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भौतिक विज्ञान में, बेथे एन्सैट्ज़ कुछ एक-आयामी क्वांटम बहुत आकार के सटीक तरंग फलन को खोजने के लिए एक असार विधि है। 1931 में हंस बेथे द्वारा इसका आविष्कार किया गया था <ref name="1931_Bethe_ZP_71">{{cite journal |last1=Bethe |first1=H. |title=धातुओं के सिद्धांत पर। I. रैखिक परमाणु श्रृंखला के आइगेनवैल्यू और ईजेनफंक्शन|journal=Zeitschrift für Physik |date=March 1931 |volume=71 |issue=3–4 |pages=205–226 |doi=10.1007/BF01341708|s2cid=124225487 }}</ref> एक आयामी प्रतिचुंबकीय हाइजेनबर्ग मॉडल हैमिल्टनियन के सटीक आईगेन वैल्यू और आईगेनवेक्टर खोजने के लिए प्रयोग की गयी विधि है, तब से इस विधि को एक आयाम में अन्य मॉडलों के लिए बढ़ा दिया गया है: (अनिसोट्रोपिक) हाइजेनबर्ग श्रृंखला (XXZ मॉडल), लिब-लिनिगर इंटरेक्टिंग बोस गैस, हबर्ड मॉडल,[[ मॉडल कोंडो ]], [[एंडरसन अशुद्धता मॉडल]], रिचर्डसन मॉडल आदि। .

=== चर्चा ===
बहु-निकाय क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे में, बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल की तुलना मुक्त फर्मियन मॉडल से की जा सकती है। यह कहा जा सकता है कि एक मुक्त मॉडल की गतिकी एक-पिंड को कम करने योग्य है: फ़र्मियन् (बोसॉन) के लिए कई-आकार के तरंग फलन एक-आकार के तरंग फलन का एंटी-सममितीकृत (सममित) उत्पाद है। बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल मुक्त नहीं हैं: दो-निकाय क्षेत्र में एक गैर-साधारण बिखरने वाला मैट्रिक्स है, जो सामान्य रूप से संवेग पर निर्भर करता है।

दूसरी ओर, बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडलों की गतिशीलता दो-निकाय है: कई-निकाय में बिखरने वाला मैट्रिक्स दो-शरीर बिखरने वाले मैट्रिसेस का एक उत्पाद है। कई-निकाय टकराव दो-शरीर टक्करों के अनुक्रम के रूप में होते हैं और कई-शरीर तरंग फलन को ऐसे रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें दो-शरीर तरंग कार्यों से केवल तत्व के रूप में  होते हैं। बहु-निकाय बिखरने वाला मैट्रिक्स जोड़ीदार बिखरने वाले मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है।

कई तरंग फलन-b के लिए बेथे एनात्ज़ का सामान्य रूप इस प्रकार है 

:<math>
\Psi_M(j_1, \cdots, j_M) = \prod_{M \geq a > b \geq 1} \text{sgn}(j_a - j_b) \sum_{P \in P_M} (-1)^{[P]} e^{i \sum_{a=1}^M k_{P_a} j_a + \frac{i}{2}\sum_{M \geq a > b \geq 1} \mathrm{sgn}(j_a - j_b) \phi(k_{P_a}, k_{P_b})}
</math> जिसमें <math>M</math> कणों की संख्या है, <math>j_a, a=1, \cdots M</math> उनकी स्थिति, <math>P_M</math> पूर्णांकों के सभी क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है <math>1, \cdots, M</math>, <math>k_a</math> की (अर्ध-) गति है {M} पूर्णांकों के सभी क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है k अर्ध गति है a वें कण,है जो <math>\phi</math> प्रकीर्णन चरण बिखराव कला स्थानांतरण फलन है और sgn साइन फलन है। यह रूप सार्वभौमिक है (कम से कम गैर- स्थिर निकाय के लिए), गति और बिखरने वाले कार्यों के मॉडल-निर्भर होने के साथ 

यांग-बैक्सटर समीकरण निर्माण की निरंतरता की गारंटी देता है। पाउली बहिष्करण सिद्धांत बेथे एनात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल के लिए मान्य है, यहां तक कि परस्पर क्रिया करने वाले बोसोन के मॉडल के लिए भी यह मान्य है।

निचली अवस्था एक फर्मी क्षेत्र है। आवधिक सीमा की स्थिति बेथे एनात्ज़ समीकरणों की ओर ले जाती है। लघुगणकीय रूप में यांग क्रिया द्वारा बेथ एनात्ज़ समीकरण उत्पन्न किए जा सकते हैं। बेथ तरंग फलन  के मानदंड का वर्ग यांग एक्टि के दूसरे व्युत्पन्न के मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है।<ref>{{Cite journal|last=Korepin|first=Vladimir E.|author-link=Vladimir Korepin|date=1982|title=बेथे तरंग कार्यों के मानदंडों की गणना|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103921777|journal=Communications in Mathematical Physics|language=en|volume=86|issue=3|pages=391–418|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF01212176|bibcode=1982CMaPh..86..391K|s2cid=122250890}}</ref>बीजगणितीय बेथे एनात्ज़ <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=kaZ0pKIHhxAC&q=quantum+inverse+scattering+method|title=क्वांटम व्युत्क्रम बिखरने की विधि और सहसंबंध कार्य|last1=Korepin|first1=V. E.|last2=Bogoliubov|first2=N. M.|last3=Izergin|first3=A. G.|date=1997-03-06|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521586467|language=en}}</ref>ने [कौन?] बताते हुए आवश्यक प्रगति की ओर अग्रसर किया। वह

{{Quote|text=क्वांटम व्युत्क्रम बिखरने की विधि एक अच्छी तरह से विकसित विधि ने गैर-रैखिक विकास समीकरणों की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति दी है। यह बेथे एनात्ज़ की बीजगणितीय प्रकृति की व्याख्या करता है।|sign=|source=}}

उन्होंने तथाकथित s-d मॉडल (1980 में पी.बी. विगमैन<ref>{{cite journal|title=Exact solution of s-d exchange model at T = 0|author-first1=P.B.|author-last1=Wiegmann|author-link1=Paul Wiegmann|journal=JETP Letters|volume=31|issue=7|page=364|year=1980|url=http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1353/article_20434.pdf}}</ref> द्वारा और स्वतंत्र रूप से एन.आंद्रेई द्वारा,<ref name="Andrei1980">{{cite journal|last1=Andrei|first1=N.|title=कोंडो हैमिल्टनियन का विकर्णीकरण|journal=Physical Review Letters|volume=45|issue=5|year=1980|pages=379–382|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.45.379|bibcode=1980PhRvL..45..379A}}</ref>1980 में भी) और एंडरसन मॉडल (1981 में पी.बी. विगमैन <ref name="Wiegmann1980">{{cite journal|last1=Wiegmann|first1=P.B.|title=एंडरसन मॉडल के सटीक समाधान की ओर|journal=Physics Letters A|volume=80|issue=2–3|year=1980|pages=163–167|issn=0375-9601|doi=10.1016/0375-9601(80)90212-1|bibcode=1980PhLA...80..163W}}</ref>द्वारा, और एन द्वारा) के सटीक समाधान 1981 में कावाकामी और ए. ओकीजी <ref name="KawakamiOkiji1981">{{cite journal|last1=Kawakami|first1=Norio|last2=Okiji|first2=Ayao|title=सममित एंडरसन मॉडल के लिए जमीनी-राज्य ऊर्जा की सटीक अभिव्यक्ति|journal=Physics Letters A|volume=86|issue=9|year=1981|pages=483–486|issn=0375-9601|doi=10.1016/0375-9601(81)90663-0|bibcode=1981PhLA...86..483K}}</ref> भी बेथे एन्सैट्ज पर आधारित हैं। इन दो मॉडलों के बहु-चैनल सामान्यीकरण उपस्थित हैं जो सटीक समाधान के लिए उत्तरदायी हैं (एन. आंद्रेई और सी. डेस्ट्री द्वारा<ref name="AndreiDestri1984">{{cite journal|last1=Andrei|first1=N.|last2=Destri|first2=C.|title=मल्टीचैनल कोंडो समस्या का समाधान|journal=Physical Review Letters|volume=52|issue=5|year=1984|pages=364–367|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.52.364|bibcode=1984PhRvL..52..364A}}</ref> और सी.जे. बोलेच और एन. आंद्रेई द्वारा<ref name="BolechAndrei2002">{{cite journal|last1=Bolech|first1=C. J.|last2=Andrei|first2=N.|title=Solution of the Two-Channel Anderson Impurity Model: Implications for the Heavy Fermion UBe13|journal=Physical Review Letters|volume=88|issue=23|year=2002|page=237206|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.88.237206|pmid=12059396|arxiv=cond-mat/0204392|bibcode=2002PhRvL..88w7206B|s2cid=15180985}}</ref>)हाल ही में  बेथ एनात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले कई मॉडलों को प्रायोगिक तौर पर महसूस किया गया। इन प्रयोगों के सैद्धांतिक विवरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका जीन-सेबास्टियन कॉक्स और एलेक्सी त्वेलिक द्वारा निभाई गई थी।

=== शब्दावली ===
इसी तरह के और भी तरीके हैं जो बेथ एनात्ज़ के नाम से आते हैं
* बीजीय बेथे एनात्ज़।<ref>{{cite web |last1=Faddeev |first1=Ludwig |title=कैसे बीजीय Bethe Ansatz पूर्णांक मॉडल के लिए काम करता है|url=https://arxiv.org/pdf/hep-th/9211111.pdf |website=arXiv |access-date=30 March 2023}}</ref> क्वांटम व्युत्क्रम प्रकीर्णन विधि बीजगणितीय बेथ एनात्ज़ द्वारा समाधान की विधि है, और दोनों व्यावहारिक रूप से पर्यायवाची हैं।
* विश्लेषणात्मक बेथे एनात्ज़
* बेथे अंसत्ज़ का समन्वय करें {{harvs|last=Bethe|first=Hans|authorlink=Hans Bethe|year=1931}}
* कार्यात्मक बेथे दृष्टिकोण <ref>{{cite journal |last1=Sklyanin |first1=E. K. |title=क्वांटम टोडा श्रृंखला|journal=Non-Linear Equations in Classical and Quantum Field Theory |date=1985 |volume=226 |pages=196–233 |doi=10.1007/3-540-15213-X_80}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Sklyanin |first1=E.K. |title=कार्यात्मक बेथे दृष्टिकोण|journal=Integrable and Superintegrable Systems |date=October 1990 |pages=8–33 |doi=10.1142/9789812797179_0002}}</ref>
* नेस्टेड बेथे दृष्टिकोण
* ऊष्मागतिक बेथे दृष्टिकोण {{harvs|last1=Yang|last2=Yang|first1=C.N.|first2=C.P.|year=1969}}

=== उदाहरण ===

=== हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक चेन ===
हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक चेन को हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है (आवधिक सीमा स्थितियों को मानते हुए)

:<math>
H = J \sum_{j=1}^N \mathbf{S}_{j} \cdot \mathbf{S}_{j+1}, \qquad \mathbf{S}_{j+N} \equiv \mathbf{S}_j.
</math>
यह मॉडल (समन्वय) बेथ एनात्ज़ का उपयोग करके हल करने योग्य है। स्कैटरिंग फेज शिफ्ट फंक्शन है <math>\phi(k_a(\lambda_a), k_b(\lambda_b)) = \theta_2 (\lambda_a - \lambda_b)</math>, साथ <math>\theta_n (\lambda) \equiv 2 \arctan \frac{2\lambda}{n}</math> जिसमें संवेग को सुविधाजनक रूप से पुनर्मूल्यांकन किया गया है <math>k(\lambda) = \pi - 2 \arctan 2\lambda</math> तेज़ी के संदर्भ में <math>\lambda</math>. (यहाँ, आवधिक) सीमा की स्थितियाँ बेथ समीकरणों को लागू करती हैं

:<math>
\left[ \frac{ \lambda_a + i/2}{\lambda_a - i/2} \right]^N = \prod_{b \neq a}^M
\frac{\lambda_a - \lambda_b + i}{\lambda_a - \lambda_b - i}, \qquad a = 1, ..., M
</math>
या अधिक आसानी से लघुगणकीय रूप में

:<math>
\theta_1(\lambda_a) - \frac{1}{N} \sum_{b = 1}^M \theta_2(\lambda_a - \lambda_b) = 2\pi \frac{I_a}{N}
</math>
जहां क्वांटम नंबर <math>I_j</math> के लिए विशिष्ट अर्ध-विषम पूर्णांक हैं <math>N - M</math> सम, के लिए पूर्णांक <math>N - M</math> विषम (साथ <math>I_j</math> परिभाषित मोड<math>(N)</math>).

== प्रयोज्यता ==
बेथ एनात्ज़ का उपयोग करके निम्नलिखित प्रणालियों को हल किया जा सकता है
* एंडरसन अशुद्धता मॉडल
* [[गौडिन मॉडल]]
* XXX और XXZ [[हाइजेनबर्ग स्पिन श्रृंखला]] मनमाना स्पिन के लिए <math>s</math>
* हबर्ड मॉडल
* कोंडो मॉडल
* लीब-लिनिगर मॉडल
* [[ छह-शीर्ष मॉडल ]] और [[आठ-शीर्ष मॉडल]] (हाइजेनबर्ग स्पिन चेन के माध्यम से)

=== कालक्रम ===
* 1928: [[वर्नर हाइजेनबर्ग]] ने [[क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल]] प्रकाशित किया।<ref>{{cite journal |last1=Heisenberg |first1=W. |title=फेरोमैग्नेटिज्म के सिद्धांत पर|journal=Zeitschrift für Physik |date=September 1928 |volume=49 |issue=9–10 |pages=619–636 |doi=10.1007/BF01328601|bibcode=1928ZPhy...49..619H |s2cid=122524239 }}</ref>
* 1930: [[फेलिक्स बलोच]] ने एक अतिसरलीकृत एनात्ज़ का प्रस्ताव रखा जो हाइजेनबर्ग श्रृंखला के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधानों की संख्या को गलत तरीके से गिनता है।<ref>{{cite journal |last1=Bloch |first1=F. |title=फेरोमैग्नेटिज्म के सिद्धांत पर|journal=Zeitschrift für Physik |date=March 1930 |volume=61 |issue=3–4 |pages=206–219 |doi=10.1007/BF01339661|bibcode=1930ZPhy...61..206B |s2cid=120459635 }}</ref>
* 1931: हंस बेथे ने सही एनात्ज़ का प्रस्ताव दिया और ध्यान से दिखाया कि यह सही संख्या में आईगेन फलन का उत्पादन करता है।<ref name="1931_Bethe_ZP_71"/> 1938: {{Interlanguage link|लेमेक हलथिन|de}}हाइजेनबर्ग मॉडल की सटीक निचली अवस्था में ऊर्जा प्राप्त करने का प्रस्ताव दिया।<ref>{{cite journal |last1=Hulthén |first1=Lamek |title=Über das Austauschproblem eines Kristalles |journal=Arkiv Mat. Astron. Fysik |date=1938 |volume=26A |page=1}}</ref>
* 1958: [[रेमंड ली ओरबैक]] ने हाइजेनबर्ग मॉडल को अनिसोट्रोपिक पारस्परिक क्रिया के साथ हल करने के लिए बेथ एन्सैट्ज का उपयोग किया।<ref>{{cite journal |last1=Orbach |first1=R. |title=अनिसोट्रोपिक कपलिंग के साथ लीनियर एंटीफेरोमैग्नेटिक चेन|journal=Physical Review |date=15 October 1958 |volume=112 |issue=2 |pages=309–316 |doi=10.1103/PhysRev.112.309|bibcode=1958PhRv..112..309O }}</ref>
* 1962: जे. डेस क्लिज़ॉक्स और जे. जे. पियर्सन ने हाइजेनबर्ग प्रति चुम्बक(स्पिनन फैलाव संबंध) का सही स्पेक्ट्रम प्राप्त किया,<ref>{{cite journal |last1=des Cloizeaux |first1=Jacques |last2=Pearson |first2=J. J. |title=एंटीफेरोमैग्नेटिक लीनियर चेन का स्पिन-वेव स्पेक्ट्रम|journal=Physical Review |date=1 December 1962 |volume=128 |issue=5 |pages=2131–2135 |doi=10.1103/PhysRev.128.2131|bibcode=1962PhRv..128.2131D }}</ref>  यह दर्शाता है कि यह एंडरसन की स्पिन-वेव थ्योरी की भविष्यवाणियों से अलग है<ref>{{cite journal |last1=Anderson |first1=P. W. |title=एंटीफेरोमैग्नेटिक ग्राउंड स्टेट का एक अनुमानित क्वांटम सिद्धांत|journal=Physical Review |date=1 June 1952 |volume=86 |issue=5 |pages=694–701 |doi=10.1103/PhysRev.86.694|bibcode=1952PhRv...86..694A }}</ref>।
* 1963: इलियट एच. लिब और [[ वर्नर लिंगर ]]ने 1d δ-फंक्शन इंटरेक्टिंग बोस गैस का सटीक समाधान प्रदान किया<ref>{{cite journal |last1=Lieb |first1=Elliott H. |last2=Liniger |first2=Werner |title=परस्पर क्रिया करने वाली बोस गैस का सटीक विश्लेषण। I. सामान्य समाधान और ग्राउंड स्टेट|journal=Physical Review |date=15 May 1963 |volume=130 |issue=4 |pages=1605–1616 |doi=10.1103/PhysRev.130.1605|bibcode=1963PhRv..130.1605L }}</ref> (अब [[लिब-लाइनर मॉडल]] के रूप में जाना जाता है)। यह लिब स्पेक्ट्रम का अध्ययन करता है और दो बुनियादी प्रकार के उत्तेजनाओं को परिभाषित करता है।<ref>{{cite journal |last1=Lieb |first1=Elliott H. |title=परस्पर क्रिया करने वाली बोस गैस का सटीक विश्लेषण। द्वितीय। उत्तेजना स्पेक्ट्रम|journal=Physical Review |date=15 May 1963 |volume=130 |issue=4 |pages=1616–1624 |doi=10.1103/PhysRev.130.1616|bibcode=1963PhRv..130.1616L }}</ref>
* 1964: रॉबर्ट बी. ग्रिफिथ्स ने शून्य तापमान पर हाइजेनबर्ग मॉडल का चुंबकीयकरण वक्र प्राप्त किया।<ref>{{cite journal |last1=Griffiths |first1=Robert B. |title=एंटीफेरोमैग्नेटिक हाइजेनबर्ग रैखिक श्रृंखला के लिए शून्य तापमान पर चुंबकत्व वक्र|journal=Physical Review |date=3 February 1964 |volume=133 |issue=3A |pages=A768–A775 |doi=10.1103/PhysRev.133.A768|bibcode=1964PhRv..133..768G }}</ref>
* 1966: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग और सी.पी. यांग दृढ़ता से साबित करते हैं कि हाइजेनबर्ग श्रृंखला की निचली अवस्था बेथे एनात्ज़ द्वारा दी गई है।<ref>{{cite journal |last1=Yang |first1=C. N. |last2=Yang |first2=C. P. |title=अनिसोट्रोपिक स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन की एक-आयामी श्रृंखला। I. एक परिमित प्रणाली में ग्राउंड स्टेट के लिए बेथे की परिकल्पना का प्रमाण|journal=Physical Review |date=7 October 1966 |volume=150 |issue=1 |pages=321–327 |doi=10.1103/PhysRev.150.321|bibcode=1966PhRv..150..321Y }}</ref> वे गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन करते हैं<ref>{{cite journal |last1=Yang |first1=C. N. |last2=Yang |first2=C. P. |title=अनिसोट्रोपिक स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन की एक-आयामी श्रृंखला। द्वितीय। एक अनंत प्रणाली के लिए भू-राज्य ऊर्जा प्रति जाली साइट के गुण|journal=Physical Review |date=7 October 1966 |volume=150 |issue=1 |pages=327–339 |doi=10.1103/PhysRev.150.327|bibcode=1966PhRv..150..327Y }}</ref> और।<ref>{{cite journal |last1=Yang |first1=C. N. |last2=Yang |first2=C. P. |title=अनिसोट्रोपिक स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन की एक-आयामी श्रृंखला। तृतीय। अनुप्रयोग|journal=Physical Review |date=4 November 1966 |volume=151 |issue=1 |pages=258–264 |doi=10.1103/PhysRev.151.258|bibcode=1966PhRv..151..258Y }}</ref>
* 1967: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग ने लिब और लिनिगर के δ-फंक्शन इंटरेक्टिंग बोस गैस के समाधान को तरंग फलन के क्रमपरिवर्तन समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया, जिससे नेस्टेड बेथे एन्सैट्ज को जन्म दिया।<ref>{{cite journal |last1=Yang |first1=C. N. |title=प्रतिकारक डेल्टा-फंक्शन इंटरेक्शन के साथ एक आयाम में कई-शरीर की समस्या के लिए कुछ सटीक परिणाम|journal=Physical Review Letters |date=4 December 1967 |volume=19 |issue=23 |pages=1312–1315 |doi=10.1103/PhysRevLett.19.1312|bibcode=1967PhRvL..19.1312Y |url=http://edoc.hu-berlin.de/18452/20513 }}</ref>
* 1968: इलियट एच. लीब और एफ.वाई. वू ने 1डी हबर्ड मॉडल को हल किया।<ref>{{cite journal |last1=Lieb |first1=Elliott H. |last2=Wu |first2=F. Y. |title=शॉर्ट-रेंज, वन-बैंड मॉडल इन वन डायमेंशन के सटीक समाधान में मॉट ट्रांज़िशन की अनुपस्थिति|journal=Physical Review Letters |date=17 June 1968 |volume=20 |issue=25 |pages=1445–1448 |doi=10.1103/PhysRevLett.20.1445|bibcode=1968PhRvL..20.1445L }}</ref>
* 1969: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग और सी.पी. जो लीब-लिनिगर मॉडल के ऊष्मप्रवैगिकी को प्राप्त करते हैं,<ref>{{cite journal |last1=Yang |first1=C. N. |last2=Yang |first2=C. P. |title=Thermodynamics of a One‐Dimensional System of Bosons with Repulsive Delta‐Function Interaction |journal=Journal of Mathematical Physics |date=July 1969 |volume=10 |issue=7 |pages=1115–1122 |doi=10.1063/1.1664947|bibcode=1969JMP....10.1115Y }}</ref> जिनका कार्य उष्मागतिक बेथे ansatz (TBA) का आधार प्रदान करना है।

===संदर्भ===
{{reflist}}


==बाहरी संबंध==
*[http://www.phys.uri.edu/gerhard/introbethe.html Introduction to the बेथ एनात्ज़]
<br />

{{DEFAULTSORT:Bethe Ansatz}}

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[[Category:संघनित पदार्थ भौतिकी|Bethe Ansatz]]