>\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C = x(\ln x - 1) + C</math> | :<math>\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C = x(\ln x - 1) + C</math> | ||
Line 339: | Line 297: | ||
उच्च अभिन्नों को याद रखने के लिए, इसे परिभाषित करना सुविधाजनक है | उच्च अभिन्नों को याद रखने के लिए, इसे परिभाषित करना सुविधाजनक है | ||
:<math>x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)</math> | :<math>x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)</math> | ||
जहां <math>H_n</math> nवाँ हार्मोनिक संख्या है: | |||
:<math>x^{\left [ 0 \right ]} = \log x</math> | :<math>x^{\left [ 0 \right ]} = \log x</math> | ||
Line 348: | Line 306: | ||
:<math>\frac{d}{dx}\, x^{\left[ n \right]} = nx^{\left[ n-1 \right]}</math> | :<math>\frac{d}{dx}\, x^{\left[ n \right]} = nx^{\left[ n-1 \right]}</math> | ||
:<math>\int x^{\left[ n \right]}\,dx = \frac{x^{\left [ n+1 \right ]}}{n+1} + C</math> | :<math>\int x^{\left[ n \right]}\,dx = \frac{x^{\left [ n+1 \right ]}}{n+1} + C</math> | ||
== बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाना == | == बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाना == | ||
लघुगणक की पहचान का उपयोग बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि {{math|1=log<sub>''b''</sub>(''a'') + log<sub>''b''</sub>(''c'') = log<sub>''b''</sub>(''ac'')}} | लघुगणक की पहचान का उपयोग बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि {{math|1=log<sub>''b''</sub>(''a'') + log<sub>''b''</sub>(''c'') = log<sub>''b''</sub>(''ac'')}} जहां a, b, और c इच्छित स्थिरांक हैं। मान लीजिए कि कोई 44वें मेरसेन प्राइम, {{math|2<sup>32,582,657</sup> −1}} का अनुमान लगाना चाहता है। आधार-10 लघुगणक प्राप्त करने के लिए, हम 32,582,657 को {{math|log<sub>10</sub>(2)}} से गुणा करेंगे, जिससे {{math|1=9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543}} प्राप्त होगा। फिर हम {{math|1=10<sup>9,808,357</sup> × 10<sup>0.09543</sup> ≈ 1.25 × 10<sup>9,808,357</sup>}} प्राप्त कर सकते हैं। | ||
इसी प्रकार, पदों के लघुगणक का योग करके | इसी प्रकार, पदों के लघुगणक का योग करके फैक्टोरियल का अनुमान लगाया जा सकता है। | ||
== [[जटिल लघुगणक]] सर्वसमिकाएँ == | == [[जटिल लघुगणक|समष्टि लघुगणक]] सर्वसमिकाएँ == | ||
समष्टि लघुगणक, लघुगणक फलन का [[जटिल संख्या|समष्टि संख्या]] एनालॉग है। समष्टि तल पर कोई भी एकल मूल्यवान फलन लघुगणक के सामान्य नियमों को संतुष्ट नहीं कर सकता है। चूँकि एक बहुमूल्यवान फलन को परिभाषित किया जा सकता है जो अधिकांश पहचानों को संतुष्ट करता है। इसे [[रीमैन सतह]] पर परिभाषित एक फलन के रूप में मानना सामान्य बात है। एक एकल मूल्यवान संस्करण, जिसे लघुगणक का मुख्य मूल्य कहा जाता है, को परिभाषित किया जा सकता है जो ऋणात्मक एक्स अक्ष पर असंतत है, और एकल शाखा कट पर बहुमूल्यवान संस्करण के समान है। | |||
=== परिभाषाएँ === | === परिभाषाएँ === | ||
निम्नलिखित में, | निम्नलिखित में, फलन के प्रमुख मान के लिए बड़े अक्षर का उपयोग किया जाता है, और मल्टीवैल्यूड फलन के लिए निचले केस संस्करण का उपयोग किया जाता है। परिभाषाओं और पहचानों का एकल मूल्यवान संस्करण सदैव पहले दिया जाता है, उसके बाद एकाधिक मूल्यवान संस्करणों के लिए एक अलग अनुभाग दिया जाता है। | ||
*{{math|ln(''r'')}} वास्तविक संख्या | *{{math|ln(''r'')}} वास्तविक संख्या {{mvar|r}} का मानक प्राकृतिक लघुगणक है। | ||
*{{math|Arg(''z'')}} | *{{math|Arg(''z'')}} arg फलन का प्रमुख मान है; इसका मान {{open-closed|−''π'', ''π''}} तक सीमित है। इसकी गणना {{math|1=Arg(''x'' + ''iy'') = [[atan2]](''y'', ''x'')}} का उपयोग करके की जा सकती है। | ||
*{{math|Log(''z'')}} | *{{math|Log(''z'')}} समष्टि लघुगणक फलन का मुख्य मान है और इसकी सीमा {{open-closed|−''π'', ''π''}} में काल्पनिक भाग है। | ||
*<math>\operatorname{Log}(z) = \ln(|z|) + i \operatorname{Arg}(z)</math> | *<math>\operatorname{Log}(z) = \ln(|z|) + i \operatorname{Arg}(z)</math> | ||
*<math>e^{\operatorname{Log}(z)} = z</math> | *<math>e^{\operatorname{Log}(z)} = z</math> | ||
का बहु-मूल्यवान संस्करण {{math|log(''z'')}} एक | का बहु-मूल्यवान संस्करण {{math|log(''z'')}} एक समुच्चय है, किंतु इसे ब्रेसिज़ के बिना लिखना सरल है और सूत्रों में इसका उपयोग स्पष्ट नियमों का पालन करता है। | ||
*{{math|log(''z'')}} सम्मिश्र संख्याओं v का समुच्चय है जो | *{{math|log(''z'')}} सम्मिश्र संख्याओं v का समुच्चय है जो {{math|1=e<sup>''v''</sup> = ''z''}} को संतुष्ट करता है | ||
*{{math|arg(''z'')}}, z पर | *{{math|arg(''z'')}}, z पर प्रयुक्त Arg (गणित) फलन के संभावित मानों का समुच्चय है। | ||
जब k कोई पूर्णांक हो: | जब k कोई पूर्णांक हो: | ||
Line 379: | Line 335: | ||
:<math>\log(z) = \operatorname{Log}(z) + 2 \pi i k</math> | :<math>\log(z) = \operatorname{Log}(z) + 2 \pi i k</math> | ||
:<math>e^{\log(z)} = z</math> | :<math>e^{\log(z)} = z</math> | ||
=== स्थिरांक === | === स्थिरांक === | ||
Line 391: | Line 345: | ||
:<math>\log(1) = 0 + 2 \pi i k</math> | :<math>\log(1) = 0 + 2 \pi i k</math> | ||
:<math>\log(e) = 1 + 2 \pi i k</math> | :<math>\log(e) = 1 + 2 \pi i k</math> | ||
=== सारांश === | === सारांश === | ||
Line 411: | Line 363: | ||
:<math>\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)</math> | :<math>\log(z_1) + \log(z_2) = \log(z_1 z_2)</math> | ||
:<math>\log(z_1) - \log(z_2) = \log(z_1 / z_2)</math> | :<math>\log(z_1) - \log(z_2) = \log(z_1 / z_2)</math> | ||
=== शक्तियाँ === | === शक्तियाँ === | ||
किसी सम्मिश्र संख्या की सम्मिश्र घात में | किसी सम्मिश्र संख्या की सम्मिश्र घात में अनेक संभावित मान हो सकते हैं। | ||
प्रमुख मूल्य प्रपत्र: | प्रमुख मूल्य प्रपत्र: | ||
Line 424: | Line 374: | ||
:<math>{z_1}^{z_2} = e^{z_2 \log(z_1)}</math> | :<math>{z_1}^{z_2} = e^{z_2 \log(z_1)}</math> | ||
जहाँ {{math|''k''<sub>1</sub>}}, {{math|''k''<sub>2</sub>}} क्या कोई पूर्णांक हैं: | |||
:<math>\log{\left({z_1}^{z_2}\right)} = z_2 \log(z_1) + 2 \pi i k_2</math> | :<math>\log{\left({z_1}^{z_2}\right)} = z_2 \log(z_1) + 2 \pi i k_2</math> | ||
:<math>\log{\left({z_1}^{z_2}\right)} = z_2 \operatorname{Log}(z_1) + z_2 2 \pi i k_1 + 2 \pi i k_2</math> | :<math>\log{\left({z_1}^{z_2}\right)} = z_2 \operatorname{Log}(z_1) + z_2 2 \pi i k_1 + 2 \pi i k_2</math> | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* | * π से जुड़े सूत्रों की सूची | ||
* | * लघुगणकीय कार्यों के अभिन्नों की सूची | ||
* | * गणितीय सर्वसमिकाओं की सूची | ||
* | * गणित विषयों की सूची | ||
* | * त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची | ||
== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
{{reflist}} | {{reflist}} | ||
== बाहरी संबंध == | == बाहरी संबंध == | ||
*{{sister-inline | *{{sister-inline | ||
Line 449: | Line 395: | ||
}} | }} | ||
* [http://www.mathwords.com/l/logarithm.htm Logarithm] in Mathwords | * [http://www.mathwords.com/l/logarithm.htm Logarithm] in Mathwords | ||
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[[Category:प्रमाण युक्त लेख]] | |||
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Latest revision as of 17:47, 19 September 2023
गणित में, अनेक लघुगणकीय पहचान (गणित) उपस्थित हैं। इनमें से उल्लेखनीय का संकलन निम्नलिखित है, जिनमें से अनेक का उपयोग कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए किया जाता है।
सामान्य पहचान
क्योकि क्योकि
स्पष्टीकरण
परिभाषा के अनुसार, हम जानते हैं कि:
- ,
जहाँ या .
सेटिंग हम देख सकते हैं कि: इसलिए, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि: , जो हमें पहली गुण प्राप्त करता है।
सेटिंग , हम देख सकते हैं कि:. इसलिए, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि: , जो हमें दूसरी गुण दिलाती है।
अनेक गणितीय पहचानों को सामान्य कहा जाता है, केवल इसलिए क्योंकि वे अपेक्षाकृत सरल होती हैं (समान्यत: एक अनुभवी गणितज्ञ के दृष्टिकोण से) इसका अर्थ यह नहीं है कि किसी पहचान या सूत्र को सामान्य कहने का अर्थ यह है कि यह महत्वपूर्ण नहीं है।
घातांक समाप्त करना
समान आधार वाले लघुगणक और घातांक फलन एक दूसरे को समाप्त कर देते हैं। यह सच है क्योंकि लघुगणक और घातांक व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं - ठीक उसी तरह जैसे गुणा और भाग व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं, और जोड़ और घटाव व्युत्क्रम संक्रियाएँ हैं।
उपरोक्त दोनों निम्नलिखित दो समीकरणों से प्राप्त हुए हैं जो लघुगणक को परिभाषित करते हैं: (ध्यान दें कि इस स्पष्टीकरण में, के वेरिएबल और हो सकता है कि वह उसी नंबर का जिक्र न कर रहा हो)
समीकरण को देखते हुए, और में से के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है: , जो हमें पहला समीकरण देता है। इसके बारे में सोचने का एक और अधिक समान्य विधि यह है कि , और वह "" है।
.
समीकरण को देखते हुए , और इसके लिए मान प्रतिस्थापित करना का , हमें निम्नलिखित समीकरण मिलता है:
जो हमें दूसरा समीकरण देता है। इसके बारे में सोचने का एक और अधिक कठिन विधि यह ,और वह कुछ , .है
सरल संचालन का उपयोग करना
गणना को सरल बनाने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो संख्याओं को केवल लघुगणक तालिका का उपयोग करके और जोड़कर गुणा किया जा सकता है। इन्हें अधिकांशतः लघुगणकीय गुणों के रूप में जाना जाता है, जिन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रलेखित किया गया है।[2] नीचे दिए गए पहले तीन ऑपरेशन मानते हैं कि x = bc और/या y = bd जिससे logb(x) = c और logb(y) = d हो। व्युत्पत्तियाँ लॉग परिभाषाओं x = blogb(x) और x = logb(bx) का भी उपयोग करती हैं।
क्योकि क्योकि क्योकि क्योकि क्योकि क्योकि
जहाँ , , और धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और , और और वास्तविक संख्याएँ हैं.
नियम घातांक को समाप्त करने और सूचकांकों के उचित नियम के परिणामस्वरूप होते हैं। पहले नियम से प्रारंभिक :
शक्तियों के लिए नियम सूचकांकों के अन्य नियमों का शोषण करता है:
भागफल से संबंधित नियम इस प्रकार है:
इसी प्रकार, मूल नियम को पारस्परिक शक्ति के रूप में जड़ को फिर से लिखकर प्राप्त किया जाता है:
उत्पाद, भागफल और शक्ति नियमों की व्युत्पत्ति
ये तीन मुख्य लघुगणक नियम/नियम/सिद्धांत हैं,[3] जिससे ऊपर सूचीबद्ध अन्य गुण सिद्ध किये जा सकता है। इनमें से प्रत्येक लघुगणक गुण उनके संबंधित घातांक नियम के अनुरूप हैं, और उनकी व्युत्पत्ति/प्रमाण उन तथ्यों पर निर्भर होंगे। प्रत्येक लघुगणक नियम को प्राप्त/सिद्ध करने के अनेक विधि हैं - यह केवल एक संभावित विधि है।
किसी उत्पाद का लघुगणक
किसी उत्पाद का लघुगणक नियम को औपचारिक रूप से बताने के लिए:
व्युत्पत्ति:
मान लीजिए , जहां और मान लीजिए हम व्यंजकों और } को संबंधित करना चाहते हैं। इसे घातांक के संदर्भ में पुनः लिखकर अधिक सरली से किया जा सकता है, जिसके गुणों को हम पहले से ही जानते हैं। इसके अतिरिक्त, चूँकि हम अधिकांशतः और का उल्लेख करने जा रहे हैं, हम उनके साथ काम करना सरल बनाने के लिए उन्हें कुछ परिवर्तनीय नाम देंगे: माना , और जाने .है
इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखते हुए, हम इसे देखते हैं
यहां से, हम संबंधित हो सकते हैं (अर्थात। ) और (अर्थात। ) घातांक नियमों का उपयोग करते हुए
लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम आवेदन करते हैं समानता के दोनों पक्षों के लिए.
पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं की , दे रहा है
अब हम अपने समीकरण में और के मानों को पुनः प्रतिस्थापित करते हैं, इसलिए हमारी अंतिम अभिव्यक्ति केवल , , और के संदर्भ में है।
इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है।
भागफल का लघुगणक
भागफल नियम के लघुगणक को औपचारिक रूप से बताने के लिए:
व्युत्पत्ति:
माना ` , जहाँ , और जाने .
भागफल नियम के लघुगणक को औपचारिक रूप से बताने के लिए: और । इसे घातांक के संदर्भ में पुनः लिखकर अधिक सरली से किया जा सकता है, जिसके गुणों को हम पहले से ही जानते हैं। इसके अतिरिक्त, चूँकि हम अधिकांशतः और का उल्लेख करने जा रहे हैं, हम उनके साथ काम करना सरल बनाने के लिए उन्हें कुछ परिवर्तनीय नाम देंगे:
माना , और जाने है ।
इन्हें घातांक के रूप में पुनः लिखने पर, हम देखते हैं कि:
यहां से, हम संबंधित हो सकते हैं (अर्थात। ) और (अर्थात। ) घातांक नियमों का उपयोग करते हुए
लघुगणक को पुनर्प्राप्त करने के लिए, हम आवेदन करते हैं समानता के दोनों पक्षों के लिए.
पहले से लघुगणक गुणों में से एक का उपयोग करके दाईं ओर को सरल बनाया जा सकता है: हम यह जानते हैं तो , दे रहा है
अब हम अपने समीकरण में और के मानों को पुनः प्रतिस्थापित करते हैं, इसलिए हमारी अंतिम अभिव्यक्ति केवल , , और के संदर्भ में है
इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है।
घात का लघुगणक
शक्ति का लघुगणक नियम को औपचारिक रूप से बताने के लिए,
व्युत्पत्ति:
मान लीजिए , जहाँ , मान लीजिए , और मान लीजिए इस व्युत्पत्ति के लिए, हम अभिव्यक्ति को सरल बनाना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, हम सरल अभिव्यक्ति से प्रारंभ करते हैं। चूँकि हम अधिकांशतः का उपयोग करेंगे, हम इसे एक नए वेरिएबल के रूप में परिभाषित करेंगे: मान लीजिए है ।
अभिव्यक्ति में अधिक सरली से परिवर्तन करने के लिए, हम इसे एक घातांक के रूप में फिर से लिखते हैं। परिभाषा से, , तो हमारे पास
उपरोक्त व्युत्पत्तियों के समान, हम एक अन्य घातांक नियम का लाभ उठाते हैं। अपनी अंतिम अभिव्यक्ति में प्राप्त करने के लिए, हम समानता के दोनों पक्षों को की घात तक बढ़ाते हैं।
जहां हमने घातांक नियम का उपयोग किया था।
लघुगणक को पुनः प्राप्त करने के लिए, हम समानता के दोनों पक्षों पर प्रयुक्त करते हैं।
समानता के बाईं ओर को लघुगणक नियम का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है, जो बताता है कि .
मूल मान में को प्रतिस्थापित करना, पुनर्व्यवस्थित करना और सरलीकरण करना
इससे व्युत्पत्ति पूर्ण हो जाती है।
आधार परिवर्तन
आधार लघुगणक सूत्र के परिवर्तन को औपचारिक रूप से बताने के लिए:
प्रमाण/व्युत्पत्ति
मान लीजिए , जहां मान लीजिए यहां, और दो आधार हैं जिनका उपयोग हम लघुगणक के लिए करेंगे। वे 1 नहीं हो सकते, क्योंकि 1 के आधार के लिए लघुगणक फलन अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। संख्या वह होगी जिसका लघुगणक मूल्यांकन कर रहा है, इसलिए यह एक सकारात्मक संख्या होनी चाहिए। चूँकि हम शब्द से बार-बार निपटेंगे, इसलिए हम इसे एक नए चर के रूप में परिभाषित करते हैं: मान लीजिए है।
अभिव्यक्ति में अधिक सरली से परिवर्तन करने के लिए, इसे घातांक के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
को अलग करने पर, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है:
इस सूत्र के अनेक परिणाम हैं:
योग/घटाव
निम्नलिखित योग/घटाव नियम संभाव्यता सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी होता है जब कोई लॉग-संभावनाओं के योग से निपट रहा हो:
क्योकि | ||
क्योकि |
ध्यान दें कि यदि है तो घटाव पहचान परिभाषित नहीं है, क्योंकि शून्य का लघुगणक परिभाषित नहीं है। यह भी ध्यान दें कि, प्रोग्रामिंग करते समय, राउंडिंग त्रुटियों के कारण "1 +" खोने से बचने के लिए, और को समीकरणों के दाईं ओर स्विच करना पड़ सकता है यदि अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक विशिष्ट log1p(x)
फलन होता है जो बिना अंडरफ्लो (जब छोटा होता है) के बिना की गणना करता है।
समान्यत: अधिक:
घातांक
घातांकों से जुड़ी एक उपयोगी पहचान:
अन्य/परिणामी पहचान
असमानताएं
सभी के आसपास स्पष्ट हैं, किंतु बड़ी संख्याओं के लिए नहीं है।
कलन सर्वसमिकाएँ
किसी फलन की सीमा
अंतिम सीमा को अधिकांशतः संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है क्योंकि लघुगणक x की किसी भी शक्ति या जड़ की तुलना में अधिक धीरे-धीरे बढ़ता है।
लघुगणकीय फलनों के व्युत्पन्न
अभिन्न परिभाषा
लघुगणकीय फलनों का समाकलन
उच्च अभिन्नों को याद रखने के लिए, इसे परिभाषित करना सुविधाजनक है
जहां nवाँ हार्मोनिक संख्या है:
तब
बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाना
लघुगणक की पहचान का उपयोग बड़ी संख्याओं का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि logb(a) + logb(c) = logb(ac) जहां a, b, और c इच्छित स्थिरांक हैं। मान लीजिए कि कोई 44वें मेरसेन प्राइम, 232,582,657 −1 का अनुमान लगाना चाहता है। आधार-10 लघुगणक प्राप्त करने के लिए, हम 32,582,657 को log10(2) से गुणा करेंगे, जिससे 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543 प्राप्त होगा। फिर हम 109,808,357 × 100.09543 ≈ 1.25 × 109,808,357 प्राप्त कर सकते हैं।
इसी प्रकार, पदों के लघुगणक का योग करके फैक्टोरियल का अनुमान लगाया जा सकता है।
समष्टि लघुगणक सर्वसमिकाएँ
समष्टि लघुगणक, लघुगणक फलन का समष्टि संख्या एनालॉग है। समष्टि तल पर कोई भी एकल मूल्यवान फलन लघुगणक के सामान्य नियमों को संतुष्ट नहीं कर सकता है। चूँकि एक बहुमूल्यवान फलन को परिभाषित किया जा सकता है जो अधिकांश पहचानों को संतुष्ट करता है। इसे रीमैन सतह पर परिभाषित एक फलन के रूप में मानना सामान्य बात है। एक एकल मूल्यवान संस्करण, जिसे लघुगणक का मुख्य मूल्य कहा जाता है, को परिभाषित किया जा सकता है जो ऋणात्मक एक्स अक्ष पर असंतत है, और एकल शाखा कट पर बहुमूल्यवान संस्करण के समान है।
परिभाषाएँ
निम्नलिखित में, फलन के प्रमुख मान के लिए बड़े अक्षर का उपयोग किया जाता है, और मल्टीवैल्यूड फलन के लिए निचले केस संस्करण का उपयोग किया जाता है। परिभाषाओं और पहचानों का एकल मूल्यवान संस्करण सदैव पहले दिया जाता है, उसके बाद एकाधिक मूल्यवान संस्करणों के लिए एक अलग अनुभाग दिया जाता है।
- ln(r) वास्तविक संख्या r का मानक प्राकृतिक लघुगणक है।
- Arg(z) arg फलन का प्रमुख मान है; इसका मान (−π, π] तक सीमित है। इसकी गणना Arg(x + iy) = atan2(y, x) का उपयोग करके की जा सकती है।
- Log(z) समष्टि लघुगणक फलन का मुख्य मान है और इसकी सीमा (−π, π] में काल्पनिक भाग है।
का बहु-मूल्यवान संस्करण log(z) एक समुच्चय है, किंतु इसे ब्रेसिज़ के बिना लिखना सरल है और सूत्रों में इसका उपयोग स्पष्ट नियमों का पालन करता है।
- log(z) सम्मिश्र संख्याओं v का समुच्चय है जो ev = z को संतुष्ट करता है
- arg(z), z पर प्रयुक्त Arg (गणित) फलन के संभावित मानों का समुच्चय है।
जब k कोई पूर्णांक हो:
स्थिरांक
प्रमुख मूल्य प्रपत्र:
किसी भी k पूर्णांक के लिए एकाधिक मान प्रपत्र:
सारांश
प्रमुख मूल्य प्रपत्र:
एकाधिक मूल्य प्रपत्र:
शक्तियाँ
किसी सम्मिश्र संख्या की सम्मिश्र घात में अनेक संभावित मान हो सकते हैं।
प्रमुख मूल्य प्रपत्र:
एकाधिक मूल्य प्रपत्र:
जहाँ k1, k2 क्या कोई पूर्णांक हैं:
यह भी देखें
- π से जुड़े सूत्रों की सूची
- लघुगणकीय कार्यों के अभिन्नों की सूची
- गणितीय सर्वसमिकाओं की सूची
- गणित विषयों की सूची
- त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची
संदर्भ
- ↑ Weisstein, Eric W. "लोगारित्म". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-29.
- ↑ "4.3 - Properties of Logarithms". people.richland.edu. Retrieved 2020-08-29.
- ↑ "Properties and Laws of Logarithms". courseware.cemc.uwaterloo.ca/8. Retrieved 2022-04-23.
- ↑ "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-10-20. Retrieved 2016-12-20.
- ↑ http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf[bare URL PDF]
- ↑ http://downloads.hindawi.com/archive/2013/412958.pdf[bare URL PDF]
- ↑ 7.0 7.1 Abramowitz, Milton (1965). सूत्रों, ग्राफ़ और गणितीय तालिकाओं के साथ गणितीय कार्यों की पुस्तिका. Irene A. Stegun. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4. OCLC 429082.