View source for गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत

{{short description|Superconductivity theory}}
{{distinguish|लैंडौ सिद्धांत}}

भौतिकी में, '''गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत''' जिसे अधिकांशतः लैंडौ-गिन्ज़बर्ग सिद्धांत कहा जाता है, जिसका नाम [[विटाली गिन्ज़बर्ग]] और [[लेव लैंडौ]] के नाम पर रखा गया है, गणितीय भौतिक सिद्धांत है जिसका उपयोग [[ अतिचालकता |अतिचालकता]] का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार प्रारंभिक रूप से इसे फेनोमेनोलॉजिकल प्रारूप के रूप में पोस्ट किया गया था जो कि उनके सूक्ष्म गुणों की जांच किए बिना [[टाइप-I सुपरकंडक्टर|टाइप-I प्रकार के उपचालकों]] का वर्णन कर सकता है। इस प्रकार जीएल-प्रकार उपचालक प्रसिद्ध [[वाईबीसीओ]] है, और सामान्यतः सभी कप्रेट्स के लिए उपयोग करते हैं।<ref>[https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-3-319-48933-9_50.pdf Wesche, Chapter 50: High Temperature Superconductors, Springer 2017, at p. 1233, contained in Casap, Kapper Handbook]</ref> इसके पश्चात गिंज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत का संस्करण लेव गोरकोव द्वारा बारडीन-कूपर-श्रीफ़र सूक्ष्म सिद्धांत से प्राप्त किया गया था,<ref name=":0">{{Cite book|last1=Tsuei|first1=C. C.|url=http://www.physics.umd.edu/courses/Phys798S/anlage/Phys798SAnlageSpring06/Kirtley%20Tsuei%20RMP.pdf|title=कप्रेट सुपरकंडक्टर्स में युग्मन समरूपता|last2=Kirtley|first2=J. R.|publisher=IBM Thomas J. Watson Research Center|pages=970}}</ref> इस प्रकार दिखा रहा है कि यह सूक्ष्म सिद्धांत की कुछ सीमा में भी प्रकट होता है और इसके सभी मापदंडों की सूक्ष्म व्याख्या करता है। सिद्धांत को सामान्य ज्यामितीय सेटिंग भी दी जा सकती है, इसे रीमैनियन ज्यामिति के संदर्भ में रखा जा सकता है, जहां कई स्थितियों में सटीक समाधान दिए जा सकते हैं। यह सामान्य सेटिंग तब [[ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत |क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] और [[ स्ट्रिंग सिद्धांत |स्ट्रिंग सिद्धांत]] तक फैली हुई है, फिर से इसकी विलेयता के कारण, और अन्य समान प्रणालियों के साथ इसका घनिष्ठ संबंध है।

== परिचय ==
लेव लांडौ के दूसरे क्रम के [[चरण संक्रमण]] के पहले से स्थापित सिद्धांत के आधार पर, विटाली गिन्ज़बर्ग और लैंडौ ने तर्क दिया कि अतिचालक संक्रमण के पास उपचालक की [[थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा|ऊष्मागतिकी मुक्त ऊर्जा]], एफ, [[जटिल संख्या]] [[आदेश पैरामीटर]] क्षेत्र के संदर्भ में  <math>\psi(r) = |\psi(r)|e^{i\phi(r)}</math> द्वारा व्यक्त की जा सकती है, जहाँ इस मात्रा <math>|\psi(r)|^2</math> में क्वांटम यांत्रिकी तरंग फलन की तरह, स्थानीय घनत्व का उपाय है<ref name=":0" />और <math>\psi(r)</math> उपचालक राज्य में चरण संक्रमण के नीचे अशून्य है, चूंकि मूल पेपर में इस पैरामीटर की कोई प्रत्यक्ष व्याख्या नहीं दी गई थी। इस कम मान वाले <math>|\psi|</math> और इसके प्रवणता की लघुता, ऊष्मागतिकी मुक्त ऊर्जा का [[क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी)]] का रूप है।<math display="block"> F = F_n + \alpha |\psi|^2 + \frac{\beta}{2} |\psi|^4 + \frac{1}{2m^*} \left| \left(-i\hbar\nabla - e^*\mathbf{A} \right) \psi \right|^2 + \frac{|\mathbf{B}|^2}{2\mu_0} </math>


जहां F<sub>n</sub>सामान्य चरण में मुक्त ऊर्जा है, प्रारंभिक तर्क में α और β को फेनोमेनोलॉजिकल पैरामीटर के रूप में माना जाता था, इस प्रकार <math>m^*</math> [[प्रभावी द्रव्यमान (ठोस अवस्था भौतिकी)]] है, <math>e^*</math> प्रभावी आवेश है (सामान्यतः 2e, जहां ई इलेक्ट्रॉन का आवेश है), <math>\mathbf{A}</math> [[चुंबकीय वेक्टर क्षमता]] है, और <math>\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}</math> चुंबकीय क्षेत्र है। ऑर्डर पैरामीटर और वेक्टर क्षमता में भिन्नता के संबंध में मुक्त ऊर्जा को कम करके, गिंज़बर्ग-लैंडौ समीकरणों पर पहुंचता है।<math display="block"> \alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi + \frac{1}{2m^*} \left(-i\hbar\nabla - e^*\mathbf{A} \right)^2 \psi = 0 </math><math display="block"> \nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\mathbf{j} \;\; ; \;\; \mathbf{j} = \frac{e^*}{m^*} \operatorname{Re} \left\{ \psi^* \left(-i\hbar\nabla - e^*\mathbf{A} \right) \psi \right\} </math>


जहाँ j [[अपव्यय]]-रहित [[विद्युत प्रवाह घनत्व]] और ''Re'' ''वास्तविक भाग'' को दर्शाता है। पहला समीकरण - जो समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के लिए कुछ समानताएं रखता है, लेकिन अरैखिक शब्द के कारण मुख्य रूप से भिन्न है - ऑर्डर पैरामीटर, ''ψ'' को निर्धारित करता है। इसका दूसरा समीकरण तब उपचालक धारा प्रदान करता है।

== सरल व्याख्या ==
एक सजातीय उपचालक पर विचार करें जहां कोई उपचालक धारा नहीं है और ψ के लिए समीकरण सरल करता है:
<math display="block"> \alpha \psi + \beta |\psi|^2 \psi = 0. </math>
इस समीकरण का तुच्छ समाधान {{math|1=''ψ'' = 0}} है: यह सामान्य संवाहक अवस्था से मेल खाता है, जो कि अतिचालक संक्रमण तापमान से ऊपर के तापमान {{math|''T'' > ''T''<sub>''c''</sub>}} के लिए है।

उपचालक ट्रांज़िशन तापमान के नीचे, उपरोक्त समीकरण में गैर-तुच्छ समाधान होने की उम्मीद है (अर्ताथ {{math|1=''ψ'' ≠ 0}}). इस धारणा के तहत उपरोक्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:<math display="block"> |\psi|^2 = - \frac\alpha \beta.</math>


जब इस समीकरण का दाहिना हाथ धनात्मक होता है, तो इसके लिए अशून्य समाधान होता है {{math|1=''ψ''}} (याद रखें कि सम्मिश्र संख्या का परिमाण धनात्मक या शून्य हो सकता है)। यह निम्नलिखित तापमान निर्भरता मानकर {{math|1=''α''}}:{{math|1=''α''(''T'') = ''α''<sub>0</sub> (''T'' − ''T''<sub>''c''</sub>)}} साथ {{math|''α''<sub>0</sub>/''β'' > 0}} के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

* अतिचालक संक्रमण तापमान के ऊपर, T > T<sub>''c''</sub>,  {{math|1=''α''}}(टी) / {{math|1=''β''}} धनात्मक है और उपरोक्त समीकरण का दाहिना हाथ ऋणात्मक है। सम्मिश्र संख्या का परिमाण गैर-ऋणात्मक संख्या होना चाहिए, इसलिए केवल {{math|1=''ψ'' = 0}} गिन्ज़बर्ग-लैंडौ समीकरण को हल करता है।
*उपचालक संक्रमण तापमान के नीचे, टी <टी<sub>''c''</sub>, उपरोक्त समीकरण का दाहिना हाथ धनात्मक है और इसके लिए गैर-तुच्छ समाधान है {{math|1=''ψ''}}. आगे, <math display="block"> |\psi|^2 = - \frac{\alpha_0 (T - T_c)} \beta,</math><nowiki> वह है {{math|1=</nowiki>''ψ''} जैसे ही T, T<sub>''c''</sub> के निकट आता है } शून्य की ओर अग्रसर होता है नीचे की ओर से। ऐसा व्यवहार दूसरे क्रम के चरण संक्रमण के लिए विशिष्ट है।

गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत में सुपरकंडक्टिविटी में योगदान देने वाले इलेक्ट्रॉनों को [[superfluid]] बनाने का प्रस्ताव दिया गया था।<ref name=Ginzburg2004>{{cite journal |author=Ginzburg VL |title=On superconductivity and superfluidity (what I have and have not managed to do), as well as on the 'physical minimum' at the beginning of the 21 st century |journal=ChemPhysChem |volume=5 |issue=7 |date=July 2004 |pages=930–945 |pmid=15298379 |doi=10.1002/cphc.200400182 }}</ref> इस व्याख्या में, |{{math|1=''ψ''}}|<sup>2</sup> उन इलेक्ट्रॉनों के अंश को इंगित करता है जो सुपरफ्लुइड में संघनित हो गए हैं।<ref name=Ginzburg2004/>
== सुसंगतता लंबाई और प्रवेश गहराई ==
गिन्ज़बर्ग-लैंडौ समीकरणों ने उपचालक में दो नई विशिष्ट लंबाई की भविष्यवाणी की। पहली विशेषता लंबाई को [[सुपरकंडक्टिंग सुसंगतता लंबाई|उपचालक सुसंगतता लंबाई]], ξ कहा गया था। टी > टी के लिए<sub>c</sub>(सामान्य चरण), इसके द्वारा दिया जाता है

:<math> \xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{2 m^* |\alpha|}}. </math>
जबकि टी <टी के लिए<sub>c</sub>(उपचालक फेज), जहां यह अधिक प्रासंगिक है, इसके द्वारा दिया गया है

:<math> \xi = \sqrt{\frac{\hbar^2}{4 m^* |\alpha|}}. </math>
यह घातीय नियम निर्धारित करता है जिसके अनुसार उपचालक इलेक्ट्रॉनों के घनत्व के छोटे क्षोभ उनके संतुलन मूल्य ψ को पुनः प्राप्त करते हैं<sub>0</sub>. इस प्रकार इस सिद्धांत ने सभी उपचालक्स को दो लंबाई के पैमानों द्वारा चित्रित किया जाता हैं। दूसरा पैठ गहराई है, इस प्रकार λ। इसे पहले लंदन के भाइयों ने अपने [[लंदन सिद्धांत]] में प्रस्तुत किया था। गिन्ज़बर्ग-लैंडौ प्रारूप के मापदंडों के संदर्भ में व्यक्त किया गया है

:<math> \lambda = \sqrt{\frac{m^*}{\mu_0 e^{*2} \psi_0^2}} = \sqrt{\frac{m^*\beta}{\mu_0 e^{*2} |\alpha|}}, </math>
जहां ψ<sub>0</sub> विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में ऑर्डर पैरामीटर का संतुलन मूल्य है। इसकी गहराई मुख्य रूप से घातीय नियम पर निर्धारित करती है जिसके अनुसार उपचालक के अंदर बाहरी चुंबकीय क्षेत्र का क्षय होता है।

पैरामीटर κ पर मूल विचार लैंडौ से संबंधित है। अनुपात κ = λ/ξ को वर्तमान में गिन्ज़बर्ग-लैंडौ पैरामीटर के रूप में जाना जाता है। लैंडौ द्वारा यह प्रस्तावित किया गया है कि [[टाइप I सुपरकंडक्टर|टाइप I उपचालक]]्स वे हैं जिनमें 0 < κ < 1/{{radic|2}}, और [[टाइप II सुपरकंडक्टर|टाइप II उपचालक]] जिनके पास κ> 1/{{radic|2}} उपलब्ध हैं।

== गिंज़बर्ग-लैंडौ प्रारूप में उतार-चढ़ाव ==

टाइप II उपचालक्स के लिए सामान्य स्थिति से चरण संक्रमण दूसरे क्रम का है, उतार-चढ़ाव को ध्यान में रखते हुए, जैसा कि दासगुप्ता और हेल्परिन द्वारा प्रदर्शित किया गया है, जबकि टाइप I उपचालक्स के लिए यह पहले क्रम का है, जैसा कि हेल्परिन, लुबेंस्की और मा द्वारा प्रदर्शित किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Halperin |first1=B |last2=Lubensky |first2=T |last3=Ma |first3=S |date=11 February 1974 |title=सुपरकंडक्टर्स और स्मेक्टिक-ए लिक्विड क्रिस्टल में प्रथम-क्रम चरण संक्रमण|url=https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.32.292 |journal=Physical Review Letters |volume=32 |issue=6 |pages=292–295 |doi=10.1103/PhysRevLett.32.292 |bibcode=1974PhRvL..32..292H |access-date=April 7, 2022}}</ref>
== गिंज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत के आधार पर उपचालक्स का वर्गीकरण ==

मूल पेपर में गिन्ज़बर्ग और लैंडौ ने निर्भर करते हुए दो प्रकार के उपचालक्स के अस्तित्व का अवलोकन किया
सामान्य और उपचालक राज्यों के बीच इंटरफेस की ऊर्जा पर। लागू चुंबकीय क्षेत्र बहुत बड़ा होने पर [[मीस्नर राज्य]] टूट जाता है। यह ब्रेकडाउन कैसे होता है, इसके अनुसार उपचालक्स को दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है। टाइप I उपचालक्स में, सुपरकंडक्टिविटी अचानक नष्ट हो जाती है जब लागू क्षेत्र की ताकत महत्वपूर्ण मान H से ऊपर हो जाती है<sub>c</sub>. नमूने की ज्यामिति के आधार पर, कोई मध्यवर्ती स्थिति प्राप्त कर सकता है<ref>
{{cite book
 |author=Lev D. Landau
 |author2=Evgeny M. Lifschitz
 |title=Electrodynamics of Continuous Media
 |series=[[Course of Theoretical Physics]]
 |volume=8
 |publisher=Butterworth-Heinemann
 |location=Oxford
 |date=1984
 |isbn=978-0-7506-2634-7
}}</ref> बारोक पैटर्न से मिलकर<ref>
{{cite journal
 |author=David J. E. Callaway
 |date=1990
 |title=On the remarkable structure of the superconducting intermediate state
 |journal = [[Nuclear Physics B]]
 |volume=344 |pages=627–645
 |doi=10.1016/0550-3213(90)90672-Z
 |issue=3
|bibcode = 1990NuPhB.344..627C }}</ref> सामान्य सामग्री के क्षेत्रों में चुंबकीय क्षेत्र होता है जो उपचालक सामग्री के क्षेत्रों के साथ मिश्रित होता है जिसमें कोई क्षेत्र नहीं होता है। टाइप II उपचालक्स में, एप्लाइड फ़ील्ड को महत्वपूर्ण मान H<sub>''c''1</sub> से ऊपर उठाना मिश्रित अवस्था (तरंग अवस्था के रूप में भी जाना जाता है) की ओर जाता है जिसमें [[चुंबकीय प्रवाह]] की बढ़ती मात्रा सामग्री में प्रवेश करती है, लेकिन विद्युत प्रवाह के प्रवाह के लिए कोई प्रतिरोध तब तक नहीं रहता जब तक कि धारा बहुत बड़ी न हो। दूसरे महत्वपूर्ण क्षेत्र की ताकत पर एच<sub>''c''2</sub>, अतिचालकता नष्ट हो जाती है। मिश्रित अवस्था वास्तव में इलेक्ट्रॉनिक सुपरफ्लुइड में तरंगों के कारण होती है, जिसे कभी-कभी [[फ्लक्सन]] कहा जाता है क्योंकि इन तरंगों द्वारा किया गया प्रवाह [[ मात्रा |मात्रा]] होता है। [[नाइओबियम]] और [[कार्बन नैनोट्यूब]] को छोड़कर अधिकांश शुद्ध [[रासायनिक तत्व]] उपचालक्स टाइप I हैं, जबकि लगभग सभी अशुद्ध और यौगिक उपचालक्स टाइप II हैं।

गिंज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत से सबसे महत्वपूर्ण खोज 1957 में [[एलेक्सी अलेक्सेयेविच एवरीकोशोव]] द्वारा की गई थी। उन्होंने उपचालक मिश्र धातुओं और पतली फिल्मों पर प्रयोगों की व्याख्या करने के लिए गिंज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत का उपयोग किया था। उन्होंने पाया कि उच्च चुंबकीय क्षेत्र में टाइप-द्वितीय उपचालक में, क्षेत्र फ्लक्स [[एब्रिकोसोव भंवर|एब्रिकोसोव तरंग]] के क्वांटाइज्ड ट्यूबों के त्रिकोणीय जाली में प्रवेश करता है।<ref>Abrikosov, A. A. (1957). [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022369757900835 The magnetic properties of superconducting alloys]. [[Journal of Physics and Chemistry of Solids]], 2(3), 199–208.</ref>
== ज्यामितीय सूत्रीकरण ==
गिन्ज़बर्ग लैंडौ कार्यात्मक को [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]] [[ रीमैनियन कई गुना | रीमैनियन कई गुना]] पर [[जटिल वेक्टर बंडल]] की सामान्य सेटिंग में तैयार किया जा सकता है।<ref>{{cite book |first=Jürgen |last=Jost |author-link=Jürgen Jost |title=रीमानियन ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण|url=https://archive.org/details/riemanniangeomet00jost_070 |url-access=limited |year=2002 |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-42627-2 |edition=Third |pages=[https://archive.org/details/riemanniangeomet00jost_070/page/n377 373]–381 |chapter=The Ginzburg–Landau Functional }}</ref> यह वही प्रकार्यात्मक है जैसा कि ऊपर दिया गया है, सामान्यतः रीमानियन ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले अंकन के लिए स्थानांतरित किया गया है। कई दिलचस्प स्थितियों में, यह उपरोक्त के समान घटनाओं को प्रदर्शित करने के लिए दिखाया जा सकता है, जिसमें एब्रिकोसोव तरंग सम्मिलित हैं (नीचे चर्चा देखें)।

एक जटिल वेक्टर बंडल के लिए <math>E</math> रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर <math>M</math> फाइबर के साथ <math>\Complex^n</math>, ऑर्डर पैरामीटर <math>\psi</math> वेक्टर बंडल के [[खंड (फाइबर बंडल)]] के रूप में समझा जाता है <math>E</math>. गिन्ज़बर्ग-लैंडौ कार्यात्मक तब उस खंड के लिए लैग्रैन्जियन (क्षेत्र सिद्धांत) है:

:<math>
  \mathcal{L}(\psi, A) =
  \int_M \sqrt{|g|} dx^1 \wedge \dotsm \wedge dx^m \left[
    \vert F \vert^2 + \vert D \psi\vert^2 + \frac{1}{4} \left(\sigma - \vert\psi\vert^2\right)^2
  \right]
</math>
यहाँ प्रयुक्त अंकन इस प्रकार है। रेशे <math>\Complex^n</math> [[हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद]] से लैस माना जाता है <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> जिससे कि मानक के वर्ग <math>\vert\psi\vert^2 = \langle\psi,\psi\rangle</math> के रूप में लिखा जाता हैं। फेनोमेनोलॉजिकल पैरामीटर <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> अवशोषित कर लिया गया है जिससे कि संभावित ऊर्जा शब्द क्वार्टिक [[मैक्सिकन टोपी क्षमता]] है; अर्ताथ, कम से कम कुछ वास्तविक मूल्य के साथ [[सहज समरूपता तोड़ना]] प्रदर्शित करना <math>\sigma\in\R</math>. अभिन्न स्पष्ट रूप से [[वॉल्यूम फॉर्म]] पर है।
:<math>*(1) = \sqrt{|g|} dx^1 \wedge \dotsm \wedge dx^m</math>
एक के लिए <math>m</math>-आयामी कई गुना <math>M</math> निर्धारक के साथ <math>|g|</math> मीट्रिक टेंसर का <math>g</math>. <math>D = d + A</math> h> [[मीट्रिक कनेक्शन]] है | कनेक्शन एक-रूप है और <math>F</math> संगत [[वक्रता 2-रूप]] है (यह मुक्त ऊर्जा के समान नहीं है <math>F</math> ऊपर छोड़ दिया; यहाँ, <math>F</math> [[ विद्युत चुम्बकीय |विद्युत चुम्बकीय]] [[क्षेत्र शक्ति टेंसर]] से मेल खाती है)। <math>A</math> h> सदिश क्षमता से मेल खाता है, लेकिन सामान्य तौर पर [[गैर-अबेलियन गेज सिद्धांत]]|नॉन-एबेलियन कब होता है <math>n> 1</math>, और अलग तरह से सामान्यीकृत किया जाता है। भौतिकी में, पारंपरिक रूप से कनेक्शन को इस रूप में लिखा जाता है <math>d-ieA</math> इलेक्ट्रिक आवेश के लिए <math>e</math> और वेक्टर क्षमता <math>A</math>; रीमानियन ज्यामिति में, इसे गिराना अधिक सुविधाजनक है <math>e</math> (और अन्य सभी भौतिक इकाइयाँ) और लें <math>A = A_\mu dx^\mu</math> फाइबर के समरूपता समूह के अनुरूप लाई बीजगणित में मान लेने वाला एक-रूप होता हैं। यहाँ, सममिति समूह [[SU(n)]] है, क्योंकि यह आंतरिक उत्पाद को छोड़ता है <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> अपरिवर्तनीय; तो ये रहा, <math>A</math> बीजगणित में मान लेने वाला रूप <math>\mathfrak{su}(n)</math> है।

वक्रता <math>F</math> [[वेक्टर बंडल]] पर [[affine कनेक्शन]] के [[वक्रता रूप]] के रूप में, गैर-एबेलियन सेटिंग के लिए [[विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ताकत]] को सामान्य करता है। यह पारंपरिक रूप से लिखा गया है
:<math>\begin{align}
  F &= D \circ D \\
    &= dA + A \wedge A \\
    &= \left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} + A_\mu A_\nu\right) dx^\mu \wedge dx^\nu \\
    &= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial A_\nu}{\partial x^\mu} - \frac{\partial A_\mu}{\partial x^\nu} + [A_\mu, A_\nu]\right) dx^\mu \wedge dx^\nu \\
\end{align}</math>
अर्ताथ प्रत्येक <math>A_\mu</math> <math>n \times n</math> तिरछा-सममित आव्यूह के लिए (इस विशिष्ट अंकन के अतिरिक्त अभिव्यक्ति के लिए मीट्रिक कनेक्शन पर लेख देखें।) इस पर जोर देने के लिए, ध्यान दें कि गिंज़बर्ग-लैंडौ कार्यात्मक का पहला शब्द, केवल क्षेत्र-शक्ति को सम्मिलित करता है, है
:<math>\mathcal{L}(A) = YM(A) = \int_M *(1) \vert F \vert^2 </math>
जो कॉम्पैक्ट रीमैनियन मैनिफोल्ड पर सिर्फ यांग-मिल्स के लिए प्रभावित रहता है।

गिन्ज़बर्ग-लैंडौ कार्यात्मक के लिए यूलर-लग्रेंज समीकरण यांग-मिल्स समीकरण हैं <ref>{{cite book |first=Jürgen |last=Jost |author-link=Jürgen Jost |title=रीमानियन ज्यामिति और ज्यामितीय विश्लेषण|year=2008 |publisher=Springer-Verlag |isbn=978-3-540-77340-5 |edition=Fifth |pages=521–522 |chapter=The Ginzburg–Landau Functional }}</ref>
:<math>D^*D\psi = \frac{1}{2}\left(\sigma - \vert\psi\vert^2\right)\psi</math>
और
:<math>D^*F = -\operatorname{Re}\langle D\psi, \psi\rangle</math>
जहाँ <math>D^*</math> अवकल संकारक है# के संचालिका का संलग्न है <math>D</math>, हॉज स्टार ऑपरेटर # कोडिफरेंशियल के अनुरूप <math>\delta = d^*</math>. ध्यान दें कि ये यांग-मिल्स-हिग्स समीकरणों से निकटता से संबंधित हैं।

=== विशिष्ट परिणाम ===
स्ट्रिंग थ्योरी में, कई गुना के लिए गिन्ज़बर्ग-लैंडौ कार्यात्मक का अध्ययन करना पारंपरिक है <math>M</math> [[रीमैन सतह]] होना, और लेना <math>n = 1</math>; अर्ताथ, [[लाइन बंडल]]।<ref>{{cite journal|last1=Hitchin|first1=N. J.|title=रीमैन सतह पर स्व-द्वैत समीकरण|journal=Proceedings of the London Mathematical Society|volume=s3-55|issue=1|year=1987|pages=59–126|issn=0024-6115|doi=10.1112/plms/s3-55.1.59}}</ref> एब्रिकोसोव तरंगों की घटना इन सामान्य स्थितियों में बनी रहती है, जिनमें सम्मिलित हैं <math>M=\R^2</math>, जहां कोई भी बिंदुओं के परिमित सेट को निर्दिष्ट कर सकता है <math>\psi</math> बहुलता सहित गायब हो जाता है।<ref>{{cite journal | last=Taubes | first=Clifford Henry | title=पहले क्रम के गिन्ज़बर्ग-लैंडौ समीकरणों के लिए मनमाना एन-भंवर समाधान| journal=Communications in Mathematical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=72 | issue=3 | year=1980 | issn=0010-3616 | doi=10.1007/bf01197552 | pages=277–292| bibcode=1980CMaPh..72..277T | s2cid=122086974 | url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103907703 }}</ref> सबूत मनमाने ढंग से रीमैन सतहों और काहलर मैनिफोल्ड्स के लिए सामान्यीकृत करता है।<ref>{{cite journal | last=Bradlow | first=Steven B. | title=Vortices in holomorphic line bundles over closed Kähler manifolds | journal=Communications in Mathematical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=135 | issue=1 | year=1990 | issn=0010-3616 | doi=10.1007/bf02097654 | pages=1–17| bibcode=1990CMaPh.135....1B | s2cid=59456762 | url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104201917 }}</ref><ref>{{cite journal | last=Bradlow | first=Steven B. | title=वैश्विक वर्गों के साथ होलोमोर्फिक बंडलों के लिए विशेष मेट्रिक्स और स्थिरता| journal=Journal of Differential Geometry | publisher=International Press of Boston | volume=33 | issue=1 | year=1991 | issn=0022-040X | doi=10.4310/jdg/1214446034 | pages=169–213|doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal | last=García-Prada | first=Oscar | title=अपरिवर्तनीय कनेक्शन और भंवर| journal=Communications in Mathematical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=156 | issue=3 | year=1993 | issn=0010-3616 | doi=10.1007/bf02096862 | pages=527–546| bibcode=1993CMaPh.156..527G | s2cid=122906366 | url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253716 }}</ref><ref>{{cite journal | last=García-Prada | first=Oscar | title=एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह पर भंवर समीकरणों के लिए एक प्रत्यक्ष अस्तित्व प्रमाण| journal=Bulletin of the London Mathematical Society | publisher=Wiley | volume=26 | issue=1 | year=1994 | issn=0024-6093 | doi=10.1112/blms/26.1.88 | pages=88–96}}</ref> कमजोर युग्मन की सीमा में, यह दिखाया जा सकता है <math>\vert\psi\vert</math> समान रूप से 1 में परिवर्तित हो जाता है, जबकि <math>D\psi</math> और <math>dA</math> समान रूप से शून्य पर अभिसरण, और वक्रता तरंगों में डेल्टा-फ़ंक्शन वितरण पर योग बन जाती है।<ref>M.C. Hong, J, Jost, M Struwe, "Asymptotic limits of a Ginzberg-Landau type functional", ''Geometric Analysis and the Calculus of Variations for Stefan Hildebrandt'' (1996) International press (Boston) pp. 99-123.</ref> तरंगों का योग, बहुलता के साथ, लाइन बंडल की डिग्री के बराबर होता है; परिणामस्वरूप, कोई रीमैन सतह पर फ्लैट बंडल के रूप में लाइन बंडल लिख सकता है, जिसमें एन एकवचन बिंदु और सहसंयोजक स्थिर खंड होता है।

जब मैनिफोल्ड चार-आयामी होता है, जिसमें स्पिन संरचना होती है। स्पिन<sup>c</sup> संरचना, तो कोई बहुत ही समान कार्यात्मक लिख सकता है, जब ऐसी प्रणालियाँ समाकलनीय प्रणाली होती हैं, तो उनका अध्ययन हिचिन प्रणालियों के रूप में किया जाता है।

== आत्मद्वैत ==
जब कई गुना <math>M</math> रीमैन सतह है <math>M=\Sigma</math>, कार्यात्मक को फिर से लिखा जा सकता है जिससे कि स्पष्ट रूप से आत्म-द्वैत दिखाया जा सके। [[डोलबियॉल्ट ऑपरेटर]] के योग के रूप में [[बाहरी व्युत्पन्न]] लिखकर इसे प्राप्त किया जाता है <math>d=\partial+\overline\partial</math>. इसी तरह, अंतरिक्ष <math>\Omega^1</math> रीमैन सतह पर एक-रूप का स्थान में विघटित होता है जो होलोमोर्फिक है, और जो होलोमोर्फिक विरोधी है: <math>\Omega^1=\Omega^{1,0}\oplus\Omega^{0,1}</math>, जिससे यह बनता है <math>\Omega^{1,0}</math> में होलोमॉर्फिक हैं <math>z</math> और उन पर कोई निर्भरता नहीं है <math>\overline z</math>; और इसके विपरीत के लिए <math>\Omega^{0,1}</math> मुख्यतः यह वेक्टर क्षमता को इस रूप में लिखे जाने की अनुमति देता है <math>A=A^{1,0}+A^{0,1}</math> और इसी तरह <math>D=\partial_A + \overline\partial_A</math> साथ <math>\partial_A=\partial+A^{1,0}</math> और <math>\overline\partial_A=\overline\partial+A^{0,1}</math> के समान हैं।

के स्थिति के लिए <math>n=1</math>, जहां फाइबर है <math>\Complex</math> जिससे कि बंडल लाइन बंडल हो, फ़ील्ड स्ट्रेंथ को इसी प्रकार लिखा जा सकता है।
:<math>F=-\left(\partial_A \overline\partial_A + \overline\partial_A \partial_A\right)</math> ध्यान दें कि साइन-कन्वेंशन में यहाँ इस्तेमाल किया जा रहा है, दोनों <math>A^{1,0}, A^{0,1}</math> और <math>F</math> विशुद्ध रूप से काल्पनिक हैं (अर्थात [[U(1)]] द्वारा उत्पन्न होता है <math>e^{i\theta}</math> इसलिए डेरिवेटिव विशुद्ध रूप से काल्पनिक हैं)। कार्यात्मक तब बन जाता है-
:<math>\mathcal{L}\left(\psi,A\right)=
2\pi\sigma \operatorname{deg} L +
\int_\Sigma \frac{i}{2} dz \wedge d\overline z
\left[2 \vert\overline\partial_A\psi\vert^2 +
\left(*(-iF) - \frac{1}{2} (\sigma - \vert\psi\vert^2 \right)^2 \right]
</math>
समाकलन को आयतन रूप के ऊपर समझा जाता है-
:<math>*(1) = \frac{i}{2} dz \wedge d\overline z</math>,
जिससे कि
:<math>\operatorname{Area}\Sigma = \int_\Sigma *(1)</math>
सतह का कुल क्षेत्रफल है <math>\Sigma</math>. <math>*</math> h> पहले की तरह [[हॉज स्टार]] है। श्रेणी <math>\operatorname{deg} L</math> लाइन बंडल का <math>L</math> सतह के ऊपर <math>\Sigma</math> है
:<math>\operatorname{deg}L = c_1(L) = \frac{1}{2\pi} \int_\Sigma iF</math>
जहाँ <math>c_1(L) = c_1(L)[\Sigma]\in H^2(\Sigma)</math> प्रथम [[चेर्न वर्ग]] है।

Lagrangian कम से कम (स्थिर) है जब <math>\psi,A</math> गिन्ज़बर्ग-लैंडौ समीकरण को हल करें
:<math>\begin{align}
\overline\partial_A \psi &= 0 \\
*(iF) &= \frac{1}{2} \left(\sigma - \vert\psi\vert^2 \right) \\
\end{align}</math>
ध्यान दें कि ये दोनों प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं, प्रकट रूप से स्व-द्वैत हैं। इनमें से दूसरे को एकीकृत करने पर, व्यक्ति जल्दी से पाता है कि गैर-तुच्छ समाधान का पालन करना चाहिए
:<math>4\pi \operatorname{deg}L \le \sigma \operatorname{Area} \Sigma</math>.
मोटे तौर पर, इसकी व्याख्या एब्रिकोसोव तरंगों के घनत्व की ऊपरी सीमा के रूप में की जा सकती है। कोई यह भी दिखा सकता है कि समाधान परिबद्ध हैं; होना चाहिए <math>|\psi|\le\sigma</math>.

==लंदौ-गिन्ज़बर्ग सिद्धांत स्ट्रिंग सिद्धांत में==
[[कण भौतिकी]] में, किसी भी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ अद्वितीय शास्त्रीय निर्वात स्थिति और [[पतित महत्वपूर्ण बिंदु]] के साथ [[संभावित ऊर्जा]] को लैंडौ-गिन्ज़बर्ग सिद्धांत कहा जाता है। नवंबर 1988 में [[कमरुन संदेह]] और [[निकोलस वार्नर (भौतिक विज्ञानी)]] द्वारा 2 स्पेसटाइम आयामों में N = (2,2) [[सुपरसिमेट्री]] का सामान्यीकरण प्रस्तावित किया गया था;<ref>{{cite journal |last1=Vafa |first1=Cumrun |last2=Warner |first2=Nicholas |title=तबाही और अनुरूप सिद्धांतों का वर्गीकरण|journal=Physics Letters B |date=February 1989 |volume=218 |issue=1 |pages=51–58 |doi=10.1016/0370-2693(89)90473-5|bibcode=1989PhLB..218...51V }}</ref> इस सामान्यीकरण में कोई यह आरोप लगाता है कि [[सुपरपोटेंशियल]] के पास पतित महत्वपूर्ण बिंदु है। उसी महीने, [[ब्रायन ग्रीन]] के साथ उन्होंने तर्क दिया कि ये सिद्धांत कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स पर [[सिग्मा मॉडल|सिग्मा प्रारूप]] के लिए [[पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह]] से संबंधित हैं।<ref>{{cite journal |last1=Greene |first1=B.R. |last2=Vafa |first2=C. |last3=Warner |first3=N.P. |title=कैलाबी-याउ कई गुना और पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह|journal=Nuclear Physics B |date=September 1989 |volume=324 |issue=2 |pages=371–390 |doi=10.1016/0550-3213(89)90471-9|bibcode=1989NuPhB.324..371G }}</ref> अपने 1993 के पेपर फेज़ ऑफ़ एन = 2 सिद्धांतों में दो आयामों में, [[ एडवर्ड विटन |एडवर्ड विटन]] ने तर्क दिया हैं कि लैंडौ-गिन्ज़बर्ग सिद्धांत और कैलाबी याउ मैनिफोल्ड्स पर सिग्मा प्रारूप ही सिद्धांत के विभिन्न चरण हैं।<ref>{{cite journal |last1=Witten |first1=Edward |title=Phases of N = 2 theories in two dimensions |journal=Nuclear Physics B |date=16 August 1993 |volume=403 |issue=1 |pages=159–222 |doi=10.1016/0550-3213(93)90033-L|arxiv=hep-th/9301042 |bibcode=1993NuPhB.403..159W |s2cid=16122549 }}</ref> इस प्रकार के द्वैत का निर्माण कैलाबी-याउ ऑर्बिफॉल्ड्स के ग्रोमोव-विटन सिद्धांत को एफजेआरडब्ल्यू सिद्धांत के अनुरूप लैंडौ-गिन्ज़बर्ग एफजेआरडब्ल्यू सिद्धांत से संबंधित करके दिया गया था।<ref>{{cite journal |last1=Fan |first1=Huijun |last2=Jarvis |first2=Tyler |last3=Ruan |first3=Yongbin |title=Witten समीकरण, दर्पण समरूपता और क्वांटम विलक्षणता सिद्धांत|journal=Annals of Mathematics |date=1 July 2013 |volume=178 |issue=1 |pages=1–106 |doi=10.4007/annals.2013.178.1.1|s2cid=115154206 |doi-access=free }}</ref> विटन के सिग्मा प्रारूप का उपयोग बाद में मोनोपोल के साथ-साथ ब्रैन निर्माणों के साथ 4-आयामी गेज सिद्धांतों की निम्न ऊर्जा गतिकी का वर्णन करने के लिए किया गया हैं।<ref>{{Citation | last1=Gaiotto | first1=Davide | last2=Gukov | first2=Sergei | last3=Seiberg | first3=Nathan | author1-link=Davide Gaiotto | author2-link=Sergei Gukov |  author3-link=Nathan Seiberg | title=Surface Defects and Resolvents | arxiv=1307.2578| year=2013 | journal=[[Journal of High Energy Physics]] | volume=2013 | issue=9 | pages=70 | bibcode=2013JHEP...09..070G | doi=10.1007/JHEP09(2013)070 | s2cid=118498045 }}</ref>
== यह भी देखें ==
{{div col|colwidth=30em}}
* [[फ्लक्स पिनिंग]]
* सकल-पितावस्की समीकरण
* [[लैंडौ सिद्धांत]]
* स्टुअर्ट-लैंडौ समीकरण
* प्रतिक्रिया-प्रसार प्रणाली
* [[क्वांटम धारा]]
* [[हिग्स बंडल]]
* बोगोमोलनी-सोमरफील्ड बाउंड
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==संदर्भ==
{{reflist}}




=== कागजात ===

* वी.एल. गिन्ज़बर्ग और एल.डी. लन्दौ, जे. उदाहरण तोर। फ़िज़। '20', 1064 (1950)। अंग्रेजी अनुवाद: L. D. Landau, कलेक्टेड पेपर्स (ऑक्सफ़ोर्ड: पेर्गमोन प्रेस, 1965) p. 546
* ए.ए. एब्रिकोसोव, जे। उदाहरण तोर। फ़िज़। '32', 1442 (1957) (अंग्रेजी अनुवाद: Sov. Phys. JETP '5' 1174 (1957)]।) [[टाइप- II सुपरकंडक्टर|टाइप- II उपचालक]]्स की तरंग संरचना पर एब्रिकोसोव का मूल पेपर κ> के लिए G-L समीकरणों के समाधान के रूप में प्राप्त हुआ। 1/√2
* एल.पी. गोर्कोव, सोवियत संघ। भौतिक। जेईटीपी '36', 1364 (1959)
* ए.ए. एब्रिकोसोव का 2003 का नोबेल व्याख्यान: [http://nobelprize.org/uploads/2018/06/ginzburg-lecture.pdf फाइल] या [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/abrikosov-lecture। एचटीएमएल वीडियो]
* वी.एल. गिन्ज़बर्ग का 2003 का नोबेल व्याख्यान: [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/ginzburg-lecture.pdf pdf फ़ाइल] या [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/2003/ginzburg- लेक्चर.एचटीएमएल वीडियो]

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