View source for मापने योग्य स्थान

गणित में, मापने योग्य स्थान या बोरेल स्थान<ref name="eommeasurablespace" />[[माप सिद्धांत]] में एक मूल वस्तु है। इसमें [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] और सिग्मा (Σ) -बीजगणित σ-बीजगणित होता है, जो मापे जाने वाले  [[सबसेट|उपसमुच्चय]] को परिभाषित करता है।

== परिभाषा ==

समुच्चय पर ध्यान दिया जाये तो <math>X</math> और सिग्मा-बीजगणित σ-बीजगणित <math>\mathcal A</math> पर <math>X.</math> है, फिर टपल <math>(X, \mathcal A)</math> मापने योग्य स्थान कहा जाता है।<ref name="Klenke18" />

ध्यान दें कि माप स्थान के विपरीत, मापने योग्य स्थान के लिए कोई माप (गणित) की आवश्यकता नहीं है।

== उदाहरण ==

समुच्चय पर ध्यान दें तो:
<math display=block>X = \{1,2,3\}.</math>
एक संभव <math>\sigma</math>-बीजगणित होगा:
<math display=block>\mathcal A_1 = \{X, \varnothing\}.</math>
तब <math>\left(X, \mathcal A_1\right)</math> मापने योग्य स्थान है। एक और संभव <math>\sigma</math>-बीजगणित पर स्थापित घात समुच्चय होगी <math>X</math>:
<math display=block>\mathcal A_2 = \mathcal P(X).</math>
इसके साथ ही समुच्चय पर दूसरा मापनीय स्थान <math>X</math> द्वारा दिया गया है <math>\left(X, \mathcal A_2\right).</math>
== सामान्य मापने योग्य स्थान ==

अगर <math>X</math> परिमित या गणनीय रूप से अनंत है, <math>\sigma</math>-बीजगणित सबसे अधिक बार होता है  घात समुच्चय है <math>X,</math> इसलिए <math>\mathcal A = \mathcal P(X).</math> यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है <math>(X, \mathcal P(X)).</math>

अगर <math>X</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है, द <math>\sigma</math>-बीजगणित सामान्यतः बोरेल सिग्मा बीजगणित है| बोरेल <math>\sigma</math>-बीजगणित <math>\mathcal B,</math> इसलिए <math>\mathcal A = \mathcal B(X).</math> यह मापने योग्य स्थान की ओर जाता है <math>(X, \mathcal B(X))</math> यह सभी टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे कि वास्तविक संख्या के लिए सामान्य है <math>\R.</math>
== बोरेल रिक्त स्थान के साथ अस्पष्टता ==

बोरेल स्पेस शब्द का प्रयोग विभिन्न प्रकार के मापने योग्य स्थानों के लिए किया जाता है। यह संदर्भित कर सकता है
* कोई भी मापने योग्य स्थान, इसलिए यह ऊपर परिभाषित अनुसार मापने योग्य स्थान का पर्याय है <ref name="eommeasurablespace" />* एक औसत दर्जे का स्थान जो [[बोरेल समरूपता]] है वास्तविक संख्याओं के एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय (फिर से बोरेल के साथ) <math>\sigma</math>-बीजगणित)<ref name="Kallenberg15" />

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|बोरेल समुच्चय}}
* {{annotated link|मापनीय समुच्चय}}
* {{annotated link|मानक बोरेल स्थान/मानक बोरेल स्थान}}

==संदर्भ==

{{reflist|group=note}}

<references>
<ref name="eommeasurablespace" >{{SpringerEOM|title=Measurable space|id=Measurable_space|author-last1=Sazonov|author-first1=V.V.}}</ref>
<ref name="Kallenberg15" >{{cite book|last1=Kallenberg|first1=Olav|author-link1=Olav Kallenberg|year=2017|title=Random Measures, Theory and Applications|volume=77|location= Switzerland|publisher=Springer|page=15|doi= 10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3|series=Probability Theory and Stochastic Modelling}}</ref>
<ref name="Klenke18" >{{cite book|last1=Klenke|first1=Achim|year=2008|title=Probability Theory|url=https://archive.org/details/probabilitytheor00klen_341|url-access=limited|location=Berlin|publisher=Springer|doi=10.1007/978-1-84800-048-3|isbn=978-1-84800-047-6|page=[https://archive.org/details/probabilitytheor00klen_341/page/n28 18]}}</ref>
</references>

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