View source for उच्च-आयामी बीजगणित

[[गणित]] में, विशेष रूप से ([[उच्च]]) श्रेणी सिद्धांत, '''उच्च-आयामी बीजगणित''' [[वर्गीकरण|वर्गीकृत]]  संरचनाओं का अध्ययन है। इसमें नॉनबेलियन [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सीन विज्ञान]] में अनुप्रयोग हैं, और जिसे [[अमूर्त बीजगणित]] को सामान्यीकृत किया गया है।

==उच्च-आयामी श्रेणियाँ==

{{main|श्रेणी सिद्धांत#उच्च-आयामी श्रेणियां
}}

उच्च आयामी बीजगणित को परिभाषित करने की दिशा में पहला कदम [[उच्च श्रेणी सिद्धांत]] की [[2-श्रेणी]] की अवधारणा है, इसके बाद दोहरी श्रेणी की अधिक 'ज्यामितीय' अवधारणा है।<ref>{{cite web |title=दोहरी श्रेणियाँ और छद्म बीजगणित|url=http://www.math.uchicago.edu/~fiore/1/fiorefolding.pdf| archive-url=https://web.archive.org/web/20100610024231/http://www.math.uchicago.edu/~fiore/1/fiorefolding.pdf | archive-date=2010-06-10 }}</ref> <ref>{{cite journal
 |first1 = R. |last1 = Brown |first2 = J.-L. |last2 = Loday
 |title = Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for ''n''-cubes of spaces
 |journal = [[Proceedings of the London Mathematical Society]]
 |volume = 54 |issue = 1 |pages = 176–192
 |year = 1987
 |doi = 10.1112/plms/s3-54.1.176
|citeseerx = 10.1.1.168.1325 }}</ref><ref>
{{cite journal
 |first = M.A. |last = Batanin
 |title = Monoidal Globular Categories As a Natural Environment for the Theory of Weak ''n''-Categories
 |journal = [[Advances in Mathematics]]
 |volume = 136 |issue = 1 |pages = 39–103
 |year = 1998
 |doi = 10.1006/aima.1998.1724
|doi-access = free
 }}</ref>

इस प्रकार एक उच्च स्तरीय अवधारणा को श्रेणियों की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]], या उत्कृष्ट-श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो [[श्रेणी]] की धारणा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करती है - जिसे किसी भी संरचना के रूप में माना जाता है जो [[अमूर्त श्रेणियों]] (ईटीएसी) [[के प्राथमिक सिद्धांत]] के लॉवर के सिद्धांतों की व्याख्या है।<ref>{{cite journal | last1 = Lawvere | first1 = F. W. | year = 1964 | title = समुच्चयों की श्रेणी का एक प्राथमिक सिद्धांत| journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | volume = 52 | issue = 6 | pages = 1506–1511 | doi = 10.1073/pnas.52.6.1506 | pmid = 16591243 | pmc = 300477 | bibcode = 1964PNAS...52.1506L | doi-access = free }}</ref><ref>Lawvere, F. W.: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in ''Proc. Conf. Categorical Algebra &ndash; La Jolla''., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1&ndash;20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090812055706/http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ |date=2009-08-12 }}</ref> Ll.

,<ref>{{Cite web | url=http://planetphysics.org/?op=getobj&from=objects&id=420 |title = Kryptowährungen und Physik |publisher=PlanetPhysics}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Lawvere | first1 = F. W. | year = 1969b | title = नींव में जुड़ाव| url = http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ | journal = Dialectica | volume = 23 | issue = 3–4 | pages = 281–295 | doi = 10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x | citeseerx = 10.1.1.386.6900 | access-date = 2009-06-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20090812055706/http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ | archive-date = 2009-08-12 | url-status = dead }}</ref> इस प्रकार, एक उत्कृष्टश्रेणी और एक उत्कृष्ट-श्रेणी, को [[मेटा-श्रेणी]],<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/AxiomsOfMetacategoriesAndSupercategories.html |title=मेटाकैटेगरीज़ और सुपरकैटेगरीज़ के अभिगृहीत|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814032345/http://planetphysics.org/encyclopedia/AxiomsOfMetacategoriesAndSupercategories.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref> बहुश्रेणी, और [[बहु-ग्राफ़, k-आंशिक ग्राफ]], या [[रंगीन ग्राफ]] (एक [[रंग आकृति]] देखें, और [[ग्राफ सिद्धांत]] में इसकी परिभाषा भी देखें) की अवधारणाओं के प्राकृतिक विस्तार के रूप में माना जा सकता है।।

उत्कृष्टश्रेणियों को पहली बार 1970 में प्रस्तावित किया गया था,<ref>{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/Supercategories3.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20081026223925/http://planetmath.org/encyclopedia/Supercategories3.html | archive-date=2008-10-26|title=सुपरश्रेणी सिद्धांत|publisher=PlanetMath}}</ref> और बाद में [[सैद्धांतिक भौतिकी]] (विशेष रूप से [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] और [[टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]) और [[गणितीय जीव विज्ञान]] या [[गणितीय जैवभौतिकी]] में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था।<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/MathematicalBiologyAndTheoreticalBiophysics.html |title=गणितीय जीवविज्ञान और सैद्धांतिक बायोफिज़िक्स|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814033617/http://planetphysics.org/encyclopedia/MathematicalBiologyAndTheoreticalBiophysics.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref>

उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य पथ जैसे [[द्विश्रेणी]], द्विश्रेणियों की समरूपताएं, [[परिवर्तनीय श्रेणी]] (अन्य नाम, अनुक्रमित, या [[पैरामीट्रिज्ड श्रेणी]]), [[चूहे|टोपोई]], प्रभावी अवरोहण, और [[समृद्ध श्रेणी|समृद्ध]] और [[आंतरिक श्रेणी|आंतरिक श्रेणियां]] सम्मिलित हैं।

==युग्म वर्गीकृत ==
{{Main|युग्म वर्गीकृत}}
उच्च-आयामी बीजगणित (एचडीए) में, ''युग्म [[समूहबद्ध|वर्गीकृत]]''  दो आयामों के लिए एक-आयामी वर्गीकृत का सामान्यीकरण है,<ref name=bangor>{{cite journal |url=http://www.numdam.org/item/CTGDC_1976__17_4_343_0/| title=डबल ग्रुपोइड्स और क्रॉस्ड मॉड्यूल| journal=Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques | year=1976 | volume=17 | issue=4 | pages=343–362 | last1=Brown | first1=Ronald | last2=Spencer | first2=Christopher B. }}
</ref> और बाद वाले वर्गीकृत को सभी उलटे तीरों, या [[आकारिकी]] के साथ एक श्रेणी की एक विशेष स्थिति मानी जा सकती है।

[[डबल ग्रुपॉयड|युग्म वर्गीकृत]] का उपयोग सामान्यतः [[ज्यामितीय]] वस्तुओं जैसे [[उच्च-आयामी बहुविध]] (या [[एन-विमितीय बहुविध]]) के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जाता है।{{R|bangor}} सामान्य तौर पर, [[एन-विमितीय बहुविध]] एक ऐसा समष्‍टि है जो स्थानीय रूप से [[एन-विमितीय यूक्लिडियन समष्‍टि]] जैसा दिखता है,, लेकिन जिसकी वैश्विक संरचना [[गैर-यूक्लिडियन]] हो सकती है।

संदर्भ में, युग्म वर्गीकृत को पहली बार 1976 में [[रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ)|रोनाल्ड ब्राउन]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था।<ref name="bangor" />और इन्हें [[गैर-एबेलियन बीजगणितीय सीन विज्ञान]] में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था।<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/NAAT.html |title=गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति और गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814033622/http://planetphysics.org/encyclopedia/NAAT.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref><ref>[http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html ''Non-Abelian Algebraic Topology'' book] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090604050453/http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html |date=2009-06-04 }}</ref><ref>[http://planetphysics.org/?op=getobj&from=books&id=249 Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces]</ref><ref>{{cite book |doi=10.4171/083| title=नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी| year=2011 | last1=Brown | first1=Ronald | last2=Higgins | first2=Philip | last3=Sivera | first3=Rafael | arxiv=math/0407275 | isbn=978-3-03719-083-8|url=http://www.groupoids.org.uk/nonab-a-t.html }}</ref> एक संबंधित, 'दोहरी' अवधारणा एक दोहरे [[बीजगणित]] की है, और [[आर-बीजगणित]] की अधिक सामान्य अवधारणा है।

== नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी ==
[[नॉनबेलियन बीजगणितीय सांस्थितिकी]] देखें

==अनुप्रयोग==

===सैद्धांतिक भौतिकी===
[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में, [[क्वांटम डबल ग्रुपॉइड|क्वांटम युग्म वर्गीकृत]] और [[क्वांटम श्रेणी|क्वांटम श्रेणियां]] मौजूद है।<ref name="planetmath">{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumCategory.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20111201230551/http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumCategory.html | archive-date=2011-12-01|title= क्वांटम श्रेणी|publisher=PlanetMath}}</ref><ref>{{cite web |url=https://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20101217084009/https://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html | archive-date=2010-12-17 |title= साहचर्य समरूपता|publisher=PlanetMath}}</ref><ref name=Morton09/><ref name=Morton09>{{cite web |first=Jeffrey |last=Morton |title=क्वांटम ग्रुपोइड्स पर एक नोट|date=March 18, 2009 |work=C*-algebras, deformation theory, groupoids, noncommutative geometry, quantization |publisher=Theoretical Atlas |url=http://theoreticalatlas.wordpress.com/2009/03/18/a-note-on-quantum-groupoids/}}</ref> कोई व्यक्ति [[क्वांटम मौलिक समूह|क्वांटम युग्म वर्गीकृत]] को [[2-प्रकार्यक]] के माध्यम से परिभाषित मौलिक वर्गीकृत पर विचार कर सकता है, जो किसी को द्विश्रेणी '''स्पैन (वर्गीकृत)''' के संदर्भ में [[क्वांटम]] [[ मौलिक समूह |मुख्य]] [[क्वांटम डबल ग्रुपॉइड|वर्गीकृत]] (क्यूएफजी) के भौतिक रूप से रोचक स्थिति के बारे में सोचने की अनुमति देता है, और फिर बहुविध और [[सह-बॉर्डिज्म|कोबॉर्डिज्म]] के लिए 2-[[हिल्बर्ट समष्टि]] और 2-[[रेखीय मानचित्रों]] का निर्माण करता है। अगले चरण में, ऐसे [[2-फ़ंक्शन|2-प्रकार्यको]] के [[प्राकृतिक परिवर्तन|प्राकृतिक परिवर्तनों]] के माध्यम से कोनों के साथ [[सह-बॉर्डिज़्म]] प्राप्त होता है। तब एक दावा किया गया था कि, [[गेज समूह]] [[SU(2)]] के साथ, ''विस्तारित [[TQFT]], या ETQFT, [[क्वांटम गुरुत्व]] के [[पोंज़ानो-रेग प्रारूप]] के समतुल्य एक सिद्धांत देता है,''<ref name=Morton09/> इसी तरह, [[तुराएव-विरो प्रारूप]] को [[SU(2)|SU]]<sub>''q''</sub>(2) के [[प्रतिनिधित्व (गणित)|प्रतिनिधित्व]] के साथ प्राप्त किया जाएगा। इसलिए, कोई गेज सिद्धांत की अवस्था समष्टि का वर्णन कर सकता है - या कई प्रकार के [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (क्यूएफटी) और स्थानीय क्वांटम भौतिकी, समरूपता द्वारा दिए गए परिवर्तन समूह के संदर्भ में, उदाहरण के लिए गेज सिद्धांत की स्थिति में, अवस्थाओ पर कार्य करने वाले [[गेज परिवर्तन]], इस स्थिति में, सम्बन्ध हैं। [[क्वांटम समूह|क्वांटम समूहों]] से संबंधित समरूपता की स्थिति में, कोई ऐसी संरचनाएं प्राप्त करेगा जो [[ क्वांटम ग्रुपॉइड |क्वांटम वर्गीकृत]] की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं,<ref name="planetmath" /> 2-[[सदिश समष्टि]] के बजाय जो वर्गीकृत की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं।

==यह भी देखें==
{{Portal|Mathematics}}
{{columns-list|colwidth=20em|
*[[श्रेणी सिद्धांत और संबंधित गणित की समयरेखा]]
*[[उच्च श्रेणी सिद्धांत]]
*[[रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ)|रोनाल्ड ब्राउन
]]
*[[लीइ बीजगणित]]
*[[युग्म वर्गीकृत]]
*[[एनाबेलियन ज्यामिति]]
*[[गैर विनिमेय ज्यामिति]]
*[[श्रेणीबद्ध बीजगणित]]
*[[ग्रोथेंडिक का गैलोज़ सिद्धांत]]
*[[ग्रोथेंडिक सीन विज्ञान]]
*[[सांस्थितिक गतिशीलता]]
*[[प्रतीकात्मक गतिशीलता|श्रेणीबद्ध गतिशीलता]]
*[[क्रॉस्ड मापांक]]
*[[छद्मबीजगणित]]
}}
*क्वांटम भौतिकी में अनुप्रयोग के क्षेत्र,{{columns-list|colwidth=20em|
**[[सांस्थितिक अनुक्रम|क्वांटम बीजगणितीय सांस्थिति]]
**[[क्वांटम ज्यामिति]]
**[[क्वांटम गुरुत्व]]
**[[क्वांटम समूह]]
**[[सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]
**[[स्थानीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]
}}

==टिप्पणियाँ==
{{Reflist}}


==अग्रिम पठन==
*{{cite book
 |first1= R. |last1=Brown |first2=P.J. |last2=Higgins |first3=R. |last3=Sivera
 |title = Nonabelian Algebraic Topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids
 |url=http://groupoids.org.uk/nonab-a-t.html
 |publisher= European Mathematical Society 
 |volume= Tracts Vol 15 |year=2011 
 |isbn=  978-3-03719-083-8 
 |doi = 10.4171/083 
|arxiv=math/0407275 }} ([http://groupoids.org.uk/nonab-a-t.html  Downloadable PDF available])
*{{cite journal
 |first1=R. |last1=Brown |first2=G.H. |last2=Mosa
 |title=Double categories, thin structures and connections
 |journal=[[Theory and Applications of Categories]]
 |volume=5 |pages=163–175 |citeseerx=10.1.1.438.8991
 |year=1999 |url=https://www.emis.de/journals/TAC/volumes/1999/n7/5-07abs.html
}}
*{{Cite book
 |first=R. |last=Brown
 |title=Categorical Structures for Descent and Galois Theory
 |publisher=[[Fields Institute]]
 |year=2002
}}
*{{cite journal
 |first=R. |last=Brown
 |title=From groups to groupoids: a brief survey
 |url=http://groupoids.org.uk/pdffiles/groupoidsurvey.pdf
 |journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]]
 |volume=19 |pages=113–134
 |year=1987
 |doi=10.1112/blms/19.2.113
 |issue=2
|citeseerx=10.1.1.363.1859
 |hdl=10338.dmlcz/140413
 }} This give some of the history of groupoids, namely the origins in work of [[Heinrich Brandt]] on quadratic forms, and an indication of later work up to 1987, with 160 references.
*{{cite web |first=Ronald |last=Brown |title=Higher Dimensional Group Theory |date=2018 |work=groupoids.org.uk |publisher=Bangor University |url=http://groupoids.org.uk/hdaweb2.html}} A web article with many references explaining how the groupoid concept has led to notions of higher-dimensional groupoids, not available in group theory, with applications in homotopy theory and in group cohomology. 
*{{cite journal
 |first1=R. |last1=Brown |first2=P.J. |last2=Higgins 
 |title=On the algebra of cubes
 |journal=[[Journal of Pure and Applied Algebra]]
 |volume=21 |pages=233–260
 |year=1981
 |doi=10.1016/0022-4049(81)90018-9
 |issue=3
|doi-access=free}}
*{{cite book
 |first       = K.C.H.
 |last        = Mackenzie
 |title       = General theory of Lie groupoids and Lie algebroids
 |url         = http://www.shef.ac.uk/~pm1kchm/gt.html
 |publisher   = Cambridge University Press
 |series=London Mathematical Society Lecture Note Series |volume=213
 |year        = 2005 |isbn=978-0-521-49928-6 
 |url-status     = dead
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20050310034123/http://www.shef.ac.uk/~pm1kchm/gt.html
 |archive-date = 2005-03-10
}}
*{{cite book
 |first=R. |last=Brown
 |title=Topology and Groupoids
 |url=http://groupoids.org.uk/topgpds.html
 |publisher=[[Booksurge]]
 |year=2006
 |isbn=  978-1-4196-2722-4
}} Revised and extended edition of a book previously published in 1968 and 1988. E-version available from website. 
*{{cite book
 |first1     = F.
 |last1      = Borceux
 |first2    = G.
 |last2     = Janelidze
 |title     = Galois theories
 |url       = http://www.cup.cam.ac.uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521803090
 |archive-url = https://archive.today/20121223050454/http://www.cup.cam.ac.uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521803090
 |url-status  = dead
 |archive-date = 2012-12-23
 |publisher = Cambridge University Press
 |year      = 2001 |isbn=978-0-521-07041-6 |oclc=1167627177
}} Shows how generalisations of [[Galois theory]] lead to [[Galois groupoids]].
*{{cite journal
 |first1=J. |last1=Baez |first2=J. |last2=Dolan
 |title=Higher-Dimensional Algebra III. ''n''-Categories and the Algebra of Opetopes
 |journal=[[Advances in Mathematics]]
 |volume=135 |page=145–206
 |year=1998
 |doi=10.1006/aima.1997.1695
 |issue=2
|arxiv=q-alg/9702014 |bibcode=1997q.alg.....2014B
 |s2cid=18857286 }}
*{{cite journal
 |first=I.C. |last=Baianu
 |title=Organismic Supercategories: II. On Multistable Systems
 |journal=The Bulletin of Mathematical Biophysics
 |volume=32 
 |year=1970
 |doi=10.1007/BF02476770
 |pmid=4327361
 |issue=4
 |pages=539–61
|url=http://cogprints.org/7752/3/OSIImultist1970.pdf
 }}
*{{cite journal
 |first1=I.C. |last1=Baianu |first2=M. |last2=Marinescu
 |title=On A Functorial Construction of (''M'',&nbsp;''R'')-Systems
 |journal=[[Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées]]
 |volume=19 |pages=388–391
 |year=1974
}}
*{{Cite book
 |first=I.C. |last=Baianu
 |chapter=Computer Models and Automata Theory in Biology and Medicine
 |chapter-url=http://cogprints.org/3687/
 |editor=M. Witten
 |title=Mathematical Models in Medicine
 |volume=7 |pages=1513–77
 |publisher=[[Pergamon Press]]
 |year=1987 |isbn=978-0-08-034692-2 |oclc=939260427 
 |id=CERN ''Preprint'' No. EXT-2004-072. {{ASIN|0080346928|country=ca}} {{ASIN|0080346928|country=ca}}
}}
*{{cite web
 |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/HigherDimensionalHomotopy.html 
 |title=Higher dimensional Homotopy |publisher=PlanetPhysics 
 |url-status=dead 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090813044843/http://planetphysics.org/encyclopedia/HigherDimensionalHomotopy.html 
 |archive-date=2009-08-13 
}}
*{{cite journal |doi=10.1016/0021-8693(90)90130-G| title=Pure Galois theory in categories | year=1990 | last1=Janelidze | first1=George | journal=Journal of Algebra | volume=132 | issue=2 | pages=270–286 }}
*{{cite journal | doi = 10.1007/BF00872989 | volume=1 | title=Galois theory in variable categories | year=1993 | journal=Applied Categorical Structures | pages=103–110 | last1 = Janelidze | first1 = George| s2cid=22258886 }}.

{{DEFAULTSORT:Higher-Dimensional Algebra}}     

[[de:Gruppoid (Kategorientheorie)]]
[[es:Grupoide]]
[[fr:Catégorie groupoïde]]
[[ko:준군]]
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[[pt:Grupóide (teoria das categorias)]]

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[[Category:श्रेणीबद्ध तर्क|Higher-Dimensional Algebra]]