ब्लमबर्ग प्रमेय

गणित में, ब्लमबर्ग प्रमेय बताता है कि किसी भी वास्तविक फलन के लिए $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ एक सघन सेट है $D$ का $\mathbb {R}$ ऐसा कि Restriction_(गणित) का $f$ को $D$ सतत कार्य है.

उदाहरण

उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फ़ंक्शन (तर्कसंगत संख्याओं का संकेतक फ़ंक्शन) का प्रतिबंध $\mathbb {Q}$) को $\mathbb {Q}$ निरंतर है, हालाँकि डिरिचलेट फ़ंक्शन कहीं भी निरंतर कार्य नहीं करता है $\mathbb {R} .$

ब्लमबर्ग स्पेस

अधिक सामान्यतः, ब्लमबर्ग स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है $X$ जिसके लिए कोई भी कार्य $f:X\to \mathbb {R}$ के सघन उपसमुच्चय पर निरंतर प्रतिबंध को स्वीकार करता है $X.$ इसलिए ब्लमबर्ग प्रमेय इस बात पर जोर देता है $\mathbb {R}$ (अपनी सामान्य टोपोलॉजी से सुसज्जित) एक ब्लमबर्ग स्थान है।

अगर $X$ तो यह एक मीट्रिक स्थान है $X$ ब्लमबर्ग स्थान है यदि और केवल यदि यह बेयर स्थान है।

प्रेरणा और चर्चा

किसी भी सतत फलन का उसके डोमेन के किसी उपसमुच्चय (सघन या अन्यथा) पर प्रतिबंध हमेशा सतत होता है, इसलिए ब्लमबर्ग प्रमेय का निष्कर्ष केवल उन फलनों के लिए दिलचस्प है जो सतत नहीं हैं। ऐसे फ़ंक्शन को देखते हुए जो निरंतर नहीं है, आमतौर पर यह पता लगाना आश्चर्यजनक नहीं है कि कुछ उपसमुच्चय पर इसका प्रतिबंध एक बार फिर निरंतर नहीं है, और इसलिए केवल वे प्रतिबंध जो निरंतर हैं (संभावित रूप से) दिलचस्प हैं। हालाँकि, ऐसे प्रतिबंध सभी दिलचस्प नहीं हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी फ़ंक्शन (यहां तक ​​​​कि डिरिचलेट फ़ंक्शन जितना दिलचस्प) का किसी भी उपसमुच्चय पर प्रतिबंध, जिस पर वह स्थिर है, निरंतर होगा, हालांकि यह तथ्य स्थिर कार्यों के समान ही अरुचिकर है। वैसे ही अरुचिकर, का प्रतिबंध any किसी एकल बिंदु या किसी परिमित उपसमुच्चय तक कार्य (निरंतर या नहीं)। $\mathbb {R}$ (या अधिक सामान्यतः, किसी भी पृथक स्थान के लिए $\mathbb {R} ,$ जैसे पूर्णांक $\mathbb {Z}$) निरंतर रहेगा.

एक मामला जो काफी अधिक दिलचस्प है वह एक गैर-निरंतर कार्य का है $f$ जिसका कुछ सघन सेट पर प्रतिबंध है $D$ (इसके डोमेन का) is निरंतर। सतत् के बारे में एक महत्वपूर्ण तथ्य $\mathbb {R}$सघन उपसमुच्चय पर परिभाषित -मूल्यवान फलन सभी के लिए एक सतत विस्तार है $\mathbb {R} ,$ यदि कोई मौजूद है, तो अद्वितीय होगा (घने उपसमुच्चय पर परिभाषित निरंतर कार्य मौजूद हैं $\mathbb {R} ,$ जैसे कि $f(x)=1/x,$ जिसे निरंतर सभी तक विस्तारित नहीं किया जा सकता $\mathbb {R}$).

उदाहरण के लिए, थॉमे का कार्य निरंतर नहीं है (वास्तव में, यह असंतत है)। every परिमेय संख्या) हालांकि यह सघन उपसमुच्चय तक सीमित है $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ अपरिमेय संख्याओं की संख्या सतत है. इसी प्रकार, प्रत्येक योगात्मक कार्य $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ वह रेखीय मानचित्र नहीं है (अर्थात स्वरूप का नहीं)। $x\mapsto cx$ कुछ स्थिरांक के लिए $c\in \mathbb {R}$) एक कहीं भी निरंतर कार्य नहीं है जिसका प्रतिबंध है $\mathbb {Q}$ निरंतर है (ऐसे कार्य कॉची के कार्यात्मक समीकरण के गैर-तुच्छ समाधान हैं)। इससे सवाल उठता है: क्या ऐसा सघन उपसमुच्चय हमेशा पाया जा सकता है? ब्लमबर्ग प्रमेय इस प्रश्न का सकारात्मक उत्तर देता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक कार्य $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ − चाहे यह कितना भी पैथोलॉजिकल (गणित)#अच्छे व्यवहार वाला क्यों न हो − इसे कुछ सघन उपसमुच्चय तक सीमित किया जा सकता है, जिस पर यह निरंतर बना रहता है। अलग ढंग से कहा जाए तो, ब्लमबर्ग प्रमेय से पता चलता है कि कोई फ़ंक्शन मौजूद नहीं है $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ यह इतना खराब व्यवहार किया गया है (निरंतरता के संबंध में) कि सभी संभावित सघन उपसमूहों पर इसके सभी प्रतिबंध असंतत हैं।

प्रमेय का निष्कर्ष अधिक दिलचस्प हो जाता है क्योंकि फ़ंक्शन अधिक पैथोलॉजिकल (गणित) या खराब व्यवहार वाला हो जाता है। उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने की कल्पना करें $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ प्रत्येक मान को चुनकर $f(x)$ पूरी तरह से यादृच्छिक रूप से (इसलिए इसका ग्राफ विमान के चारों ओर यादृच्छिक रूप से बिखरे हुए अनंत बिंदुओं के रूप में दिखाई देगा $\mathbb {R} ^{2}$); इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपने इसकी कल्पना कैसे की, ब्लमबर्ग प्रमेय गारंटी देता है कि यह फ़ंक्शन भी मौजूद है some सघन उपसमुच्चय जिस पर इसका प्रतिबंध निरंतर रहता है।

यह भी देखें

• Closed graph theorem (functional analysis)
• Densely defined operator
• Hahn–Banach theorem – Theorem on extension of bounded linear functionals
• Tietze extension theorem
• Whitney extension theorem – Partial converse of Taylor's theorem

संदर्भ

• Blumberg, Henry (1922). "New properties of all real functions" (PDF). Proceedings of the National Academy of Sciences. 8 (1): 283-288.
• Blumberg, Henry (1922). "New properties of all real functions". Transactions of the American Mathematical Society. 24: 113-128.
• Bradford, J. C.; Goffman, Casper (1960). "Metric spaces in which Blumberg's theorem holds". Proceedings of the American Mathematical Society. 11: 667-670.
• White, H. E. (1974). "Topological spaces in which Blumberg's theorem holds". Proceedings of the American Mathematical Society. 44: 454-462.
• https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Blumberg_theorem