कक्षीय राशियाँ

कक्षीय तत्व विशिष्ट कक्षा की विशिष्ट रूप से पहचान करने के लिए आवश्यक पैरामीटर हैं। आकाशीय यांत्रिकी में इन तत्वों को केप्लर कक्षा का उपयोग करके दो-पिंड प्रणालियों में माना जाता है। गणितीय रूप से एक ही कक्षा का वर्णन करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, लेकिन कुछ योजनाएं, जिनमें से प्रत्येक में छह पैरामीटर का एक सेट होता है, आमतौर पर खगोल विज्ञान और कक्षीय यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है।

एक वास्तविक कक्षा और इसके तत्व समय के साथ अन्य वस्तुओं द्वारा गुरुत्वाकर्षण गड़बड़ी और सामान्य सापेक्षता के प्रभावों के कारण बदलते हैं। एक केपलर कक्षा एक विशेष समय पर कक्षा का एक आदर्श, गणितीय सन्निकटन है।

केप्लरियन तत्व

इस आरेख में, कक्षीय तल (खगोल विज्ञान) (पीला) एक संदर्भ तल (धूसर) को काटता है। पृथ्वी की परिक्रमा करने वाले उपग्रहों के लिए, संदर्भ तल आमतौर पर पृथ्वी का विषुवतीय तल होता है, और सौर कक्षाओं में उपग्रहों के लिए यह क्रांतिवृत्त का तल होता है। चौराहे को कक्षीय नोड कहा जाता है, क्योंकि यह द्रव्यमान के केंद्र को आरोही और अवरोही नोड्स से जोड़ता है। संदर्भ तल, वसंत बिंदु (♈︎) के साथ मिलकर, एक संदर्भ फ़्रेम स्थापित करता है।

जोहान्स केप्लर और ग्रहों की गति के उनके नियमों के बाद, पारंपरिक कक्षीय तत्व छह केप्लरियन तत्व हैं।

जब एक जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है, तो दो परिक्रमा करने वाले पिंड अलग-अलग प्रक्षेप पथों का पता लगाते हैं। इन प्रक्षेपवक्रों में से प्रत्येक का द्रव्यमान के सामान्य केंद्र पर ध्यान केंद्रित होता है। जब किसी एक पिंड पर केंद्रित गैर-जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है, तो केवल विपरीत पिंड का प्रक्षेपवक्र स्पष्ट होता है; केप्लरियन तत्व इन गैर-जड़त्वीय प्रक्षेपवक्र का वर्णन करते हैं। एक कक्षा में केप्लरियन तत्वों के दो सेट होते हैं जो इस बात पर निर्भर करता है कि किस पिंड को संदर्भ बिंदु के रूप में उपयोग किया जाता है। संदर्भ निकाय (आमतौर पर सबसे बड़े पैमाने पर) को प्राथमिक कहा जाता है, अन्य निकाय को द्वितीयक कहा जाता है। जरूरी नहीं कि प्राथमिक में माध्यमिक की तुलना में अधिक द्रव्यमान हो, और यहां तक कि जब शरीर समान द्रव्यमान के होते हैं, कक्षीय तत्व प्राथमिक की पसंद पर निर्भर करते हैं।

दीर्घवृत्त के आकार और आकार को परिभाषित करने वाले दो तत्व हैं:

सनकीपन ( $e$ ) - दीर्घवृत्त का आकार, यह वर्णन करता है कि यह एक वृत्त की तुलना में कितना लम्बा है (चित्र में चिह्नित नहीं है)।
सेमीमेजर एक्सिस ( $a$ ) - पेरीएप्सिस और एपोप्सिस दूरी का योग दो से विभाजित होता है। क्लासिक दो-निकाय कक्षाओं के लिए, सेमीमेजर एक्सिस पिंडों के केंद्रों के बीच की दूरी है, द्रव्यमान के केंद्र से पिंडों की दूरी नहीं है।

दो तत्व उस कक्षीय तल के उन्मुखीकरण को परिभाषित करते हैं जिसमें दीर्घवृत्त सन्निहित है:

झुकाव ( $i$ ) - संदर्भ विमान के संबंध में दीर्घवृत्त का लंबवत झुकाव, आरोही नोड पर मापा जाता है (जहां कक्षा संदर्भ विमान के माध्यम से ऊपर की ओर गुजरती है, आरेख में हरे रंग का कोण $i$ )। झुकाव कोण को कक्षीय तल और संदर्भ तल के बीच प्रतिच्छेदन रेखा के लम्बवत् मापा जाता है। एक दीर्घवृत्त पर कोई भी तीन बिंदु दीर्घवृत्त कक्षीय तल को परिभाषित करेगा। विमान और दीर्घवृत्त दोनों ही त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित द्वि-आयामी वस्तुएँ हैं।
आरोही नोड का देशांतर ( $Ω$ ) - संदर्भ फ्रेम के वसंत बिंदु (♈︎ द्वारा प्रतीक) के संबंध में दीर्घवृत्त के आरोही नोड (जहां कक्षा संदर्भ विमान के माध्यम से ऊपर की ओर गुजरती है, $☊$ द्वारा चिन्हित) को क्षैतिज रूप से ओरिएंट करता है। यह संदर्भ तल में मापा जाता है, और आरेख में हरे कोण $Ω$ के रूप में दिखाया गया है।

शेष दो तत्व इस प्रकार हैं:

पेरीपसिस का तर्क ( $ω$ ) कक्षीय तल में अंडाकार के उन्मुखीकरण को परिभाषित करता है, आरोही नोड से पेरीपसिस (उपग्रह वस्तु जिस प्राथमिक वस्तु के चारों ओर परिक्रमा करती है, उसके निकटतम बिंदु, आरेख में नीला कोण $ω$ ) तक मापा कोण के रूप में।
वास्तविक विसंगति ( $ν$ , $θ$ , या $f$ ) युग ( $t 0$ ) पर एक विशिष्ट समय ("युग") पर दीर्घवृत्त के साथ परिक्रमा करने वाले शरीर की स्थिति को परिभाषित करता है।

औसत विसंगति $M$ गणितीय रूप से सुविधाजनक काल्पनिक "कोण" है जो समय के साथ रैखिक रूप से बदलता है, लेकिन जो वास्तविक ज्यामितीय कोण के अनुरूप नहीं है। इसे सही विसंगति $ν$ में परिवर्तित किया जा सकता है, जो दीर्घवृत्त के तल में वास्तविक ज्यामितीय कोण का प्रतिनिधित्व करता है, पेरीप्सिस (केंद्रीय निकाय के निकटतम दृष्टिकोण) और किसी भी समय परिक्रमा करने वाली वस्तु की स्थिति के बीच। इस प्रकार, वास्तविक विसंगति को चित्र में लाल कोण $ν$ के रूप में दिखाया गया है, और औसत विसंगति नहीं दिखाई गई है।

झुकाव के कोण, आरोही नोड के देशांतर, और पेरीपसिस के तर्क को संदर्भ समन्वय प्रणाली से संबंधित कक्षा के अभिविन्यास को परिभाषित करने वाले यूलर कोणों के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि गैर-अण्डाकार प्रक्षेप पथ भी मौजूद हैं, लेकिन बंद नहीं हैं, और इस प्रकार कक्षा नहीं हैं। यदि उत्केन्द्रता एक से अधिक है, तो प्रक्षेपवक्र एक अतिपरवलय है। यदि उत्केन्द्रता एक के बराबर है और कोणीय गति शून्य है, तो प्रक्षेपवक्र रेडियल है। अगर सनकीपन एक है और कोणीय गति है, तो प्रक्षेपवक्र एक परबोला है।

आवश्यक पैरामीटर

संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम और एक मनमाने युग (समय में एक निर्दिष्ट बिंदु) को देखते हुए, स्पष्ट रूप से एक मनमाना और अपरंपरागत कक्षा को परिभाषित करने के लिए ठीक छह मापदंडों की आवश्यकता होती है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि समस्या में स्वतंत्रता की छह डिग्री शामिल हैं। ये तीन स्थानिक आयामों के अनुरूप हैं जो स्थिति ( $x$ , $y$ , $z$ कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में) को परिभाषित करते हैं, साथ ही इनमें से प्रत्येक आयाम में वेग। इन्हें कक्षीय अवस्था वैक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है, लेकिन यह अक्सर कक्षा का प्रतिनिधित्व करने का एक असुविधाजनक तरीका होता है, यही कारण है कि इसके बजाय केप्लरियन तत्वों का आमतौर पर उपयोग किया जाता है।

कभी-कभी संदर्भ फ्रेम के हिस्से के बजाय युग को "सातवें" कक्षीय पैरामीटर माना जाता है।

यदि युग को उस क्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है जब तत्वों में से एक शून्य होता है, तो अनिर्दिष्ट तत्वों की संख्या घटाकर पांच कर दी जाती है। (कक्षा को परिभाषित करने के लिए छठा पैरामीटर अभी भी आवश्यक है; यह वास्तविक-विश्व घड़ी समय के संबंध में युग की परिभाषा में केवल संख्यात्मक रूप से शून्य पर सेट है या "स्थानांतरित" है।)

वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन

केप्लरियन तत्वों को कक्षीय अवस्था सदिशों (स्थिति के लिए एक त्रि-आयामी सदिश और वेग के लिए दूसरा सदिश) से मैन्युअल रूपान्तरण या कंप्यूटर सॉफ्टवेयर के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।^[1]

अन्य कक्षीय मापदंडों की गणना केप्लरियन तत्वों से की जा सकती है, जैसे कि अवधि, एपोप्सिस और पेरीपसिस। (पृथ्वी की परिक्रमा करते समय, अंतिम दो शब्दों को अपोजी और पेरिगी के रूप में जाना जाता है।) केप्लरियन तत्व सेटों में अर्ध-प्रमुख अक्ष के बजाय अवधि को निर्दिष्ट करना आम है, क्योंकि प्रत्येक की गणना दूसरे से की जा सकती है, बशर्ते कि केंद्रीय निकाय के लिए मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर, $GM$ दिया जाए।

युग में औसत विसंगति के बजाय, औसत विसंगति $M$ , मतलब देशांतर, वास्तविक विसंगति $ν 0$ , या (शायद ही कभी) विलक्षण विसंगति का इस्तेमाल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, "युग में औसत विसंगति" के बजाय "औसत विसंगति" का उपयोग करने का मतलब है कि समय टी को सातवें कक्षीय तत्व के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। कभी-कभी यह माना जाता है कि युग में औसत विसंगति शून्य है (युग की उपयुक्त परिभाषा चुनकर), केवल पांच अन्य कक्षीय तत्वों को निर्दिष्ट करने के लिए छोड़ दिया जाता है।

विभिन्न खगोलीय पिंडों के लिए तत्वों के अलग-अलग सेट का उपयोग किया जाता है। एक कक्षा के आकार और आकार को निर्दिष्ट करने के लिए सनकीपन, $e$ , और या तो अर्ध-प्रमुख अक्ष, $a$ , या पेराप्सिस की दूरी, $q$ का उपयोग किया जाता है। आरोही नोड का देशांतर, $Ω$ , झुकाव, $i$ , और पेरीपसिस का तर्क, $ω$ , या पेरीपसिस का देशांतर, $ϖ$ , इसके तल में कक्षा के अभिविन्यास को निर्दिष्ट करता है। या तो युगांतर पर देशांतर, $L 0$ , युग में औसत विसंगति, $M 0$ , या पेरिहेलियन मार्ग का समय, $T 0$ , कक्षा में एक ज्ञात बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है। किए गए विकल्प इस बात पर निर्भर करते हैं कि प्राथमिक संदर्भ के रूप में वसंत विषुव या नोड का उपयोग किया जाता है या नहीं। अर्ध-प्रमुख अक्ष ज्ञात है यदि औसत गति और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान ज्ञात हैं।^[2]^[3]

समय के संबंध में एक बहुपद समारोह के रूप में, या तो $M 0$ या $L 0$ के बिना, सीधे तौर पर व्यक्त किए गए माध्य विसंगति ( $M$ ) या माध्य देशांतर ( $L$ ) को देखना भी काफी सामान्य है। अभिव्यक्ति की यह विधि गुणांक में से एक के रूप में बहुपद में माध्य गति ( $n$ ) को समेकित करेगी। ऐसा प्रतीत होगा कि $L$ या $M$ को अधिक जटिल तरीके से व्यक्त किया गया है, लेकिन हमें एक कम कक्षीय तत्व की आवश्यकता होगी।

माध्य गति को कक्षीय अवधि $P$ के उद्धरणों के पीछे भी अस्पष्ट किया जा सकता है।^{[clarification needed]}

कक्षीय तत्वों का समूह
वस्तु	प्रयुक्त तत्व
प्रमुख ग्रह	$e, a, i, Ω, ϖ, L 0$
धूमकेतु	$e, q, i, Ω, ω, T 0$
क्षुद्रग्रह	$e, a, i, Ω, ω, M 0$
दो-लाइन तत्व	$e, i, Ω, ω, n, M 0$

यूलर कोण परिवर्तन

कोण $Ω$ , $i$ , $ω$ यूलर कोण हैं (उस आलेख में उपयोग किए गए नोटेशन में $α$ , $β$ , $γ$ के अनुरूप) समन्वय प्रणाली के उन्मुखीकरण को चिह्नित करते हैं

x̂

,

ŷ

,

ẑ

जड़त्वीय निर्देशांक फ्रेम

Î

,

Ĵ

,

K̂

जहाँ:

$Î$ , $Ĵ$ केंद्रीय शरीर के भूमध्य रेखा तल में है। Î वर्नल इक्विनॉक्स की दिशा में है। $Ĵ$ , $Î$ के लिए लंबवत है और Î के साथ संदर्भ विमान को परिभाषित करता है। $K̂$ संदर्भ तल के लिए लंबवत है। सौर मंडल में पिंडों (ग्रहों, धूमकेतुओं, क्षुद्रग्रहों, ...) के कक्षीय तत्व आमतौर पर ग्रहण को उस विमान के रूप में उपयोग करते हैं।
$x̂$ , $ŷ$ कक्षीय तल में हैं और $x̂$ के साथ परिकेंद्र (पेरीपसिस) की दिशा में हैं। $ẑ$ कक्षा के समतल के लंबवत है। $ŷ$ पारस्परिक रूप से $x̂$ और $ẑ$ के लंबवत है।

फिर, यूलर कोण $Ω$ , $i$ , $ω$ के साथ $Î$ , $Ĵ$ , $K̂$ समन्वय फ्रेम से $x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ फ्रेम में परिवर्तन होता है:

{\begin{aligned}x_{1}&=\cos \Omega \cdot \cos \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{2}&=\sin \Omega \cdot \cos \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \sin \omega \ ;\\x_{3}&=\sin i\cdot \sin \omega ;\\\,\\y_{1}&=-\cos \Omega \cdot \sin \omega -\sin \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{2}&=-\sin \Omega \cdot \sin \omega +\cos \Omega \cdot \cos i\cdot \cos \omega \ ;\\y_{3}&=\sin i\cdot \cos \omega \ ;\\\,\\z_{1}&=\sin i\cdot \sin \Omega \ ;\\z_{2}&=-\sin i\cdot \cos \Omega \ ;\\z_{3}&=\cos i\ ;\\\,\end{aligned}}

\left[{\begin{array}{ccc}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\cos \omega &\sin \omega &0\\-\sin \omega &\cos \omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&\cos i&\sin i\\0&-\sin i&\cos i\end{array}}\right]\,\left[{\begin{array}{ccc}\cos \Omega &\sin \Omega &0\\-\sin \Omega &\cos \Omega &0\\0&0&1\end{array}}\right]\,;

जहाँ

{\begin{aligned}\mathbf {\hat {x}} &=x_{1}\mathbf {\hat {I}} +x_{2}\mathbf {\hat {J}} +x_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {y}} &=y_{1}\mathbf {\hat {I}} +y_{2}\mathbf {\hat {J}} +y_{3}\mathbf {\hat {K}} ~;\\\mathbf {\hat {z}} &=z_{1}\mathbf {\hat {I}} +z_{2}\mathbf {\hat {J}} +z_{3}\mathbf {\hat {K}} ~.\\\,\end{aligned}}

व्युत्क्रम रूपांतरण, जो xyz प्रणाली में 3 (या 2) निर्देशांक दिए जाने पर I-J-K प्रणाली में 3 निर्देशांकों की गणना करता है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। मैट्रिक्स बीजगणित के नियमों के अनुसार, 3 रोटेशन मैट्रिक्स के उत्पाद के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को तीन मैट्रिक्स के क्रम को बदलने और तीन यूलर कोणों के संकेतों को बदलने से प्राप्त होता है।

$x̂$ , $ŷ$ , $ẑ$ से यूलर कोण $Ω$ , $i$ , $ω$ में रूपांतरण है:

{\begin{aligned}\Omega &=\operatorname {arg} \left(-z_{2},z_{1}\right)\\i&=\operatorname {arg} \left(z_{3},{\sqrt {{z_{1}}^{2}+{z_{2}}^{2}}}\right)\\\omega &=\operatorname {arg} \left(y_{3},x_{3}\right)\\\,\end{aligned}}

जहाँ $arg(x, y)$ ध्रुवीय तर्क को दर्शाता है जिसे कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपलब्ध मानक फ़ंक्शन atan2(y,x) के साथ गणना की जा सकती है।

कक्षा भविष्यवाणी

एक पूरी तरह से गोलाकार केंद्रीय निकाय और शून्य क्षोभ की आदर्श स्थितियों के तहत, औसत विसंगति को छोड़कर सभी कक्षीय तत्व स्थिर हैं। औसत विसंगति समय के साथ रैखिक रूप से बदलती है, औसत गति द्वारा बढ़ाया जाता है,^[2]

$n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}.$

इसलिए यदि किसी क्षण $t 0$ पर कक्षीय पैरामीटर $[e 0, a 0, i 0, Ω 0, ω 0, M 0]$ हैं, तो समय $t = t 0 + δt$ पर तत्व $[e 0, a 0, i 0, Ω 0, ω 0, M 0 + n δt]$ द्वारा दिया जाता है

गड़बड़ी और तात्विक विचरण

अविचलित, दो-निकाय, न्यूटोनियन कक्षाएँ हमेशा शंकुधारी खंड होती हैं, इसलिए केप्लरियन तत्व एक दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय को परिभाषित करते हैं। वास्तविक कक्षाओं में गड़बड़ी होती है, इसलिए केप्लरियन तत्वों का एक दिया गया सेट केवल युग में ही एक कक्षा का सटीक वर्णन करता है। कक्षीय तत्वों का विकास प्राथमिक के अलावा अन्य पिंडों के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव, प्राथमिक की गैर-गोलाकारता, वायुमंडलीय ड्रैग, सापेक्षतावादी प्रभाव, विकिरण दबाव, विद्युत चुम्बकीय बलों, और इसी तरह के कारण होता है।

केप्लरियन तत्वों का उपयोग अक्सर युग के निकट उपयोगी भविष्यवाणियों के उत्पादन के लिए किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, वास्तविक प्रक्षेपवक्र को केप्लरियन कक्षाओं के अनुक्रम के रूप में तैयार किया जा सकता है जो वास्तविक प्रक्षेपवक्र ("चुंबन" या स्पर्श) करते हैं। उन्हें तथाकथित ग्रहों के समीकरणों, विभेदक समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है, जो लाग्रेंज, गॉस, डेलाउने, पॉइंकेयर या हिल द्वारा विकसित विभिन्न रूपों में आते हैं।

दो-पंक्ति तत्व

केप्लरियन तत्वों के मापदंडों को पाठ के रूप में कई स्वरूपों में एन्कोड किया जा सकता है। उनमें से सबसे आम नासा / नोराड "दो-पंक्ति तत्व" (टीएलई) प्रारूप है,^[4] मूल रूप से 80 कॉलम छिद्रित कार्ड के साथ उपयोग के लिए डिज़ाइन किया गया है, लेकिन अभी भी उपयोग में है क्योंकि यह सबसे आम प्रारूप है, और साथ ही साथ सभी आधुनिक डेटा स्टोरेज द्वारा आसानी से नियंत्रित किया जा सकता है।

एप्लिकेशन और ऑब्जेक्ट ऑर्बिट के आधार पर, 30 दिनों से अधिक पुराने TLE से प्राप्त डेटा अविश्वसनीय हो सकता है। SGP / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8 एल्गोरिथम के माध्यम से कक्षीय स्थितियों की गणना TLEs से की जा सकती है। [5]

एप्लिकेशन और ऑब्जेक्ट ऑर्बिट के आधार पर, 30 दिनों से पुराने टीएलई से प्राप्त डेटा अविश्वसनीय हो सकता है। कक्षीय स्थितियों की गणना SGP/SGP4/SDP4/SGP8/SDP8 एल्गोरिदम के माध्यम से TLEs से की जा सकती है।^[5]

दो-लाइन तत्व का उदाहरण:^[6]

1 27651U 03004A   07083.49636287  .00000119  00000-0  30706-4 0  2692
2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

डेलाउने वैरिएबल

चंद्रमा की गति के अपने अध्ययन के दौरान चार्ल्स-यूजेन डेलौने द्वारा डेलौने कक्षीय तत्वों का परिचय दिया गया था।^[7] आमतौर पर डेलाउने चर कहा जाता है, वे विहित चर का एक सेट हैं, जो क्रिया-कोण निर्देशांक हैं। कोण कुछ केप्लरियन कोणों के सरल योग हैं:

$\ell =M+\omega +\Omega ~:$ औसत विसंगति
$g=\omega +\Omega ~:$ पेरीपसिस का तर्क, और
$h=\Omega ~:$ आरोही नोड का देशांतर

उनके संबंधित संयुग्म संवेग के साथ, $L$ , $G$ , और $H$ ।^[8] क्षण $L$ , $G$ , और $H$ क्रिया चर हैं और केप्लरियन तत्वों $a$ , $e$ , और $i$ के अधिक विस्तृत संयोजन हैं।

डेलाउने चरों का उपयोग आकाशीय यांत्रिकी में पर्टुरबेटिव गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए श्रेणीबद्ध ट्रिपल सिस्टम में कोज़ाई-लिडोव दोलनों की जांच करते समय।^[8] डेलाउने चर का लाभ यह है कि जब $e$ और / या $i$ बहुत छोटे होते हैं तो वे अच्छी तरह से परिभाषित और गैर-एकवचन (h को छोड़कर, जिसे सहन किया जा सकता है) रहते हैं: जब परीक्षण कण की कक्षा बहुत करीब गोलाकार ( $i\approx 0$ ), या बहुत करीब "फ्लैट" ( $e\approx 0$ ) हो।

यह भी देखें

स्पष्ट देशांतर
क्षुद्रग्रह परिवार, क्षुद्रग्रह जो समान उचित कक्षीय तत्वों को साझा करते हैं
बीटा कोण
पंचांग
भू-संभावित मॉडल
कक्षीय राज्य वैक्टर
उचित कक्षीय तत्व
ओस्कुलेटिंग ऑर्बिट

संदर्भ

↑ For example, with "VEC2TLE". amsat.org. Archived from the original on 20 May 2016. Retrieved 19 June 2013.
↑ ^2.0 ^2.1 Green, Robin M. (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23988-2.
↑ Danby, J.M.A. (1962). Fundamentals of Celestial Mechanics. Willmann-Bell. ISBN 978-0-943396-20-0.
↑ Kelso, T.S. "अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: दो-पंक्ति तत्व सेट प्रारूप". celestrak.com. CelesTrak. Archived from the original on 26 March 2016. Retrieved 15 June 2016.
↑ Seidelmann, K.P., ed. (1992). खगोलीय पंचांग के लिए व्याख्यात्मक पूरक (1st ed.). Mill Valley, CA: University Science Books.
↑ "स्रोत". Heavens-Above.com. orbit data. Archived from the original on 2007-09-27.
↑ Aubin, David (2014). "Delaunay, Charles-Eugène". Biographical Encyclopedia of Astronomers. New York, NY: Springer New York. pp. 548–549. doi:10.1007/978-1-4419-9917-7_347. ISBN 978-1-4419-9916-0.
↑ ^8.0 ^8.1 Shevchenko, Ivan (2017). लिडोव-कोज़ाई प्रभाव: एक्सोप्लैनेट अनुसंधान और गतिशील खगोल विज्ञान में अनुप्रयोग. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-43522-0.

बाहरी संबंध

Gurfil, Pini (2005). "Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits". J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079–1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. doi:10.2514/1.14760.

"Tutorial". AMSAT. Keplerian elements. Archived from the original on 2002-10-14.

"Orbits Tutorial". marine.rutgers.edu. Archived from the original on 19 April 2021. Retrieved 30 July 2019.

"Orbital elements visualizer". orbitalmechanics.info.

Report No. 3 (PDF). celestrak (Report). Spacetrack. North American Aerospace Defense Command (NORAD). – a serious treatment of orbital elements

"FAQ". Celestrak. Two-Line Elements. Archived from the original on 2016-03-26.

"The JPL HORIZONS online ephemeris". – also furnishes orbital elements for a large number of solar system objects

"Mean orbital parameters". ssd.jpl.nasa.gov. Planetary satellites. JPL / NASA.

"Introduction to exporting". ssd.jpl.nasa.gov. JPL planetary and lunar ephemerides. JPL / NASA.

"State vectors: VEC2TLE". MindSpring (software). Archived from the original on 2016-03-03. – access to VEC2TLE software

"Function 'iauPlan94'" (C software source). IAU SOFA C Library. – orbital elements of the major planets

[1] For example, with "VEC2TLE". amsat.org. Archived from the original on 20 May 2016. Retrieved 19 June 2013.

[Green-2] 2.0 ^2.1 Green, Robin M. (1985). Spherical Astronomy. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23988-2.

[Danby-3] Danby, J.M.A. (1962). Fundamentals of Celestial Mechanics. Willmann-Bell. ISBN 978-0-943396-20-0.

[Kelso_FAQ-4] Kelso, T.S. "अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न: दो-पंक्ति तत्व सेट प्रारूप". celestrak.com. CelesTrak. Archived from the original on 26 March 2016. Retrieved 15 June 2016.

[5] Seidelmann, K.P., ed. (1992). खगोलीय पंचांग के लिए व्याख्यात्मक पूरक (1st ed.). Mill Valley, CA: University Science Books.

[6] "स्रोत". Heavens-Above.com. orbit data. Archived from the original on 2007-09-27.

[Aubin-2014-7] Aubin, David (2014). "Delaunay, Charles-Eugène". Biographical Encyclopedia of Astronomers. New York, NY: Springer New York. pp. 548–549. doi:10.1007/978-1-4419-9917-7_347. ISBN 978-1-4419-9916-0.

[Shevchenko-2017-8] 8.0 ^8.1 Shevchenko, Ivan (2017). लिडोव-कोज़ाई प्रभाव: एक्सोप्लैनेट अनुसंधान और गतिशील खगोल विज्ञान में अनुप्रयोग. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-43522-0.

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