View source for काक्सीोप्पोलि (Caccioppoli) समुच्चय

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[[गणित]] में, '''काक्सीोप्पोलि (Caccioppoli) समुच्चय''' एक ऐसा [[समुच्चय सिद्धान्त|समुच्चय]] है जिसकी सीमा मापी जा सकती है और (कम से कम स्थानीय रूप से) एक परिमित माप है। पर्याय (स्थानीय रूप से) परिमित परिधि का एक समूह है। मूल रूप से, एक समुच्चय एक कैसिओपोली समुच्चय होता है यदि इसकी [[:hi:सूचक फलन|विशेषता कार्य]] परिबद्ध भिन्नता का कार्य है ।

== इतिहास ==
काक्सीोप्पोलि समुच्चय की मूल अवधारणा को पहली बार इतालवी गणितज्ञ [[:hi:रेनाटो कैसिओपोली|रेनाटो काक्सीोप्पोलि]] द्वारा पेपर (काक्सीोप्पोलि 1927) में प्रस्तुत किया गया था: एक विमान समुच्चय या [[सतह (गणित)|सतह]] में एक [[खुले सेट|खुले समुच्चय]] पर परिभाषित [[:hi:पृष्ट|सतह]] पर विचार करते हुए, उन्होंने उनके [[माप]] या [[:hi:क्षेत्रफल|क्षेत्र]] को [[:hi:कुल भिन्नता|कुल भिन्नता]] के रूप में परिभाषित किया। उनके परिभाषित [[:hi:फलन|कार्यों]] के [[:hi:लियोनिडा टोनेली|टोनेली]] के अर्थ में, यानी उनके [[:hi:पृष्ट|पैरामीट्रिक समीकरणों]] की, ''परंतु यह मात्रा [[:hi:परिबद्ध भिन्नता|सीमित]] थी'' । ''एक समुच्चय की सीमा के माप को एक '''कार्यात्मक''''', सटीक रूप से एक [[:hi:समारोह सेट करें|समुच्चय फलन]] के रूप में परिभाषित किया गया था, पहली बार: [[:hi:खुला सेट|खुले समुच्चयों]] पर भी परिभाषित किया जा रहा है, इसे सभी [[:hi:बोरेल सेट|बोरेल समुच्चयों]] पर परिभाषित किया जा सकता है और इसके मूल्य को मूल्यों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है [[:hi:उपसमुच्चय|उपसमुच्चयों]] का बढ़ता [[:hi:नेट (गणित)|जाल]] ग्रहण करता है। इस कार्यात्मक की एक और स्पष्ट रूप से बताई गई (और प्रदर्शित) संपत्ति इसकी ''[[निचली अर्ध-निरंतरता]]'' थी।


पेपर में {{Harv|Caccioppoli|1928}}), उन्होंने खुले डोमेन का अनुमान लगाने वाले त्रिकोणीय जाल का उपयोग करके धनात्मक और ऋणात्मक अंतर को परिभाषित किया, जिसका योग कुल भिन्नता है, अर्थात क्षेत्र ''फलनात्मक है''। उनका प्रेरक दृष्टिकोण, जैसा कि उन्होंने स्पष्ट रूप से स्वीकार किया, [[ग्यूसेप पीआनो]] के थे, जैसा कि [[:hi:जॉर्डन माप|पीआनो-जॉर्डन माप]] द्वारा व्यक्त किया गया था: ''एक सतह के हर हिस्से को एक [[:hi:अभिविन्यास (गणित)|उन्मुख]] विमान क्षेत्र से उसी तरह से जोड़ने के लिए जैसे एक [[:hi:जीवा|सन्निकट जीवा]] एक वक्र से जुड़ा होता है।'' इसके अलावा, इस सिद्धांत में पाया गया एक अन्य विषय एक [[:hi:रैखिक उपस्थान|उप-स्थान]] से पूरे [[:hi:सदिश बीजगणित|परिवेश स्थान]] के लिए ''एक [[:hi:कार्यात्मक (गणित)|कार्यात्मक]] का विस्तार'' था: [[हैन-बनाक प्रमेय]] को सामान्य करने वाले प्रमेयों का उपयोग अक्सर कैसिओपोली अनुसंधान में पाया जाता है। हालांकि, [[:hi:लियोनिडा टोनेली|टोनेली]] के अर्थ में [[:hi:कुल भिन्नता|कुल भिन्नता]] के प्रतिबंधित अर्थ ने सिद्धांत के औपचारिक विकास में बहुत जटिलता जोड़ दी, और समुच्चय के पैरामीट्रिक विवरण के उपयोग ने इसके दायरे को प्रतिबंधित कर दिया।

[[:hi:लैम्बर्टो केसरी|लैंबर्टो केसरी]] ने केवल 1936 में कई चर के मामले [[:hi:परिबद्ध भिन्नता|में परिबद्ध भिन्नता के कार्यों के]] "सही" सामान्यीकरण की शुरुआत की:<ref>In the paper {{harv|Cesari|1936}}. See the entries "[[परिबद्ध भिन्नता|Bounded variation]]" and "[[कुल भिन्नता|Total variation]]" for more details.</ref> शायद, यह उन कारणों में से एक था जिसने कैसियोपोली को अपने सिद्धांत का एक उन्नत संस्करण प्रस्तुत करने के लिए लगभग 24 साल बाद ही प्रेरित किया। अक्टूबर 1951 में आईवी [[:hi:इतालवी गणितीय संघ|यूएमआई]] कांग्रेस में टॉक (काक्सीोप्पोलि 1953) में, उसके बाद [[:hi:एकेडेमिया नाजियोनेल देई लिंसी|एकेडेमिया नाजियोनेल देई लिन्सी]] के [https://web.archive.org/web/20061227050646/http://www.lincei.it/pubblicazioni/rendicontiFMN/inizio_eng.html रेंडिकोंटी] में पांच नोट्स प्रकाशित हुए। [[:hi:गणितीय समीक्षा|गणितीय समीक्षाओं]] में [[:hi:लॉरेंस चिशोल्म यंग|लॉरेंस चिशोल्म यंग]] द्वारा इन नोटों की तीखी आलोचना की गई थी।<ref>See {{MR|56067}}</ref>

1952 में [[:hi:एन्नियो डी जियोर्गी|एन्नियो डी जियोर्गी]] ने ऑस्ट्रियन मैथमैटिकल सोसाइटी के [[साल्ज़बर्ग]] कांग्रेस में समुच्चय की सीमाओं की माप की परिभाषा पर काक्सीोप्पोलि के विचारों को विकसित करते हुए अपना पहला परिणाम प्रस्तुत किया: उन्होंने एक स्मूथिंग ऑपरेटर का उपयोग करके यह परिणाम प्राप्त किया, जो एक [[मोलिफायर]] के अनुरूप था।, [[:hi:गाऊसी समारोह|गॉसियन फलन]] से निर्मित, स्वतंत्र रूप से काक्सीोप्पोलि के कुछ परिणामों को साबित करता है। संभवत: वह अपने शिक्षक और मित्र [[मौरो पिकोने]] द्वारा इस सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए नेतृत्व किया गया था, जो कैसिओपोली के शिक्षक भी थे और इसी तरह उनके दोस्त भी थे। डी जियोर्गी ने पहली बार 1953 में कैसियोपोली से मुलाकात की: उनकी मुलाकात के दौरान, कैसिओपोपोली ने उनके काम की गहन सराहना की, जिससे उनकी आजीवन दोस्ती शुरू हुई। <ref>It lasted up to the tragic death of Caccioppoli in 1959.</ref> उसी वर्ष उन्होंने इस विषय पर अपना पहला पेपर प्रकाशित किया (डी जियोर्गी 1953) : हालांकि, इस पेपर और इसके बाद के पेपर ने गणितीय समुदाय से ज्यादा रुचि नहीं ली। यह केवल पेपर  के साथ था, गणितीय समीक्षा में लॉरेंस चिशोल्म यंग द्वारा फिर से समीक्षा की गई, <ref>See {{MR|0062214}}.</ref> कि परिमित परिधि के समुच्चय के लिए उनका दृष्टिकोण व्यापक रूप से जाना और सराहा गया: साथ ही, समीक्षा में, यंग ने अपने पिछले को संशोधित किया काक्सीोप्पोलि के काम पर आलोचना हुई थी ।

परिधि के सिद्धांत पर डी जियोर्गी का अंतिम पेपर 1958 में प्रकाशित हुआ था: 1959 में, काकियोपोली की मृत्यु के बाद, उन्होंने परिमित परिधि के समुच्चय को कॉल करना शुरू किया। दो साल बाद [[हर्बर्ट फेडरर]] और [[वेंडेल फ्लेमिंग]] ने अपना पेपर प्रकाशित किया {{Harv|फेडरर|फ्लेमिंग|1960}}, सिद्धांत के दृष्टिकोण को बदलना। मूल रूप से उन्होंने दो नए प्रकार के [[वर्तमान (गणित)]] प्रस्तुत किए, क्रमशः सामान्य धाराएँ और अभिन्न धाराएँ: पत्रों की एक बाद की श्रृंखला में और उनके प्रसिद्ध ग्रंथ में,<ref>See {{Harv|Federer|1996}}.</ref> फेडरर ने दिखाया कि कैसीओपोली समुच्चय आयाम के सामान्य वर्तमान (गणित) हैं <math>n</math> में <math>n</math>-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] स्थान। हालाँकि, भले ही कैकियोपोली समुच्चय के सिद्धांत का अध्ययन वर्तमान (गणित) के सिद्धांत के ढांचे के भीतर किया जा सकता है, यह पारंपरिक दृष्टिकोण के माध्यम से परिबद्ध भिन्नता का उपयोग करके अध्ययन करने के लिए प्रथागत है, क्योंकि विभिन्न खंड गणित में बहुत सारे महत्वपूर्ण [[प्रबंध]] में पाए जाते हैं। और [[गणितीय भौतिकी]] प्रमाण देते हैं।<ref>See the "[[Caccioppoli set#References|References]]" section.</ref>

== औपचारिक परिभाषा ==
निम्नलिखित में, सीमाबद्ध भिन्नता की परिभाषा और गुण <math>n</math>-आयामी समुच्चयिंग का उपयोग किया जाएगा।

=== काक्सीोप्पोलि परिभाषा ===
परिभाषा 1. चलो ''<math>\Omega</math>का एक [[खुला उपसमुच्चय|खुला (ओपन ) उपसमुच्चय]] हो <math>\R^n </math> और जाने <math>E</math> बोरेल समुच्चय हो। की परिधि <math>E</math> में <math>\Omega</math>निम्नानुसार परिभाषित किया गया है''

:<math>P(E,\Omega) = V\left(\chi_E,\Omega\right):=\sup\left\{\int_\Omega \chi_E(x) \mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x : \boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\R^n),\ \|\boldsymbol{\phi}\|_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\}
</math>
कहाँ पे <math>\chi_E</math> का सूचक कार्य है <math>E</math>. यानी की परिधि <math>E</math> एक खुले समुच्चय में <math>\Omega</math> उस खुले समुच्चय पर इसके संकेतक  फलन की कुल भिन्नता के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि <math>\Omega = \R^n</math>, फिर हम लिखते हैं <math>P(E) = P(E,\R^n)</math> (वैश्विक) परिधि के लिए।

परिभाषा 2. बोरेल समुच्चय <math>E</math> एक काक्सीोप्पोलि समुच्चय है यदि और केवल यदि इसकी प्रत्येक परिबद्ध समुच्चय खुले उपसमुच्चय में परिमित परिधि है <math>\Omega</math> का <math>\R ^n </math>, अर्थात।

:<math>P(E,\Omega)<+\infty</math> जब भी <math>\Omega \subset \R^n</math> खुला और घिरा हुआ है।

इसलिए, काक्सीोप्पोलि समुच्चय में एक संकेतक  फलन होता है जिसकी कुल भिन्नता स्थानीय रूप से बंधी होती है। परिबद्ध भिन्नता के सिद्धांत से यह ज्ञात है कि इसका तात्पर्य एक [[यूक्लिडियन वेक्टर]] | वेक्टर-मूल्यवान [[रेडॉन माप]] के अस्तित्व से है <math>D\chi_E</math> ऐसा है कि

:<math>\int_\Omega\chi_E(x)\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x)\mathrm{d}x = \int_E\mathrm{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = -\int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle \qquad \forall\boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega,\R ^n)</math>
जैसा कि सामान्य परिबद्ध भिन्नता के मामले में नोट किया गया है, यह सदिश माप (गणित) <math>D\chi_E</math> वितरण है (गणित) # परीक्षण कार्यों और वितरण की परिभाषा या [[कमजोर व्युत्पन्न]] [[ढाल]] <math>\chi_E</math>. के साथ जुड़े कुल भिन्नता उपाय <math>D\chi_E</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>|D\chi_E|</math>, यानी हर खुले समुच्चय के लिए <math>\Omega \subset \R^n</math> हम लिखते हैं <math>|D\chi_E|(\Omega)</math> के लिये <math>P(E, \Omega) = V(\chi_E, \Omega)</math>.

=== डी जियोर्गी परिभाषा ===
उसके पत्रों में {{Harv|डी जियोर्गी|1953}} तथा {{Harv|डी जियोर्गी|1954}}, [[Ennio de Giorgi|एन्नियो डी जियोर्गी]] ने निम्नलिखित [[चौरसाई ऑपरेटर]] का परिचय दिया, जो एक-[[आयाम (गणित)]] मामले में [[वेइरस्ट्रास रूपांतरण]] के अनुरूप है

:<math>W_\lambda\chi_E(x)=\int_{\R ^n}g_\lambda(x-y)\chi_E(y)\mathrm{d}y = (\pi\lambda)^{-\frac{n}{2}}\int_Ee^{-\frac{(x-y)^2}{\lambda}}\mathrm{d}y</math>
जैसा कि कोई आसानी से साबित कर सकता है, <math>W_\lambda\chi(x)</math> सभी के लिए एक सहज कार्य है <math>x\in\R^n</math>, ऐसा है कि

:<math>\lim_{\lambda\to 0}W_\lambda\chi_E(x)=\chi_E(x)</math>
इसके अलावा, इसकी ढाल हर जगह अच्छी तरह से परिभाषित है, और इसका पूर्ण मूल्य भी है

:<math>\nabla W_\lambda\chi_E(x) = \mathrm{grad}W_\lambda\chi_E(x) = DW_\lambda\chi_E(x) = 
\begin{pmatrix}\frac{\partial W_\lambda\chi_E(x)}{\partial x_1}\\ \vdots\\ \frac{\partial W_\lambda\chi_E(x)}{\partial x_n}\\ \end{pmatrix} 
\Longleftrightarrow
\left | DW_\lambda\chi_E(x)\right | = \sqrt{\sum_{k=1}^n\left|\frac{\partial W_\lambda\chi_E(x)}{\partial x_k}\right|^2}</math>
इस फलन को परिभाषित करने के बाद डी जियोर्गी परिमाप की निम्नलिखित परिभाषा देते हैं:

परिभाषा 3। चलो<math> \Omega </math>का एक खुला उपसमुच्चय हो <math>\R^n</math> और जाने <math>E</math> बोरेल समुच्चय हो। की परिधि <math>E</math> में <math>\Omega</math>मूल्य है

:<math>P(E,\Omega) = \lim_{\lambda\to 0}\int_\Omega | DW_\lambda\chi_E(x) | \mathrm{d}x</math>
दरअसल डी जियोर्गी ने मामले पर विचार किया <math>\Omega=\R ^n</math>: हालाँकि, सामान्य मामले का विस्तार मुश्किल नहीं है। यह साबित किया जा सकता है कि दो परिभाषाएँ बिल्कुल समान हैं: प्रमाण के लिए पहले से उद्धृत डी जियोर्गी के कागजात या पुस्तक देखें {{Harv|गिउस्ति|1984}}. अब एक परिमाप क्या है, इसे परिभाषित करने के बाद, डि जिओर्गी वही परिभाषा देता है 2 कि स्थानीय संपत्ति का एक समुच्चय|(स्थानीय रूप से) परिमित परिधि क्या है।

== मूल गुण ==

निम्नलिखित गुण वे सामान्य गुण हैं जिन्हें परिधि की सामान्य धारणा माना जाता है:

* यदि <math>\Omega\subseteq\Omega_1</math> फिर <math>P(E,\Omega)\leq P(E,\Omega_1)</math>, समानता धारण के साथ यदि और केवल यदि समापन (टोपोलॉजी)। <math>E</math> का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है <math>\Omega</math>.
* किन्हीं दो कैसियोपोली समुच्चयों के लिए <math>E_1</math> तथा <math>E_2</math>, सम्बन्ध <math>P(E_1\cup E_2,\Omega)\leq P(E_1,\Omega) + P(E_2,\Omega_1)</math> धारण करता है, समानता धारण करता है यदि और केवल यदि <math>d(E_1,E_2)>0</math>, कहाँ पे <math>d</math> यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समुच्चय और एक बिंदु और एक समुच्चय के बीच की दूरी # दूरी है।
* यदि Lebesgue का माप <math>E</math> है <math>0</math>, फिर <math>P(E)=0</math>: इसका तात्पर्य है कि यदि [[सममित अंतर]] <math>E_1\triangle E_2</math> दो समुच्चयों में शून्य Lebesgue माप है, दो समुच्चयों की परिधि समान है अर्थात <math>P(E_1)=P(E_2)</math>.

== सीमा की धारणा ==

किसी दिए गए काक्सीोप्पोलि समुच्चय के लिए <math>E \subset \R ^n</math> वहाँ दो स्वाभाविक रूप से संबंधित विश्लेषणात्मक मात्राएँ उपस्थित हैं: वेक्टर-मूल्यवान रेडॉन माप <math>D\chi_E</math> और इसकी कुल भिन्नता # माप सिद्धांत में कुल भिन्नता <math>|D\chi_E|</math>. मान लें कि

:<math> P(E, \Omega) = \int_{\Omega} |D\chi_E| </math>
किसी भी खुले समुच्चय के भीतर परिधि है <math>\Omega</math>, इसकी उम्मीद करनी चाहिए <math>D\chi_E</math> अकेले किसी तरह की परिधि का हिसाब देना चाहिए <math>E</math>.

=== सामयिक सीमा ===

वस्तुओं के बीच संबंध को समझने की कोशिश करना स्वाभाविक है <math>D\chi_E</math>, <math>|D\chi_E|</math>, और सीमा (टोपोलॉजी) <math>\partial E</math>. एक प्रारंभिक लेम्मा है जो गारंटी देता है कि [[वितरण (गणित)]] # वितरण का समर्थन (वितरण (गणित) के अर्थ में) <math>D\chi_E</math>, और इसलिए भी <math>|D\chi_E|</math>, हमेशा सम्मिलित है <math>\partial E</math>:

'''लेम्मा.''' वेक्टर-मूल्यवान रेडॉन माप का समर्थन <math>D\chi_E</math> सीमा (टोपोलॉजी) का एक सबसमुच्चय है <math>\partial E</math> का <math>E</math>.

'''प्रमाण.''' इसे देखने के लिए चुनें <math>x_0 \notin\partial E</math>: फिर <math>x_0</math> ओपन समुच्चय के अंतर्गत आता है <math>\R ^n\setminus\partial E</math> और इसका तात्पर्य है कि यह एक खुले नेइबोरहुड से संबंधित है <math>A</math> के आंतरिक (टोपोलॉजी) में निहित है <math>E</math> या के भीतरी भाग में <math>\R^n\setminus E</math>. होने देना <math>\phi \in C^1_c(A; \R ^n)</math>. यदि <math>A\subseteq(\R^n \setminus E)^\circ=\R^n\setminus E^-</math> कहाँ पे <math>E^-</math> का क्लोजर (टोपोलॉजी) है <math>E</math>, फिर <math>\chi_E(x)=0</math> के लिये <math>x \in A</math> तथा

:<math> \int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle =- \int_A\chi_E(x) \, \operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x)\, \mathrm{d}x = 0</math>
इसी तरह अगर <math>A\subseteq E^\circ </math> फिर <math>\chi_E(x)=1</math> के लिये <math>x \in A</math> इसलिए

:<math>\int_\Omega \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle = -\int_A\operatorname{div} \boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = 0
</math>
साथ <math>\phi \in C^1_c(A, \R^n)</math> मनमाना यह उसका अनुसरण करता है <math>x_0</math> के समर्थन से बाहर है <math>D\chi_E</math>.

=== घटी हुई सीमा ===

टोपोलॉजिकल सीमा <math>\partial E</math> काक्सीोप्पोलि समुच्चय के लिए बहुत अपरिष्कृत निकला क्योंकि इसका हॉसडॉर्फ माप परिधि के लिए अधिक प्रतिपूर्ति करता है <math>P(E)</math> ऊपर परिभाषित। दरअसल, काक्सीोप्पोलि समुच्चय

:<math>E = \{ (x,y) : 0 \leq x, y \leq 1 \} \cup \{ (x, 0) : -1 \leq x \leq 1 \} \subset \R^2 </math>
बाईं ओर चिपके हुए रेखा खंड के साथ एक वर्ग का प्रतिनिधित्व करने वाली परिधि है <math>P(E) = 4</math>, यानी बाहरी रेखा खंड को नजरअंदाज कर दिया जाता है, जबकि इसकी स्थलाकृतिक सीमा होती है

:<math>\partial E = \{(x, 0) : -1 \leq x \leq 1 \} \cup \{(x, 1) : 0 \leq x \leq 1 \} \cup \{(x, y) : x \in \{0, 1\}, 0 \leq y \leq 1 \} </math>
एक आयामी हौसडॉर्फ माप है <math>\mathcal{H}^1(\partial E) = 5</math>.

इसलिए सही सीमा का एक सबसमुच्चय होना चाहिए <math>\partial E</math>. हम परिभाषित करते हैं:

परिभाषा 4. कैकियोपोली समुच्चय की घटी हुई सीमा <math>E \subset \R ^n</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\partial^* E</math> और अंकों के संग्रह के बराबर परिभाषित किया गया है <math>x</math> जिस पर सीमा:

:<math> \nu_E(x) := \lim_{\rho \downarrow 0} \frac{D\chi_E(B_\rho(x))}{|D\chi_E|(B_\rho(x))} \in \R^n</math>
उपस्थित है और इसकी लंबाई एक के बराबर है, यानी <math>|\nu_E(x)| = 1</math>.

कोई यह टिप्पणी कर सकता है कि [[रैडॉन-निकोडीम प्रमेय]] द्वारा कम की गई सीमा <math>\partial^* E</math> के समर्थन में अनिवार्य रूप से निहित है <math>D\chi_E</math>, जो बदले में सामयिक सीमा में समाहित है <math>\partial E</math> जैसा कि ऊपर अनुभाग में बताया गया है। वह है:

:<math>\partial^* E \subseteq \operatorname{support} D\chi_E \subseteq \partial E</math>
उपरोक्त समावेशन आवश्यक रूप से समानताएं नहीं हैं जैसा कि पिछले उदाहरण से पता चलता है। उस उदाहरण में, <math>\partial E</math> खंड बाहर चिपके हुए के साथ वर्ग है, <math>\operatorname{support} D\chi_E</math> वर्ग है, और <math>\partial^* E</math> ऐसा वर्ग जिसके चारों कोने न हों।

=== डी गियोर्गी की प्रमेय ===

सुविधा के लिए, इस खंड में हम केवल उस मामले का इलाज करते हैं जहां <math>\Omega = \R ^n</math>, यानी समुच्चय <math>E</math> (विश्व स्तर पर) परिमित परिधि है। डी जियोर्गी की प्रमेय कम सीमाओं की धारणा के लिए ज्यामितीय अंतर्ज्ञान प्रदान करती है और पुष्टि करती है कि यह काक्सीोप्पोलि समुच्चय के लिए अधिक प्राकृतिक परिभाषा है

:<math> P(E) \left( = \int |D\chi_E| \right) = \mathcal{H}^{n-1}(\partial^* E)</math>
यानी इसका हॉसडॉर्फ माप समुच्चय की परिधि के बराबर है। प्रमेय का कथन काफी लंबा है क्योंकि यह विभिन्न ज्यामितीय धारणाओं को एक झटके में आपस में जोड़ता है।

प्रमेय। मान लीजिए <math>E \subset \R^n</math> एक कैसिओपोली समुच्चय है। फिर प्रत्येक बिंदु पर <math>x</math> घटी हुई सीमा का <math>\partial^* E</math> वहाँ एक बहुलता एक [[अनुमानित स्पर्शरेखा स्थान]] उपस्थित है <math>T_x</math> का <math>|D\chi_E|</math>, यानी एक कोडिमेंशन -1 सबस्पेस <math>T_x</math> का <math>\R ^n</math> ऐसा है कि

:<math> \lim_{\lambda \downarrow 0} \int_{\R^n} f(\lambda^{-1}(z-x)) |D\chi_E|(z) = \int_{T_x} f(y) \, d\mathcal{H}^{n-1}(y)</math>
प्रत्येक निरंतर, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित के लिए <math>f : \R ^n \to \R </math>. वास्तव में उपक्षेत्र <math>T_x</math> यूनिट वेक्टर का [[ऑर्थोगोनल पूरक]] है

:<math>\nu_E(x) = \lim_{\rho \downarrow 0} \frac{D\chi_E(B_\rho(x))}{|D\chi_E|(B_\rho(x))} \in \R ^n</math>
पहले परिभाषित। यह इकाई वेक्टर भी संतुष्ट करता है

:<math>\lim_{\lambda \downarrow 0} \left \{ \lambda^{-1}(z - x) : z \in E \right \} \to \left \{ y \in \R^n : y \cdot \nu_E(x) > 0 \right \}</math>
स्थानीय रूप से <math>L^1</math>, इसलिए इसे घटी हुई सीमा के लिए इकाई सदिश [[सामान्य (ज्यामिति)]] की ओर इशारा करते हुए एक अनुमानित आवक के रूप में व्याख्या की जाती है <math>\partial^* E</math>. आखिरकार, <math>\partial^* E</math> is (n-1)-संशोधनीय समुच्चय और (n-1)-आयामी हौसडॉर्फ माप का प्रतिबंध <math>\mathcal{H}^{n-1}</math> प्रति <math>\partial^* E</math> है <math>|D\chi_E|</math>, अर्थात।

:<math>|D\chi_E|(A) = \mathcal{H}^{n-1}(A \cap \partial^* E)</math> सभी बोरेल समुच्चय के लिए <math>A \subset \R^n</math>.

दूसरे शब्दों में, तक <math>\mathcal{H}^{n-1}</math>-शून्य सीमा को मापें <math>\partial^* E</math> जिस पर सबसे छोटा समुच्चय है <math>D\chi_E</math> समर्थित है।

== अनुप्रयोग ==

=== गॉस-ग्रीन फॉर्मूला ===
वेक्टर रेडॉन माप की परिभाषा से <math>D\chi_E</math> और परिधि के गुणों से, निम्न सूत्र सत्य है:

:<math>\int_E\operatorname{div}\boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = -\int_{\partial E} \langle\boldsymbol{\phi}, D\chi_E(x)\rangle 
\qquad \boldsymbol{\phi}\in C_c^1(\Omega, \R^n)</math>
यह गैर चिकनी सीमा (टोपोलॉजी) के साथ [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)]] के लिए [[विचलन प्रमेय]] का एक संस्करण है। डी जिओर्गी के प्रमेय का उपयोग समान पहचान को कम सीमा के संदर्भ में तैयार करने के लिए किया जा सकता है <math>\partial^* E</math> और अनुमानित आवक इंगित करने वाली इकाई सामान्य वेक्टर <math>\nu_E</math>. संक्षेप में, निम्नलिखित समानता रखती है

:<math>\int_E \operatorname{div} \boldsymbol{\phi}(x) \, \mathrm{d}x = - \int_{\partial^* E} \boldsymbol{\phi}(x) \cdot \nu_E(x) \, \mathrm{d}\mathcal{H}^{n-1}(x) \qquad \boldsymbol{\phi} \in C^1_c(\Omega, \R^n)</math>


== यह भी देखें ==
{{div col}}
* [[ज्यामितीय माप सिद्धांत]]
* विचलन प्रमेय
* [[फ़फ़र अभिन्न]]
{{div col end}}


== टिप्पणियाँ ==
{{reflist|29em}}


==संदर्भ==
{{refbegin}}



=== ऐतिहासिक संदर्भ ===
*{{Citation
|last = Ambrosio
|first = Luigi
|author-link = Luigi Ambrosio
|title = La teoria dei perimetri di Caccioppoli–De Giorgi e i suoi più recenti sviluppi
|trans-title=The De Giorgi-Caccioppoli theory of perimeters and its most recent developments
|journal = [[Rendiconti Lincei - Matematica e Applicazioni]]
|volume = 21
|series = 9
|issue = 3
|pages = 275–286
|year = 2010
|doi = 10.4171/RLM/572
|mr = 2677605 
|zbl = 1195.49052

|doi-access = free
}}. रेनाटो कैसिओपोली के सेमिनल पेपर से परिमित परिधि के सेट के सिद्धांत के इतिहास का सर्वेक्षण करने वाला एक पेपर और एन्नियो डी जियोर्गी के योगदान से कुछ और हालिया विकास और मीट्रिक माप रिक्त स्थान में खुली समस्याएं, कार्नोट समूहों में और अनंत-आयामी गॉसियन में रिक्त स्थान।
*{{Citation
|last = Caccioppoli
|first = Renato
|author-link = Renato Caccioppoli
|title = Sulla quadratura delle superfici piane e curve
|trans-title=On the quadrature of plane and curved surfaces
|journal = [[Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali]]
|series = VI
|language = Italian
|volume = 6
|issue = 
|pages = 142–146
|year = 1927
|jfm = 53.0214.02
}}. पहला पेपर जिसमें एक कैसीओपोली सेट क्या है, की मूलभूत अवधारणा है।
*{{Citation
|last = Caccioppoli
|first = Renato
|author-link = Renato Caccioppoli
|title = Sulle coppie di funzioni a variazione limitata
|trans-title=On pairs of functions of bounded variation
|journal = Rendiconti dell'Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli
|language = Italian
|volume = 34 
|series = 3
|pages = 83–88
|year = 1928
|jfm = 54.0290.04
}}. वह काम जहां कैसियोपोली ने कठोर बनाया और पूर्ववर्ती पेपर में पेश की गई अवधारणाओं को विकसित किया {{harv|Caccioppoli|1927}}.
*{{Citation
|last = Caccioppoli
|first = Renato
|author-link = Renato Caccioppoli
|contribution = Elementi di una teoria generale dell’integrazione {{mvar|k}}-dimensionale in uno spazio {{mvar|n}}-dimensionale 
|trans-title=Elements of a general theory of {{mvar|k}}-dimensional integration in a {{mvar|n}}-dimensional space
|language = Italian
|title = Atti IV Congresso U.M.I., Taormina, October 1951
|year = 1953
|volume = 2
|pages = 41–49
|place = [[Rome|Roma]]
|publisher = Edizioni Cremonese (distributed by [[Unione Matematica Italiana]])
|doi = 
|mr = 0056067 
|zbl = 0051.29402
}}परिमित परिधि के सिद्धांत का विवरण देने वाला पहला पेपर काफी पूर्ण सेटिंग में सेट है।
*{{Citation
|last = Caccioppoli
|first = Renato
|author-link = Renato Caccioppoli
|title = Opere scelte
|trans-title=Selected papers
|place = [[Rome|Roma]]
|publisher = Edizioni Cremonese (distributed by [[Unione Matematica Italiana]])
|year = 1963
|pages = XXX+434 (vol. 1), 350 (vol. 2)
|doi = 
|mr = 
|zbl = 0112.28201
|isbn = 88-7083-505-7 
}}. एक जीवनी और मौरो पिकोने की एक टिप्पणी के साथ कैसिओपोली के वैज्ञानिक कार्यों का चयन।
*{{Citation
|last = Cesari
|first = Lamberto
|title = Sulle funzioni a variazione limitata
|trans-title = On the functions of bounded variation
|journal = [[Annali della Scuola Normale Superiore]]
|series = Serie II
|volume = 5
|issue = 3–4
|pages = 299–313
|language = Italian
|year = 1936
|url = http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1936_2_5_3-4_299_0
|doi = 
|mr = 1556778
|zbl = 0014.29605
}}. [http://www.numdam.org न्यूमडैम] पर उपलब्ध है। केसरी का वाटरशेड पेपर, जहां वह परिभाषा में समाकलनीय कार्यों के एक उपवर्ग को शामिल करने के लिए अब टोटल वेरिएशन # टोनेली प्लेन वेरिएशन कॉन्सेप्ट का विस्तार करता है।
*{{Citation
|last = De Giorgi
|first = Ennio
|author-link = 
|title = Definizione ed espressione analitica del perimetro di un insieme 
|trans-title=Definition and analytical expression of the perimeter of a set
|journal = [[Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali]]
|series = VIII
|language = Italian
|volume = 14
|pages = 390–393
|year = 1953
|doi = 
|mr = 0056066
|zbl =0051.29403
}}. डी जियोर्गी द्वारा प्रकाशित पहला नोट कैकियोपोली सेट के प्रति अपने दृष्टिकोण का वर्णन करता है।
*{{Citation
|last = De Giorgi
|first = Ennio
|author-link =  
|title = Su una teoria generale della misura {{math|(''r''-1)}}-dimensionale in uno spazio ad {{mvar|r}} dimensioni 
|trans-title=On a general theory of {{math|(''r''-1)}}-dimensional measure in {{mvar|r}}-dimensional space
|journal = Annali di Matematica Pura ed Applicata
|language = Italian
|series = Serie IV
|volume = 36
|issue = 1
|pages = 191–213
|year = 1954
|doi = 10.1007/BF02412838
|mr = 0062214 
|zbl = 0055.28504
|hdl = 10338.dmlcz/126043
|s2cid = 122418733
|hdl-access = free
}}. कैकियोपोली सेट के सिद्धांत के डी जियोर्गी द्वारा पहली पूर्ण प्रदर्शनी।
*{{Citation
|last1 =  Federer
|first1 = Herbert
|author-link = Herbert Federer
|last2 = Fleming
|first2 = Wendell H.
|author2-link = 
|title = Normal and integral currents
|journal = [[Annals of Mathematics]]
|series = Series II
|volume = 72
|issue = 4
|pages = 458–520
|year = 1960
|doi = 10.2307/1970227
|mr = 0123260 
|zbl = 0187.31301
|jstor =1970227
}}. हर्बर्ट फेडरर का पहला पेपर धाराओं के सिद्धांत पर आधारित परिमाप के सिद्धांत के प्रति उनके दृष्टिकोण को दर्शाता है।
*{{Citation
|last = Miranda
|first = Mario
|author-link = 
|title = Caccioppoli sets
|journal = [[Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Rendiconti Lincei, Matematica e Applicazioni]]
|series = IX
|volume = 14
|issue = 3
|pages = 173–177
|year = 2003
|url = http://www.lincei.it/pubblicazioni/rendicontiFMN/rol/visabs.php?lang=en&type=mat&fileId=234
|mr = 2064264
|zbl = 1072.49030
|access-date = 2007-01-14
|archive-url = https://web.archive.org/web/20060604213857/http://www.lincei.it/pubblicazioni/rendicontiFMN/rol/visabs.php?lang=en&type=mat&fileId=234
|archive-date = 2006-06-04
|url-status = dead
}}. मुख्य खोजों के लिए रेनाटो कैकियोपोली के सेमिनल पेपर से, परिमित परिधि के सेट के सिद्धांत के इतिहास को चित्रित करने वाला एक पेपर।

=== वैज्ञानिक संदर्भ ===
*{{Citation
|last1 = De Giorgi
|first1 = Ennio
|author-link = Ennio de Giorgi
|last2 = Colombini
|first2 = Ferruccio
|author2-link = 
|last3 = Piccinini
|first3 = Livio
|title = Frontiere orientate di misura minima e questioni collegate
|trans-title=Oriented boundaries of minimal measure and related questions
|language = Italian
|place = [[Pisa]]
|publisher = Edizioni della Normale
|year = 1972
|series = Quaderni
|page = 180
|mr = 493669 
|zbl = 0296.49031
}}. एक प्रमुख योगदानकर्ता द्वारा लिखित बहु-आयामी सेटिंग में [[न्यूनतम सतह]]ों के सिद्धांत की ओर उन्मुख एक उन्नत पाठ।
*{{citation
|last = Federer
|first = Herbert
|author-link = Herbert Federer
|title = Geometric measure theory
|publisher = [[Springer-Verlag]] New York Inc.
|series = Classics in Mathematics
|volume = 
|location = [[Berlin]]-[[Heidelberg]]-[[New York City]]
|year = 1996
|orig-year = 1969
|pages = xiv+676
|isbn = 3-540-60656-4
|mr= 0257325
|zbl = 0176.00801
}}, विशेष रूप से अध्याय 4, पैराग्राफ 4.5, खंड 4.5.1 से 4.5.4 स्थानीय रूप से परिमित परिधि के साथ सेट करता है। ज्यामितीय माप सिद्धांत में पूर्ण संदर्भ पाठ।
*{{citation
|last=Simon
|first=Leon
|author-link = Leon Simon
|title=Lectures on Geometric Measure Theory
|publisher=Australian National University
|series=Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis
|year=1983
|volume=3
}}, विशेष रूप से अध्याय 3, धारा 14 स्थानीय रूप से परिमित परिधि के सेट।
*{{Citation
|last = Giusti
|first = Enrico
|author-link = Enrico Giusti
|title = Minimal surfaces and functions of bounded variations
|place = [[Basel]]-[[Boston]]-[[Stuttgart]]
|publisher = [[Birkhäuser Verlag]]
|year = 1984
|series = Monographs in Mathematics
|volume = 80
|pages = xii+240
|url = https://books.google.com/books?id=dNgsmArDoeQC&q=Minimal+surfaces+and+functions+of+bounded+variations
|mr = 0775682
|zbl = 0545.49018
|isbn = 0-8176-3153-4
}}, विशेष रूप से भाग I, अध्याय 1 परिबद्ध भिन्नता के कार्य और Caccioppoli सेट। Caccioppoli सेट के सिद्धांत और न्यूनतम सतह समस्या के लिए उनके आवेदन पर एक अच्छा संदर्भ।
*{{Citation
|last1 = Hudjaev
|first1 = Sergei Ivanovich
|author-link = 
|last2 = Vol'pert
|first2 = Aizik Isaakovich
|author2-link = Aizik Isaakovich Vol'pert
|title = Analysis in classes of discontinuous functions and equations of mathematical physics
|place = Dordrecht-Boston-Lancaster
|publisher = Martinus Nijhoff Publishers
|year = 1985
|series = Mechanics: analysis
|volume = 8
|pages = xviii+678
|url = https://books.google.com/books?id=lAN0b0-1LIYC&q=%22Analysis+in+classes+of+discontinuous+functions%22
|mr = 0785938
|zbl = 0564.46025
|isbn = 90-247-3109-7
}}, विशेष रूप से भाग II, अध्याय 4 पैराग्राफ 2 परिमित परिधि के साथ सेट करता है। के बारे में सबसे अच्छी किताबों में से एक {{mvar|BV}}गणितीय भौतिकी, विशेष रूप से रासायनिक कैनेटीक्स की समस्याओं के लिए कार्य और उनका अनुप्रयोग।
*{{Citation
|last = Maz'ya
|first = Vladimir G. 
|author-link = Vladimir Gilelevich Maz'ya
|title = Sobolev Spaces
|publisher = [[Springer-Verlag]]
|location = [[Berlin]]–[[Heidelberg]]–-[[New York City]]
|year = 1985
|pages = xix+486
|isbn=3-540-13589-8
|mr = 817985 
|zbl = 0692.46023
}}; विशेष रूप से अध्याय 6, अंतरिक्ष में कार्यों पर {{math|''BV''(Ω)}}. [[सोबोलेव स्पेस]] के सिद्धांत पर सबसे अच्छे मोनोग्राफ में से एक।
*{{Citation
|last = Vol'pert
|first = Aizik Isaakovich
|author-link = Aizik Isaakovich Vol'pert
|title = Spaces {{mvar|BV}} and quasi-linear equations
|language = Russian
|journal = [[Matematicheskii Sbornik]]
|series = (N.S.)
|volume = 73(115)
|issue = 2
|pages = 255–302
|year = 1967
|url = http://mi.mathnet.ru/eng/msb/v115/i2/p255
|mr = 216338
|zbl = 0168.07402
}}. एक सेमिनल पेपर जहां कैकियोपोली सेट करता है और {{mvar|BV}}-फंक्शंस का गहराई से अध्ययन किया जाता है और [[कार्यात्मक सुपरपोजिशन]] की अवधारणा को पेश किया जाता है और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत पर लागू किया जाता है।
{{refend}}


== बाहरी संबंध ==
*{{springer
 | title=Geometric measure theory
 | id= g/g130040
 | last= O'Neil
 | first=Toby Christopher
 | author-link=
}}
*{{springer
 | title=Perimeter
 | id= P/p072130
 | last=Zagaller
 | first=Victor Abramovich
 | author-link= Victor Abramovich Zalgaller
}}
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Function_of_bounded_variation Function of bounded variation] at [http://www.encyclopediaofmath.org/ Encyclopedia of Mathematics]

{{DEFAULTSORT:Caccioppoli Set}}

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