View source for क्वांटम एन्ट्रापी की सशक्त उप-सम्मिलितता

[[क्वांटम सूचना सिद्धांत]] में, '''क्वांटम एन्ट्रापी की सशक्त उप-सम्मिलितता''' (स्ट्रांग सबअड्डीटिविटी ऑफ़ क्वांटम एन्ट्रापी (एसएसए)) तीन उप-प्रणालियों (या स्वतंत्रता के तीन डिग्री के साथ एक क्वांटम प्रणाली) से युक्त एक बड़ी क्वांटम प्रणाली के विभिन्न क्वांटम उप-प्रणालियों के [[वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी]] के बीच संबंध है। यह आधुनिक क्वांटम सूचना सिद्धांत में एक बुनियादी प्रमेय है। यह डेरेक डब्ल्यू रॉबिन्सन|डी द्वारा अनुमान लगाया गया था। डब्ल्यू रॉबिन्सन और डी रूएल<ref>{{cite journal | last1=Robinson | first1=Derek W. | last2=Ruelle | first2=David | title=शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में राज्यों की मीन एन्ट्रॉपी| journal=Communications in Mathematical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=5 | issue=4 | year=1967 | issn=0010-3616 | doi=10.1007/bf01646480 | pages=288–300| bibcode=1967CMaPh...5..288R | s2cid=115134613 | url=http://cds.cern.ch/record/347009 }}</ref> 1966 में और ऑस्कर लैनफोर्ड|ओ. ई. लैनफोर्ड III और डी. डब्ल्यू. रॉबिन्सन<ref>{{cite journal | last1=Lanford | first1=Oscar E. | last2=Robinson | first2=Derek W. | title=Mean Entropy of States in Quantum‐Statistical Mechanics | journal=Journal of Mathematical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=9 | issue=7 | year=1968 | issn=0022-2488 | doi=10.1063/1.1664685 | pages=1120–1125| bibcode=1968JMP.....9.1120L }}</ref> 1968 में और 1973 में ई.एच. द्वारा सिद्ध किया गया। लिब और मैरी बेथ रुसकाई एम.बी. रुस्कई,<ref name="LR73_2">{{cite journal | last1=Lieb | first1=Elliott H. | last2=Ruskai |author-link=Elliott H. Lieb| first2=Mary Beth |author-link2=Mary Beth Ruskai| title=क्वांटम-मैकेनिकल एन्ट्रापी की मजबूत उप-विषमता का प्रमाण| journal=Journal of Mathematical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=14 | issue=12 | year=1973 | issn=0022-2488 | doi=10.1063/1.1666274 | pages=1938–1941| bibcode=1973JMP....14.1938L | url=http://www.numdam.org/article/RCP25_1973__19__A5_0.pdf }</ref> विग्नेर-यानासे-डायसन अनुमान के अपने प्रमाण में लिब द्वारा प्राप्त परिणामों पर निर्माण।

एसएसए का प्राचीन संस्करण चिरसम्मत संभाव्यता सिद्धांत और सूचना सिद्धांत में लंबे समय से जाना जाता है और इसकी सराहना की जाती है। चिरसम्मत मामले में इस संबंध का प्रमाण काफी आसान है, लेकिन क्वांटम सबसिस्टम का वर्णन करने वाले कम घनत्व वाले  आव्यूह की गैर-कम्यूटेटिविटी के कारण क्वांटम मामला कठिन है।

यहाँ कुछ उपयोगी संदर्भों में सम्मिलित हैं:
* क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना

* क्वांटम एंट्रॉपी और इसका उपयोग

*ट्रेस असमानताएं और क्वांटम एंट्रॉपी: एक परिचयात्मक पाठ्यक्रम
== परिभाषाएँ ==

निम्नलिखित में हम निम्नलिखित अंकन का उपयोग करते हैं: एक [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] को इसके द्वारा दर्शाया जाता है <math>\mathcal{H}</math>,  और <math> \mathcal{B}(\mathcal{H})</math> बंधे रैखिक ऑपरेटरों को दर्शाता है <math>\mathcal{H}</math>. टेन्सर (Tensor) उत्पादों को सुपरस्क्रिप्ट द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए, <math>\mathcal{H}^{12}=\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2</math>निशान द्वारा निरूपित किया जाता है <math>{\rm Tr}</math>.

=== [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] ===
घनत्व आव्यूह एक [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] है, [[सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स|ऋणात्मक अर्ध-निश्चित  आव्यूह]] | [[ट्रेस क्लास]] वन का ऋणात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह। यह [[क्वांटम प्रणाली]] में [[जितना राज्य]] के वर्णन की अनुमति देता है। टेंसर उत्पाद पर घनत्व आव्यूह को सुपरस्क्रिप्ट द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए,
 <math>\rho^{12}</math> एक घनत्व  आव्यूह है <math>\mathcal{H}^{12}</math>.

=== एंट्रॉपी ===
घनत्व आव्यूह की वॉन न्यूमैन वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी <math>\rho</math> है
:<math>S(\rho):=-{\rm Tr}(\rho\log \rho)</math>.

=== सापेक्ष एन्ट्रॉपी ===
उमेगाकी के<ref>{{cite journal | last=Umegaki | first=Hisaharu | title=ऑपरेटर बीजगणित में सशर्त अपेक्षा। चतुर्थ। एंट्रॉपी और सूचना| journal=Kodai Mathematical Seminar Reports | publisher=Tokyo Institute of Technology, Department of Mathematics | volume=14 | issue=2 | year=1962 | issn=0023-2599 | doi=10.2996/kmj/1138844604 | pages=59–85|doi-access=free}}</ref> दो घनत्व आव्यू की [[क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी]] <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> है
:<math>S(\rho||\sigma)={\rm Tr}(\rho\log\rho-\rho\log\sigma)\geq 0 </math>.

=== संयुक्त अवतलता ===
एक समारोह <math>g</math> दो चरों में से किसी के लिए '''संयुक्त रूप से अवतल''' कहा जाता है <math> 0\leq \lambda\leq 1</math> निम्नलिखित धारण करता है
:<math>
g(\lambda A_1 + (1-\lambda)A_2,\lambda B_1 + (1-\lambda)B_2 ) \geq \lambda g(A_1, B_1) + (1 -\lambda)g(A_2, B_2).
</math>
== एन्ट्रापी की उप-विभाजन ==

साधारण उप-विषमता <ref name="AL70">{{cite journal|last1=Araki|first1=Huzihiro|last2=Lieb|first2=Elliott H.|title=एंट्रॉपी असमानताएं|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=18|issue=2|year=1970|pages=160–170|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF01646092|bibcode=1970CMaPh..18..160A|s2cid=189832417}}</ref> केवल दो रिक्त स्थान की चिंता करता है <math>\mathcal{H}^{12}</math> और एक घनत्व आव्यूह <math>\rho^{12}</math>. यह प्रकट करता है की
:<math> S(\rho^{12}) \leq S(\rho^1) +S(\rho^2) </math> 
:निस्सन्देह, यह असमानता चिरसम्मत संभाव्यता सिद्धांत में सच है, लेकिन बाद वाले में भी सम्मिलित है
प्रमेय कि [[सशर्त एन्ट्रापी]]  <math> S(\rho^{12} | \rho^1)= S(\rho^{12} )-S(\rho^1)</math> और <math> S(\rho^{12} | \rho^2)=S(\rho^{12} ) -S(\rho^2)</math> दोनों गैर-ऋणात्मक हैं। हालाँकि, क्वांटम मामले में, दोनों ऋणात्मक हो सकते हैं, उदा. <math> S(\rho^{12}) </math> जबकि शून्य हो सकता है <math> S(\rho^1) = S(\rho^{2}) >0</math>. फिर भी, उप-विषमता ऊपरी सीमा पर है <math> S(\rho^{12}) </math> धारण करना जारी है। किसी के पास सबसे करीबी चीज
को <math> S(\rho^{12})- S(\rho^1)\geq 0 </math> अरकी-लीब त्रिभुज असमानता है  <ref name="AL70" />:  <math> S(\rho^{12}) \geq |S(\rho^1) -S(\rho^2)| </math> जो में व्युत्पन्न है <ref name="AL70" />श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय नामक एक गणितीय तकनीक द्वारा उप-विषमता से।

== स्ट्रॉन्ग सबएडिटिविटी (एसएसए) ==

मान लीजिए कि प्रणाली का हिल्बर्ट स्थान तीन स्थानों का एक [[टेंसर उत्पाद]] है: <math>\mathcal{H}=\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2\otimes \mathcal{H}^3.</math>. शारीरिक रूप से, ये तीन रिक्त स्थान कर सकते हैं

तीन अलग-अलग प्रणालियों के स्थान के रूप में व्याख्या की जा सकती है, या फिर तीन भागों या स्वतंत्रता की तीन डिग्री के रूप में एक भौतिक प्रणाली का।

एक घनत्व आव्यूह दिया <math>\rho^{123}</math> पर <math>\mathcal{H}</math>, हम एक घनत्व आव्यूह को परिभाषित करते हैं <math>\rho^{12}</math> पर <math>\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2</math> [[आंशिक निशान]] के रूप में:
 <math>\rho^{12}={\rm Tr}_{\mathcal{H}^3} \rho^{123}</math>. इसी प्रकार, हम घनत्व मेट्रिसेस को परिभाषित कर सकते हैं: <math>\rho^{23}</math>, <math>\rho^{13}</math>, <math>\rho^1</math>, <math>\rho^2</math>, <math>\rho^3</math>.

=== कथन ===
किसी भी त्रिपक्षीय राज्य के लिए <math>\rho^{123}</math> निम्नलिखित धारण करता है
:<math>S(\rho^{123})+S(\rho^2)\leq S(\rho^{12})+S(\rho^{23})</math>,
जहाँ <math> S(\rho^{12})=-{\rm Tr}_{\mathcal{H}^{12}} \rho^{12} \log \rho^{12}</math>, उदाहरण के लिए।

समतुल्य रूप से, त्रिपक्षीय राज्य के लिए बयान को सशर्त क्वांटम एन्ट्रॉपी के संदर्भ में पुनर्गठित किया जा सकता है <math>\rho^{ABC}</math>,
:<math>S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)</math>.
इसे क्वांटम पारस्परिक सूचना के संदर्भ में भी पुनर्कथित किया जा सकता है,
:<math>I(A:BC)\geq I(A:B)</math>.
ये बयान चिरसम्मत अंतर्ज्ञान के समानांतर चलते हैं, सिवाय इसके कि क्वांटम सशर्त एंट्रॉपी ऋणात्मक हो सकती है, और क्वांटम पारस्परिक सूचनाएं सीमांत एंट्रॉपी के चिरसम्मत बंधन से अधिक हो सकती हैं।

कार्लेन और लिब द्वारा निम्नलिखित तरीके से सशक्त उपविभाजन असमानता में सुधार किया गया था <ref name=":0">{{cite journal | doi = 10.1007/s11005-012-0565-6 | volume=101 | title=एंट्रॉपी की मजबूत उप-विषमता के विस्तार के माध्यम से उलझाव की सीमा| year=2012 | journal=Letters in Mathematical Physics | pages=1–11 | last1 = Carlen | first1 = Eric A. | last2 = Lieb | first2 = Elliott H.| issue=1 | arxiv = 1203.4719| bibcode=2012LMaPh.101....1C | s2cid=119317605 }}</ref>
:<math>S(\rho^{12})+S(\rho^{23})-S(\rho^{123})-S(\rho^2)  \geq 2\max\{S(\rho^1)-S(\rho^{13}),S(\rho^3)-S(\rho^{13}), 0 \} </math>,
इष्टतम स्थिरांक के साथ <math>2</math>.

जे कीफर<ref name="kiefer1959">{{cite journal |last1=Kiefer |first1=J. |title=इष्टतम प्रायोगिक डिजाइन|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological) |date=July 1959 |volume=21 |issue=2 |pages=272–310 |doi=10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x |url=https://doi.org/10.1111/j.2517-6161.1959.tb00338.x}}</ref><ref name=ruskai2013>{{cite web |last1=Ruskai |first1=Mary Beth |title=Evolution of a Fundemental &#91;sic&#93; Theorem on Quantum Entropy |url=https://www.youtube.com/watch?v=P3-xI1u1Y2s |website=youtube.com |publisher=World Scientific |access-date=20 August 2020 |quote=Invited talk at the Conference in Honour of the 90th Birthday of Freeman Dyson, Institute of Advanced Studies, Nanyang Technological University, Singapore, 26–29 August 2013. The note on Kiefer (1959) is at the 26:40 mark.}}</ref> 1959 में एक परिधीय रूप से संबंधित उत्तलता परिणाम साबित हुआ, जो कि ई.एच.लीब और एमबी रुसकई द्वारा सिद्ध किए गए एक ऑपरेटर श्वार्ज असमानता का परिणाम है।<ref name="LR73_2" />  हालांकि, ये परिणाम तुलनात्मक रूप से सरल हैं, और सबूत लिब के 1973 के उत्तल और अवतल ट्रेस कार्यात्मकताओं के पेपर के परिणामों का उपयोग नहीं करते हैं।<ref name="L73">{{cite journal|last1=Lieb|first1=Elliott H|title=उत्तल ट्रेस फ़ंक्शंस और विग्नर-यानासे-डायसन अनुमान|journal=[[Advances in Mathematics]]|volume=11|issue=3|year=1973|pages=267–288|issn=0001-8708|doi=10.1016/0001-8708(73)90011-X|doi-access=free}}</ref> यह वह पेपर था जिसने लिब और रुस्काई द्वारा एसएसए के प्रमाण का गणितीय आधार प्रदान किया था। हिल्बर्ट स्पेस सेटिंग से वॉन न्यूमैन बीजगणित सेटिंग तक विस्तार, जहां राज्यों को घनत्व आव्यूह द्वारा नहीं दिया जाता है, द्वारा किया गया था नारनहोफर और थिरिंग.<ref>{{cite journal | last1 = Narnhofer | first1 = H. | year = 1985 | title = सापेक्ष एंट्रॉपी से एंट्रॉपी तक| journal = Fizika | volume = 17 | pages = 258–262 }}</ref> प्रमेय को कई समान कथनों को सिद्ध करके भी प्राप्त किया जा सकता है, जिनमें से कुछ का सारांश नीचे दिया गया है।

== विग्नर-यानासे-डायसन अनुमान ==

ई.पी. विग्नेर और एम.एम. यानासे <ref name="WY63">{{cite journal | last1=Wigner | first1=E. P. | last2=Yanase | first2=M. M. | title=वितरण की सूचना सामग्री| journal=Proceedings of the National Academy of Sciences | volume=49 | issue=6 | date=1 May 1963 | issn=0027-8424 | doi=10.1073/pnas.49.6.910 | pages=910–918| pmid=16591109 | pmc=300031 | bibcode=1963PNAS...49..910W |doi-access=free}}</ref> एंट्रॉपी की एक अलग परिभाषा प्रस्तावित की, जिसे [[फ्रीमैन डायसन]] द्वारा सामान्यीकृत किया गया था।

=== द विग्नर-यानसे-डायसन पी-तिरछी जानकारी ===
'द विग्नर-यानासे-डायसन <math>p</math> एक घनत्व आव्यूह की - तिरछी जानकारी <math>\rho</math>. एक ऑपरेटर के संबंध में <math>K</math> है
:<math> I_p(\rho, K)=\frac{1}{2}{\rm Tr}[\rho^p, K^*][\rho^{1-p}, K],</math>
जहाँ <math>[A,B]=AB-BA</math> एक कम्यूटेटर है, <math> K^* </math> है का जोड़ <math>K</math> और <math>0\leq p\leq 1</math> निश्चित है।

=== पी-तिरछी जानकारी की अवतलता ===
यह ई.पी. विग्नेर और एम.एम. यानासे द्वारा अनुमान लगाया गया था <ref name="WY64">{{cite journal | last1=Wigner | first1=Eugene P. | last2=Yanase | first2=Mutsuo M. | title=एक निश्चित मैट्रिक्स अभिव्यक्ति की सकारात्मक अर्ध निश्चित प्रकृति पर| journal=Canadian Journal of Mathematics | publisher=Canadian Mathematical Society | volume=16 | year=1964 | issn=0008-414X | doi=10.4153/cjm-1964-041-x | pages=397–406|doi-access=free}}</ref> वह <math>p</math>- तिरछी जानकारी घनत्व  आव्यूह के कार्य के रूप में अवतल है <math>\rho</math> एक निश्चित के लिए <math>0\leq p\leq 1</math>.

कार्यकाल के बाद से <math>-\tfrac{1}{2}{\rm Tr}\rho KK^*</math> अवतल है (यह रैखिक है), अनुमान अवतलता की समस्या को कम करता है <math>Tr\rho^p K^*\rho^{1-p}K</math>. जैसा कि उल्लेख किया गया है,<ref name="L73" />यह अनुमान (सभी के लिए <math> 0 \leq p \leq 1</math>) एसएसए का तात्पर्य है, और साबित हुआ था
के लिए <math> p= \tfrac{1}{2}</math> में,<ref name= "WY64" />  और सभी के लिए <math> 0\leq p \leq 1 </math> में <ref name="L73" />निम्नलिखित अधिक सामान्य रूप में: का कार्य दो आव्यूह चर
{{NumBlk|:|<math>  A, B \mapsto {\rm Tr} A^{r}K^*B^pK </math> |{{EquationRef|1}}}}
संयुक्त अवतल है <math> A</math> और <math> B,</math> कब <math>0\leq r\leq 1</math> और <math>p+r \leq 1</math>.

यह प्रमेय एसएसए के प्रमाण का एक अनिवार्य हिस्सा है।<ref name="LR73_2" />

उनके पेपर में <ref name="WY64"/>ई. पी. विग्नेर और एम. एम. यानासे ने भी उप-विषमता का अनुमान लगाया <math>p</math>- तिरछी जानकारी के लिए <math>p=\tfrac{1}{2}</math>, जिसे हैनसेन ने अस्वीकृत कर दिया था<ref>{{cite journal | last=Hansen | first=Frank | title=Wigner-Yanase Entropy Subadditive नहीं है| journal=Journal of Statistical Physics | publisher=Springer Nature | volume=126 | issue=3 | date=18 January 2007 | issn=0022-4715 | doi=10.1007/s10955-006-9265-x | pages=643–648| arxiv=math-ph/0609019 | bibcode=2007JSP...126..643H | s2cid=119667187 }}</ref> प्रति उदाहरण देकर।

== एसएसए के बराबर पहले दो बयान ==
में बताया गया था <ref name="AL70" />कि नीचे दिया गया पहला कथन  एसएसए और ए. उहल्मन के समतुल्य है <ref name="U73">A. Ulhmann, Endlich Dimensionale Dichtmatrizen, II, Wiss. Z. Karl-Marx-University Leipzig 22 Jg. H. 2., 139 (1973).</ref> नीचे दिए गए दूसरे कथन और एसएसए के बीच समानता को दिखाया।
* <math> S(\rho^1)+S(\rho^3)-S(\rho^{12})-S(\rho^{23})\leq 0.</math> ध्यान दें कि सशर्त एंट्रॉपी <math>S(\rho^{12}|\rho^1)</math> और <math>S(\rho^{23}|\rho^3)</math> दोनों गैर-ऋणात्मक होने की आवश्यकता नहीं है।
* वो नक्शा <math> \rho^{12}\mapsto S(\rho^1)-S(\rho^{12}) </math> उत्तल है।

इन दोनों कथनों को प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया गया।<ref name="LR73_2" />
== सापेक्ष एन्ट्रापी का संयुक्त उत्तलता ==
जैसा कि लिंडब्लाड ने नोट किया है<ref name="Ldb74">{{cite journal|last1=Lindblad|first1=Göran|title=परिमित क्वांटम सिस्टम के लिए अपेक्षाएँ और एन्ट्रापी असमानताएँ|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=39|issue=2|year=1974|pages=111–119|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF01608390|bibcode=1974CMaPh..39..111L|s2cid=120760667|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103860161}}</ref> और उहल्मन,<ref name="U77">{{cite journal|last1=Uhlmann|first1=A.|title=एक प्रक्षेप सिद्धांत में सापेक्ष एन्ट्रापी और विग्नेर-यानासे-डायसन-लीब अवतलता|journal=Communications in Mathematical Physics|volume=54|issue=1|year=1977|pages=21–32|issn=0010-3616|doi=10.1007/BF01609834|bibcode=1977CMaPh..54...21U|s2cid=15800519|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103900757}}</ref> अगर, समीकरण में ({{EquationNote|1}}), एक लेता है <math> K=1</math> और <math> r=1-p, A=\rho</math> और <math>B=\sigma</math> और में भेद करता है <math> p</math> पर <math>p=0</math>, एक सापेक्ष एन्ट्रापी का संयुक्त उत्तलता प्राप्त करता है: यानी, अगर <math>\rho=\sum_k\lambda_k\rho_k</math>, और <math>\sigma=\sum_k\lambda_k\sigma_k</math>, तब
{{NumBlk|:| <math> S\Bigl(\sum_k \lambda_k\rho_k||\sum_k\lambda_k \sigma_k \Bigr)\leq \sum_k\lambda_k S(\rho_k||\sigma_k),</math> |{{EquationRef|2}}}}
जहाँ <math>\lambda_k\geq 0</math> साथ <math>\sum_k\lambda_k=1</math>.

== क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की  एकदिष्टता ==
पूरी तरह से ऋणात्मक नक्शा [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] संरक्षण (सीपीटीपी) संचालन के तहत  सम्बन्धी एंट्रॉपी मोनोटोनिक रूप से घट जाती है <math>\mathcal{N}</math> घनत्व आव्यूह पर,

<math>S(\mathcal{N}(\rho)\|\mathcal{N}(\sigma))\leq S(\rho\|\sigma)</math>.

इस असमानता को '''क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की एकदिष्टता''' कहा जाता है। [[स्टाइनस्प्रिंग गुणनखंडन प्रमेय]] के कारण, यह असमानता सीपीटीपी मानचित्र के एक विशेष विकल्प का परिणाम है - एक आंशिक ट्रेस मानचित्र जिसका वर्णन नीचे किया गया है।

सीपीटीपी मानचित्रों का सबसे महत्वपूर्ण और बुनियादी वर्ग आंशिक ट्रेस ऑपरेशन है <math> T:\mathcal{B}(\mathcal{H}^{12})
\rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H}^{1})</math>, द्वारा दिए गए <math>T=1_{\mathcal{H}^1}\otimes \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}^2}</math>. तब

{{NumBlk|:| <math> S(T\rho||T\sigma)\leq S(\rho||\sigma), </math> |{{EquationRef|3}}}}

जिसे आंशिक ट्रेस के तहत क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी की मोनोटोनिसिटी कहा जाता है।

यह देखने के लिए कि सापेक्ष एंट्रॉपी के संयुक्त उत्तलता से यह कैसे होता है, इसे देखें
 <math> T</math> Uhlmann के प्रतिनिधित्व के रूप में लिखा जा सकता है
:<math> T(\rho^{12} ) = N^{-1} \sum_{j=1}^N (1_{\mathcal{H}^1}\otimes U_j) \rho^{12}(1_{\mathcal{H}^1}\otimes U_j^*), </math>
कुछ परिमित के लिए <math> N</math> और एकात्मक आव्यूह का कुछ संग्रह <math> \mathcal{H}^2 </math> (वैकल्पिक रूप से, हार उपाय पर एकीकृत करें)। चूंकि ट्रेस (और इसलिए सापेक्ष एन्ट्रापी) एकात्मक रूप से अपरिवर्तनीय है,
असमानता ({{EquationNote|3}}) अब से आता है ({{EquationNote|2}}). यह प्रमेय लिंडब्लैड के कारण है <ref name="Ldb74" />और उहल्मन,<ref name="U73" />जिसका प्रमाण यहाँ दिया गया है।

एसएसए से प्राप्त किया जाता है ({{EquationNote|3}})
साथ <math> \mathcal{H}^1 </math> द्वारा प्रतिस्थापित <math> \mathcal{H}^{12} </math> और
<math> \mathcal{H}^2 </math> जगह ले ली <math> \mathcal{H}^3 </math>. लेना <math> \rho = \rho^{123},</math> <math>\sigma = \rho^1\otimes \rho^{23},</math> <math>T= 1_{\mathcal{H}^{12}}\otimes Tr_{\mathcal{H}^3}</math>.
तब  ({{EquationNote|3}}) बन जाता है
:<math> S(\rho^{12}||\rho^1\otimes \rho^2)\leq S(\rho^{123}||\rho^1\otimes\rho^{23}).</math>
इसलिए,
:<math>S(\rho^{123}||\rho^1\otimes\rho^{23})- S(\rho^{12}||\rho^1\otimes \rho^2)=S(\rho^{12})+S(\rho^{23})-S(\rho^{123})-S(\rho^2)\geq 0, </math> जो एसएसए है। इस प्रकार,
क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की एकदिष्टता (जो इस प्रकार है){{EquationNote|1}}) एसएसए का तात्पर्य है।

== असमानताओं के बीच संबंध ==
उपरोक्त सभी महत्वपूर्ण असमानताएँ एक दूसरे के समतुल्य हैं, और इन्हें सीधे सिद्ध भी किया जा सकता है। निम्नलिखित समतुल्य हैं:
* क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी (मोनो) की एकदिष्टता;
* आंशिक ट्रेस (एमपीटी) के तहत क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी की एकदिष्टता;
* सशक्त उप-विषमता (एसएसए);
* क्वांटम सापेक्ष एंट्रॉपी (जेसी) की संयुक्त उत्तलता;

निम्नलिखित निहितार्थ इन असमानताओं के बीच समानता को दर्शाते हैं।
* मोनो <math>\Rightarrow </math> एमपीटी: इस प्रकार है क्योंकि एमपीटी मोनो का एक विशेष मामला है;
* एमपीटी <math>\Rightarrow </math> मोनो: लिंडब्लाड द्वारा दिखाया गया था,<ref name="Ldb75">{{cite journal | last=Lindblad | first=Göran | title=पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र और एन्ट्रॉपी असमानताएं| journal=Communications in Mathematical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=40 | issue=2 | year=1975 | issn=0010-3616 | doi=10.1007/bf01609396 | pages=147–151| bibcode=1975CMaPh..40..147L | s2cid=121650206 | url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103860462 }}</ref> एक सहायक प्रणाली पर आंशिक ट्रेस के रूप में स्टोचैस्टिक मानचित्रों के प्रतिनिधित्व का उपयोग करना;
* एमपीटी <math>\Rightarrow</math> एसएसए: उपरोक्त अनुभाग में वर्णित एमपीटी में त्रि-पक्षीय राज्यों की एक विशेष पसंद लेने के बाद, क्वांटम रिश्तेदार एंट्रॉपी की मोनोटोनिसिटी;
* एसएसए <math>\Rightarrow</math> एमपीटी: चुनकर <math>\rho_{123}</math> ब्लॉक विकर्ण होने के लिए, कोई दिखा सकता है कि एसएसए का तात्पर्य है कि मानचित्र
<math>\rho_{12}\mapsto S(\rho_1)-S(\rho_{12})</math> उत्तल है। में <ref name="LR73_2" />यह देखा गया कि यह उत्तलता एमपीटी उत्पन्न करती है;
                                          
* एमपीटी <math>\Rightarrow</math> जे.सी.: जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया था, चुनकर <math>\rho_{12}</math> (और इसी तरह, <math>\sigma_{12}</math>) ब्लॉक के साथ विकर्ण  आव्यूह को ब्लॉक करना <math>\lambda_k\rho_k</math> (और <math>\lambda_k\sigma_k</math>), आंशिक ट्रेस ब्लॉक पर एक योग है ताकि <math>\rho:=\rho_2=\sum_k\lambda_k\rho_k</math>, इसलिए एमपीटी से जेसी प्राप्त किया जा सकता है;
* जे.सी <math>\Rightarrow</math> एसएसए: 'शुद्धिकरण प्रक्रिया' का उपयोग करते हुए, अर्की और लिब,<ref name="AL70" /><ref name="L75">{{cite journal | last1 = Lieb | first1 = E. H. | year = 1975 | title = एंट्रॉपी के कुछ उत्तलता और उप-विघटन गुण| journal = Bull. Am. Math. Soc. | volume = 81 | pages = 1–13 | doi = 10.1090/s0002-9904-1975-13621-4 | doi-access = free }}</ref> देखा कि कोई ज्ञात से नई उपयोगी असमानताएँ प्राप्त कर सकता है। शुद्ध करके <math>\rho_{123}</math> को <math>\rho_{1234}</math> यह दिखाया जा सकता है कि एसएसए के बराबर है
:<math> S(\rho_4)+S(\rho_2)\leq S(\rho_{12})+S(\rho_{14}). </math>
इसके अलावा, अगर <math>\rho_{124}</math> शुद्ध है तो <math>S(\rho_2)=S(\rho_{14})</math> और <math>S(\rho_4)=S(\rho_{12})</math>, इसलिए समानता उपरोक्त असमानता में है। चूँकि घनत्व मेट्रिसेस के उत्तल सेट के चरम बिंदु शुद्ध अवस्थाएँ हैं,एसएसए जे.सी से अनुसरण करता है;

देखना,<ref name="L75" /><ref name="R02">{{cite journal | last=Ruskai | first=Mary Beth | title=Inequalities for quantum entropy: A review with conditions for equality | journal=Journal of Mathematical Physics | publisher=AIP Publishing | volume=43 | issue=9 | year=2002 | issn=0022-2488 | doi=10.1063/1.1497701 | pages=4358–4375| arxiv=quant-ph/0205064 | bibcode=2002JMP....43.4358R | s2cid=3051292 }} erratum 46, 019901 (2005)</ref> चर्चा के लिए।

== समानता का मामला ==

=== क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी असमानता की एकदिष्टता में समानता ===
In,<ref name="P86_1">{{cite journal | last=Petz | first=Dénes | title=Sufficient subalgebras and the relative entropy of states of a von Neumann algebra | journal=Communications in Mathematical Physics | publisher=Springer Science and Business Media LLC | volume=105 | issue=1 | year=1986 | issn=0010-3616 | doi=10.1007/bf01212345 | pages=123–131| bibcode=1986CMaPh.105..123P | s2cid=18836173 | url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104115260 }}</ref>पी. हेडन, आर. जोज़सा, डी. पेट्ज़ और ए. विंटर उन राज्यों का वर्णन किया जिनके लिए एसएसए में समानता है.<ref name="HJPW03">[[Patrick Hayden (scientist)|P. Hayden]], R. Jozsa, D. Petz, [[Andreas Winter|A. Winter]], Structure of States which Satisfy Strong Subadditivity of Quantum Entropy with Equality, Comm. Math. Phys. 246, 359–374 (2003).</ref>सभी राज्यों के लिए <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> हिल्बर्ट स्पेस पर <math>\mathcal{H}</math> और सभी क्वांटम ऑपरेटर <math>T: \mathcal{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{K})</math>,
:<math>  S(T\rho||T\sigma)= S(\rho||\sigma), </math>
अगर और केवल अगर कोई क्वांटम ऑपरेटर उपलब्ध है <math>\hat{T}</math> ऐसा है कि
:<math> \hat{T}T\sigma=\sigma,</math> और <math>\hat{T}T\rho=\rho.</math>
उन राज्यों का वर्णन किया जिनके लिए एसएसए में समानता है
:<math> \hat{T}\omega=\sigma^{1/2}T^*\Bigl((T\sigma)^{-1/2}\omega(T\sigma)^{-1/2} \Bigr)\sigma^{1/2}, </math>
जहाँ <math>T^*</math> का हर्मिटियन जोड़ है <math>T</math>.

डी. पेट्ज़ ने एक और शर्त भी रखी <ref name="P86_1" />जब समानता क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की एकदिष्टता में होती है: नीचे पहला कथन। इसमें विभेद करना <math>t=0</math> हमारी दूसरी शर्त है। इसके अलावा, एम.बी. रुसकई ने दूसरे कथन का एक और प्रमाण दिया।

सभी राज्यों के लिए <math>\rho</math> और <math>\sigma</math> पर <math>\mathcal{H}</math> और सभी क्वांटम ऑपरेटर <math>T: \mathcal{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{K})</math>,
:<math> S(T\rho||T\sigma)= S(\rho||\sigma),</math>
यदि और केवल यदि निम्नलिखित समतुल्य शर्तें पूरी होती हैं:
* <math> T^*(T(\rho)^{it}T(\sigma)^{it})=\rho^{it}\sigma^{-it}</math> सभी वास्तविक के लिए <math>t</math>.
*<math> \log\rho-\log\sigma=T^*\Bigl(\log T(\rho)-\log T(\sigma) \Bigr).</math>
जहाँ <math>T^*</math> का संलग्न मानचित्र है <math>T</math>.

=== सशक्त उप-विषमता असमानता में समानता ===
पैट्रिक हेडन (वैज्ञानिक)|पी. हेडन, आर. जोज़सा, डी. पेट्ज़ और एंड्रियास विंटर|ए. विंटर ने उन राज्यों का वर्णन किया जिनके लिए एसएसए में समानता है।.<ref name="HJPW03">[[Patrick Hayden (scientist)|P. Hayden]], R. Jozsa, D. Petz, [[Andreas Winter|A. Winter]], Structure of States which Satisfy Strong Subadditivity of Quantum Entropy with Equality, Comm. Math. Phys. 246, 359–374 (2003).</ref>
एक राज्य <math>\rho^{ABC}</math> हिल्बर्ट स्पेस पर <math>\mathcal{H}^A\otimes\mathcal{H}^B\otimes\mathcal{H}^C</math> समानता के साथ सशक्त उप-विघटन को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर दूसरी प्रणाली का अपघटन होता है
:<math> \mathcal{H}^B=\bigoplus_j \mathcal{H}^{B^L_j}\otimes \mathcal{H}^{B^R_j} </math>
टेंसर उत्पादों के प्रत्यक्ष योग में, जैसे कि
:<math> \rho^{ABC}=\bigoplus_j q_j\rho^{AB^L_j}\otimes\rho^{B^R_jC},</math>
राज्यों के साथ <math>\rho^{AB^L_j}</math> पर <math>\mathcal{H}^A\otimes\mathcal{H}^{B^L_j}</math> और <math>\rho^{B^R_jC}</math> पर <math>\mathcal{H}^{B^R_j}\otimes\mathcal{H}^C</math>, और एक संभाव्यता वितरण <math>\{q_j\}</math>.









== कार्लेन-लीब एक्सटेंशन ==
इलियट एच. लिब|ई. एच. लिब और एरिक एंडर्स कार्लेन. ई.ए. कार्लेन ने एसएसए असमानता में एक स्पष्ट त्रुटि शब्द पाया है,<ref name=":0" />अर्थात्,

<math>S(\rho^{12})+S(\rho^{23})-S(\rho^{123})-S(\rho^2) \geq 2\max \{0, S(\rho^1)-S(\rho^{13}), S(\rho^3)-S(\rho^{13})\}</math>अगर <math>S(\rho^1)-S(\rho^{13})\leq 0</math> और <math>S(\rho^3)-S(\rho^{13})\leq 0</math>, जैसा कि चिरसम्मत शैनन एन्ट्रापी के मामले में हमेशा होता है, इस असमानता के बारे में कुछ नहीं कहना है। दूसरी ओर, क्वांटम एन्ट्रापी के लिए, यह बहुत संभव है कि सशर्त एन्ट्रापी संतुष्ट हों <math>-S(\rho^{13}|\rho^1)=S(\rho^1)-S(\rho^{13})>0</math> या <math>-S(\rho^{13}|\rho^3)=S(\rho^3)-S(\rho^{13})>0</math> (लेकिन दोनों कभी नहीं!)। फिर, इस अत्यधिक क्वांटम व्यवस्था में, यह असमानता अतिरिक्त जानकारी प्रदान करती है।

स्थिरांक 2 इष्टतम है, इस अर्थ में कि 2 से बड़े किसी भी स्थिरांक के लिए, कोई ऐसी स्थिति खोज सकता है जिसके लिए उस स्थिरांक के साथ असमानता का उल्लंघन किया जाता है।

== सशक्त उप-विस्तार का संचालक विस्तार ==
उनके पेपर में <ref name="K12">I. Kim, Operator Extension of Strong Subadditivity of Entropy, {{arXiv|1210.5190}} (2012).</ref> I. किम ने निम्नलिखित असमानता को साबित करते हुए सशक्त उप-विस्तार के एक ऑपरेटर विस्तार का अध्ययन किया:

त्रि-पक्षीय स्थिति (घनत्व  आव्यूह) के लिए  <math>\rho^{123}</math> पर <math>\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2\otimes\mathcal{H}^3</math>,
:<math> Tr_{12}\Bigl(\rho^{123}(-\log(\rho^{12})-\log(\rho^{23})+\log(\rho^2)+\log(\rho^{123}))\Bigr) \geq 0.</math>
इस असमानता का प्रमाण ट्रेस असमानताओं पर आधारित है एफ़्रोस की प्रमेय और इसका विस्तार| एफ़्रोस की प्रमेय,<ref>{{cite journal | last1 = Effros | first1 = E. G. | year = 2009 | title = कुछ प्रसिद्ध क्वांटम असमानताओं के लिए एक मैट्रिक्स उत्तल दृष्टिकोण| journal = Proc. Natl. Acad. Sci. USA | volume = 106 | issue = 4| pages = 1006–1008 | doi = 10.1073/pnas.0807965106 | pmid = 19164582 | pmc = 2633548 | arxiv = 0802.1234 | bibcode = 2009PNAS..106.1006E | doi-access = free }}</ref> जिसके लिए उपरोक्त असमानता को प्राप्त करने के लिए विशेष कार्यों और ऑपरेटरों को चुना जाता है। एम.बी. रुस्कई ने इस कार्य का विस्तार से वर्णन किया है <ref name="R12">M. B. Ruskai, Remarks on Kim’s Strong Subadditivity Matrix Inequality: Extensions and Equality Conditions, {{arXiv|1211.0049}} (2012).</ref> और चर्चा करता है कि कैसे त्रि-पक्षीय और द्वि-पक्षीय स्थितयो में नई आव्यूह असमानताओं की एक बड़ी श्रेणी को साबित करने के लिए सभी स्थानों में से एक पर आंशिक निशान लगाकर।

== पुनर्प्राप्ति योग्यता के संदर्भ में सशक्त उप-विस्तार का विस्तार ==

2014 में सशक्त उप-विषमता का एक महत्वपूर्ण सुदृढ़ीकरण साबित हुआ था,<ref>O. Fawzi, R. Renner. Quantum conditional mutual information and approximate Markov chains. Communications in Mathematical Physics: 340, 2 (2015)</ref> जिसमें बाद में सुधार किया गया <ref>M. M. Wilde. Recoverability in quantum information theory. Proceedings of the Royal Society A, vol. 471, no. 2182, page 20150338 October 2015</ref> और।<ref>Marius Junge, Renato Renner, David Sutter, Mark M. Wilde, Andreas Winter. Universal recovery maps and approximate sufficiency of quantum relative entropy. Annales Henri Poincare, vol. 19, no. 10, pages 2955--2978, October 2018 {{arXiv|1509.07127}}</ref> 2017 में,<ref>{{cite arXiv|last1=Carlen|first1=Eric A.|last2=Vershynina|first2=Anna|date=2017-10-06|title=डेटा प्रोसेसिंग असमानता के लिए पुनर्प्राप्ति मानचित्र स्थिरता|eprint=1710.02409|class=math.OA}}</ref> यह दिखाया गया था कि रिकवरी चैनल को मूल पेट्ज़ रिकवरी मैप के रूप में लिया जा सकता है। सशक्त उप-विषमता के इन सुधारों की पुनर्प्राप्ति के संदर्भ में भौतिक व्याख्या है, जिसका अर्थ है कि यदि सशर्त पारस्परिक जानकारी <math>I(A;B|E)=S(AE) + S(BE) - S(E) - S(ABE)</math> एक त्रिपक्षीय क्वांटम राज्य की <math>\rho_{ABE}</math> लगभग शून्य के बराबर है, तो पुनर्प्राप्ति चैनल निष्पादित करना संभव है <math>\mathcal{R}_{E\to AE}</math> (सिस्टम ई से एई तक) ऐसा है <math>\rho_{ABE} \approx \mathcal{R}_{E\to AE}(\rho_{BE})</math>. इस प्रकार ये परिणाम ऊपर उल्लिखित सटीक समानता शर्तों को सामान्यीकृत करते हैं।

== यह भी देखें ==
* वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी
* सशर्त क्वांटम एन्ट्रापी
* क्वांटम पारस्परिक जानकारी
* कुलबैक-लीब्लर डाइवर्जेंस

==संदर्भ==
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