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गणित में, एक अधिवेशन आव्यूह (जिसे C-आव्यूह भी कहा जाता है) एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] ''C'' है, जिसमें विकर्ण पर 0 और विकर्ण पर +1 और -1 है, जैसे कि ''C''<sup>T</sup>C तत्समक आव्यूह का गुणक है। इस प्रकार, यदि आव्यूह का क्रम n,  ''C''<sup>T</sup>''C'' = (''n''−1)''I'' हैI कुछ लेखक अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हैं, जिसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में एक 0 हो, लेकिन आवश्यक नहीं कि विकर्ण पर हो।<ref>{{cite journal | doi = 10.1016/j.jcta.2005.05.005 | volume=113 | issue=4 | title= On the coexistence of conference matrices and near resolvable 2-(2k+1,k,k-1) designs | year=2006 | journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A | pages=703–711 | author=Greig Malcolm| doi-access=free }}</ref><ref name="Gropp">{{cite journal | author = Gropp Harald | year = 2004 | title = कक्षीय मेट्रिसेस पर अधिक| journal = Electronic Notes in Discrete Mathematics | volume = 17 | pages = 179–183 | doi = 10.1016/j.endm.2004.03.036 }}</ref>

[[ टेलीफ़ोनी |दूरभाषण]] में एक समस्या के संबंध में सबसे पहले अधिवेशन आव्यूह सामने आए। <ref name="Belevitch">Belevitch, pp. 231-244.</ref> उन्हें सबसे पहले [[विटोल्ड बेलेविच]] ने वर्णित किया, जिन्होंने उन्हें अपना नाम भी दिया। बेलेविच को आदर्श [[ट्रांसफार्मर|परिणामित्र]] से आदर्श [[टेलीफोन वार्ता]] संजाल बनाने में संबद्ध थी और उन्होंने पाया कि इस तरह के संजाल को अधिवेशन आव्यूह द्वारा दर्शाया गया था <ref>Colbourn and Dinitz, (2007), p.19<br />van Lint and Wilson, (2001), p.98<br />Stinson, (2004), p.200</ref> अन्य अनुप्रयोग सांख्यिकी में हैं,<ref name="Raghavarao">{{cite journal |author=Raghavarao, D. |year=1959 |title=कुछ इष्टतम वजन डिजाइन|journal=[[Annals of Mathematical Statistics]] |volume=30 |issue=2 |pages=295–303 |doi=10.1214/aoms/1177706253 |mr=0104322|doi-access=free }}</ref> और दूसरा [[अण्डाकार ज्यामिति]] में है।<ref name="vL">{{cite journal | author = van Lint J.H., Seidel J.J. | year = 1966 | title = अण्डाकार ज्यामिति में समबाहु बिंदु सेट| journal = Indagationes Mathematicae | volume = 28 | pages = 335–348 }}</ref> 

n > 1 के लिए, अधिवेशन आव्यूह दो तरह के होते हैं। आइए C को सामान्य करें, पहले (यदि अधिक सामान्य परिभाषा का उपयोग किया जाता है), पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि सभी शून्य विकर्ण पर हों, और फिर किसी भी पंक्ति या स्तंभ को अस्वीकार कर दें जिसकी पहली प्रविष्टि नकारात्मक है। (ये संचालन नहीं बदलते हैं कि आव्यूह एक अधिवेशन आव्यूह है या नहीं।)

इस प्रकार, सामान्यीकृत अधिवेशन आव्यूह में शीर्ष बाएं कोने में 0 को छोड़कर, इसकी पहली पंक्ति और स्तम्भ में सभी 1 हैं, और विकर्ण पर 0 है। S को वह आव्यूह होने दें जो C की पहली पंक्ति और स्तंभ को हटा दिए जाने पर बना रहता है। फिर या तो n एकल और दोगुना सम (4 का एक गुणक) है, और S प्रति[[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] है (जैसा कि सामान्यीकृत C है यदि इसकी पहली पंक्ति को नकारा गया है), या n एकल और दोगुना भी है (2 सापेक्ष 4 के अनुरूप) और S सममित आव्यूह है (जैसा सामान्यीकृत C है)।

== सममित सम्मेलन आव्यूह ==

यदि C क्रम n > 1 का एक सममित अधिवेशन आव्यूह है, तो n को न केवल 2 (mod 4) के अनुरूप होना चाहिए, बल्कि n − 1 को भी दो वर्ग पूर्णांकों का योग होना चाहिए; <ref>Belevitch, p.240</ref> वैन लिंट और सेडेल में प्राथमिक आव्यूह सिद्धांत द्वारा एक चतुर प्रमाण है।<ref name="vL" /> n हमेशा दो वर्गों का योग होगा यदि n − 1 एक अभाज्य शक्ति है। <ref>Stinson, p.78</ref> एक सममित अधिवेशन आव्यूह को देखते हुए, आव्यूह S को लेखाचित्र (असतत गणित) के सेडेल आसन्न आव्यूह के रूप में देखा जा सकता है। लेखाचित्र में n − 1 शीर्ष हैं, जो S की पंक्तियों और स्तंभों के अनुरूप हैं, और यदि S में संगत प्रविष्टि ऋणात्मक है, तो दो शीर्ष आसन्न हैं। यह लेखाचित्र [[सम्मेलन ग्राफ|सम्मेलन लेखाचित्र]] (आव्यूह के बाद) नामक प्रकार का [[दृढ़ता से नियमित ग्राफ|अधिवेशन]] लेखाचित्र है।

उपरोक्त प्रतिबंधों द्वारा अनुमत अनुक्रम n के अधिवेशन आव्यूह का अस्तित्व केवल n के कुछ मानों के लिए जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि n = q + 1 जहां q 1 (मॉड 4) के अनुरूप एक प्रमुख शक्ति है, तो पाले लेखाचित्र S को पाले लेखाचित्र के सेडेल आव्यूह होने के लिए अनुक्रम n के सममित सम्मेलन आव्यूह के उदाहरण प्रदान करते हैं। एक सममित अधिवेशन आव्यूह के पहले कुछ संभावित अनुक्रम n = 2, 6, 10, 14, 18, (22 नहीं, क्योंकि 21 दो वर्गों का योग नहीं है), 26, 30, (34 नहीं क्योंकि 33 दो वर्गों का योग नहीं है), 38, 42, 46, 50, 54, (58 नहीं), 62 {{OEIS|id=A000952}} हैं; इनमें से प्रत्येक के लिए, यह ज्ञात है कि उस क्रम का एक सममित सम्मेलन आव्यूह उपस्थित है। अनुक्रम 66 एक अनिर्णित समस्या प्रतीत होती है।

=== उदाहरण ===
अनुक्रम 6 का [[अनिवार्य रूप से अद्वितीय]] सम्मेलन आव्यूह द्वारा दिया गया है
:<math>\begin{pmatrix}0 &+1 &+1 &+1 &+1& +1\\+1& 0 &+1 &-1 &-1& +1\\+1& +1& 0 &+1 &-1& -1\\+1& -1& +1& 0 &+1& -1\\+1& -1& -1& +1& 0& +1\\+1& +1& -1& -1& +1& 0 \end{pmatrix}</math>,
अनुक्रम 6 के अन्य सभी अधिवेशन आव्यूह कुछ पंक्ति और/या स्तम्भ के संकेतों को प्रतिवर्न करके (और उपयोग में परिभाषा के अनुसार पंक्तियों और/या स्तम्भ के क्रमपरिवर्तन लेकर) प्राप्त किए जाते हैं।

== प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह ==

पाले निर्माण द्वारा [[एंटीसिमेट्रिक मेट्रिसेस|प्रतिसममित आव्यूह]] भी तैयार किए जा सकते हैं। मान लीजिये Q अवशेष 3 (मॉड 4) के साथ एक प्रमुख शक्ति है। फिर अनुक्रम q का एक पाले लेखाचित्र है जो अनुक्रम n = q + 1 के एक प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह की ओर जाता है। आव्यूह S के लिए q × q आव्यूह ले कर प्राप्त किया जाता है जिसकी स्थिति (i, j) में +1 है और (j,i) स्थिति में  −1। यदि i से j तक डिग्राफ का एक चाप है, और शून्य विकर्ण है। फिर C का निर्माण S से ऊपर के रूप में किया गया है, लेकिन पहली पंक्ति के साथ सभी नकारात्मक, एक प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह है।

यह निर्माण निर्णय लेने की समस्या का केवल एक छोटा सा हिस्सा हल करता है जिसके लिए समान रूप से n संख्याएँ n क्रम के प्रतिसममित अधिवेशन आव्यूह उपस्थित हैं।

== सामान्यीकरण ==
कभी-कभी क्रम n के अधिवेशन आव्यूह को केवल W(n, n−1) के रूप के भार आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां W(n,w) को भार w>0 और क्रम n का कहा जाता है, यदि यह आकार n का एक [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर आव्यूह]] है जिसमें {−1, 0, +1} की प्रविष्टियाँ W Wt = w I को संतुष्ट करती हैं।<sup><ref name="Gropp" /> इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, शून्य तत्व को विकर्ण पर होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह देखना आसान है कि फिर भी प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ में ठीक एक शून्य तत्व होना चाहिए। उदाहरण के लिए, आव्यूह
:<math>\begin{pmatrix}1& 0& 1& 1\\0& -1& -1& 1\\ 1& -1& 0& -1\\ 1& 1& -1& 0 \end{pmatrix}</math>
इस शिथिल परिभाषा को संतुष्ट करेगा, लेकिन अधिक यथार्थ नहीं, जिसके लिए शून्य तत्वों को विकर्ण पर होना आवश्यक है।

अधिवेशन अभिकल्पना गैर-आयताकार आव्यूह के लिए अधिवेशन आव्यूह का सामान्यीकरण है। सम्मेलन अभिकल्पना C एक <math>N \times k</math> आव्यूह है, {-1, 0, +1} से प्रविष्टियों के साथ संतोषजनक <math>W^T W = (N-1) I_k</math>, जहाँ <math>I_k</math> <math>k \times k</math> तत्समक आव्यूह और प्रत्येक पंक्ति में अधिकतम एक शून्य है। अधिवेशन अभिकल्पनाओं के फोल्डओवर अभिकल्पनाओं को निश्चित प्रतिच्छादन अभिकल्पनाओं के रूप में उपयोग किया जा सकता है।<ref>Xiao et al. (2012)</ref><ref>Schoen et al. (2018)</ref>


== टेलीफोन अधिवेशन परिपथ ==
[[File:Conference matrix 2-port.svg|thumb|100px|तुच्छ 2-प्रद्वार सम्मेलन संजाल]]बेलेविच ने 38 तक n के सभी मूल्यों के लिए अधिवेशन आव्यूह के लिए पूर्ण समाधान प्राप्त किया और कुछ छोटे आव्यूह के लिए परिपथ प्रदान किए। एक आदर्श अधिवेशन संजाल वह है जहां संकेत का हानि पूरी तरह से कई अधिवेशन अनुमोदनकर्ता प्रद्वार के बीच संकेत के विभाजन के कारण होता है। यही है, संजाल के भीतर कोई अपव्यय हानि नहीं होती है। संजाल में केवल आदर्श परिवर्तक होने चाहिए और कोई प्रतिरोध नहीं होना चाहिए। एक n-प्रद्वार आदर्श अधिवेशन संजाल उपस्थित है अगर और केवल तभी अनुक्रम n के अधिवेशन आव्यूह उपस्थित हैं। उदाहरण के लिए, दूरभाष हैंडसेट और लाइन पुनरावर्तक में 2-तंत्रिका से 4-तंत्रिका रूपांतरण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रसिद्ध [[संकर परिवर्तक]] परिपथ के साथ 3-प्रद्वार अधिवेशन संजाल का निर्माण किया जा सकता है। हालाँकि, कोई अनुक्रम 3 अधिवेशन आव्यूह नहीं है और यह परिपथ एक आदर्श अधिवेशन संजाल नहीं बनाता है। सुमेलन के लिए एक प्रतिरोधक क्षमता की आवश्यकता होती है जो संकेत को खत्म कर देता है, वरना अवतरण के कारण संकेत खो जाता है।<ref>बेलेविच, pp.240-242</ref>
{{Gallery
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|height=300
|File:Conference matrix 6-port.svg|बेलेविच का 6-प्रद्वार आदर्श सम्मेलन संजाल का कार्यान्वयन
|File:Conference matrix 10-port.svg|बेलेविच का 10-प्रद्वार आदर्श सम्मेलन संजाल का कार्यान्वयन}}
जैसा ऊपर बताया गया है, सम्मेलन आव्यूह के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक स्तिथि यह है कि n−1 दो वर्गों का योग होना चाहिए। जहां n-1 के लिए दो वर्गों का एक से अधिक संभावित योग है, वहां संबंधित अधिवेशन संजाल के लिए कई अनिवार्य रूप से अलग-अलग समाधान उपस्थित होंगे। यह स्थिति 26 और 66 के n पर होती है। संजाल विशेष रूप से सरल होते हैं जब n−1 एक पूर्ण वर्ग (n = 2, 10, 26, ...) होता है।<ref>Belevitch, p.242</ref>


==टिप्पणियाँ==
{{reflist}}


==संदर्भ==
* {{cite journal | author = Belevitch V | year = 1950 | title = Theory of 2''n''-terminal networks with applications to conference telephony | journal = Electrical Communication | volume = 27 | pages = 231–244 }}
* {{cite journal | author = Goethals J.M., Seidel J.J. | year = 1967 | title = Orthogonal matrices with zero diagonal | journal = Canadian Journal of Mathematics | volume = 19 | pages = 1001–1010 | doi=10.4153/cjm-1967-091-8| s2cid = 197456608 }}
* {{cite journal | author = लिली ξ एओ और डेनिस के.जे. लिन और एफ इंग्लैंड और एनबी | year = 2012 | title = कॉन्फ़्रेंस मैट्रिसेस का उपयोग करके निश्चित स्क्रीनिंग डिज़ाइन का निर्माण | journal = गुणवत्ता प्रौद्योगिकी जर्नल | volume = 44 | pages = 2–8 | number = 1 | doi =10.1080/00224065.2012.11917877| s2cid = 116145147 }}
* Seidel, J.J. (1991), ed. [[Derek Corneil|D.G. Corneil]] and R. Mathon, <cite>Geometry and Combinatorics: Selected Works of J.J. Seidel</cite>.  Boston: Academic Press.  Several of the articles are related to conference matrices and their graphs.
*Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007) ''Handbook of Combinatorial Designs'', Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC Press, {{ISBN|1-58488-506-8}}.
*वैन लिंट, जेकोबस हेंड्रिकस, विल्सन, रिचर्ड माइकल (2001) ए कोर्स इन कॉम्बिनेटरिक्स, कैम्ब्रिज: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, {{ISBN|0-521-00601-5}}.
*स्टिन्सन, डगलस रॉबर्ट (2004) मिश्रित डिजाइन: निर्माण और विश्लेषण, न्यूयॉर्क: स्प्रिंगर, {{ISBN|0-387-95487-2}}.
* {{cite journal | title = निश्चित स्क्रीनिंग डिजाइनों के लिए एक वर्गीकरण मानदंड | author = एरिक डी. स्कोएन, पीटर टी. ईन्डेबैक, पीटर गूस | year=2018 | journal=एनल्स ऑफ स्टैटिस्टिक्स}}


==अग्रिम पठन==
* N. A. Balonin, Jennifer Seberry, [https://ro.uow.edu.au/cgi/viewcontent.cgi?referer=&httpsredir=1&article=3757&context=eispapers "A Review and New Symmetric Conference Matrices"], ''Research Online'', University of Wollongong, 2014. Appendix lists all known and possible conference matrices up to 1002.

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