नकार

Negation

NOT
Definition	${\overline {x}}$
Truth table	$(10)$
Logic gate
Normal forms
Disjunctive	${\overline {x}}$
Conjunctive	${\overline {x}}$
Zhegalkin polynomial	$1\oplus x$
Post's lattices
0-preserving	no
1-preserving	no
Monotone	no
Affine	yes

तर्क में, निगेशन (निषेध), जिसे तार्किक पूरक भी कहा जाता है, एक संचालन है जो एक प्रस्ताव $P$ दूसरे प्रस्ताव के लिए ''not $P$'' मे ले जाता है जिसे $\neg P$, ${\mathord {\sim }}P$ या ${\overline {P}}$ मे लिखा जाता है। इसे सहज रूप से true होने के रूप में व्याख्या की जाती है $P$ false है, और false है जब $P$ true है। इस प्रकार निगेशन एक एकात्मक संचालन तार्किक संयोजक है। इसे सामान्य रूप से धारणा (दर्शन), प्रस्ताव, सत्य मान, या सिमेंटिक मानों पर एक संचालन के रूप में प्रयुक्त किया जा सकता है। क्लासिक तर्क में, निगेशन को सामान्य रूप से सत्यमान फलन के साथ पहचाना जाता है जो सत्यमान को असत्यता (और इसके विपरीत) में ले जाता है। अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, ब्रौवर-हेटिंग-कोल्मोगोरोव व्याख्या के अनुसार, एक प्रस्ताव $P$ की उपेक्षा वह प्रस्ताव है जिसके प्रमाण का $P$ खंडन (रेफ्यूशन) है।

परिभाषा

उत्कृष्ट निगेशन एक तार्किक मान पर एक तार्किक संचालन है, सामान्य रूप से एक प्रस्ताव का मान, जो true का मान उत्पन्न करता है जब उसका ऑपरेंड false होता है, और जब उसका ऑपरेंड true होता है तो false का मान होता है। इस प्रकार यदि कथन P true है, तो $\neg P$ (उच्चारण not P ) तब false होगा; और इसके विपरीत, यदि $\neg P$ false है तो P true होगा।

की true तालिका $\neg P$ इस प्रकार है:

$P$	$\neg P$
True	False
False	True

निगेशन को अन्य तार्किक संचालन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $\neg P$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $P\rightarrow \bot$ (जहां $\rightarrow$ तार्किक परिणाम है और $\bot$ false (तर्क) है)। इसके विपरीत परिभाषित किया जा सकता है $\bot$ जैसा $Q\land \neg Q$ किसी प्रस्ताव के लिए Q (जहां $\land$ तार्किक संयोजन है)। यहाँ विचार यह है कि कोई भी विरोधाभास false है, और जबकि ये विचार क्लासिक (शास्रीय) और अंतर्ज्ञानवादी तर्क दोनों में कार्य करते हैं, वे परासंगत तर्क में कार्य नहीं करते हैं, जहाँ विरोधाभास आवश्यक रूप से false नहीं हैं। क्लासिक तर्कशास्त्र में हमें एक अन्य पहचान भी मिलती है, $P\rightarrow Q$ को $\neg P\lor Q$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां $\lor$ तार्किक वियोजन है।

बीजगणितीय रूप से, क्लासिक निगेशन एक बूलियन बीजगणित (संरचना) में पूरक (आदेश सिद्धांत) से अनुरूप है, और एक हेटिंग बीजगणित में छद्म पूरकता के लिए अंतर्ज्ञानवादी निगेशन है। ये बीजगणित क्रमशः क्लासिक और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) प्रदान करते हैं।

संकेत

एक प्रस्ताव की अस्वीकृति p चर्चा के विभिन्न संदर्भों और एप्लीकेशन के क्षेत्रों में अलग-अलग तरीकों से प्रलेखित किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में इनमें से कुछ प्रकार हैं:

संकेत	प्लेनटेक्स्ट	शब्दोच्चारण
$\neg p$	¬p	not p
${\mathord {\sim }}p$	~p	not p
$-p$	-p	not p
Np		En p
$p'$	p'	p prime, p complement
${\overline {p}}$	̅p	p bar, Bar p
$!p$	!p	Bang p Not p

संकेतन एनपी लुकासिविक्ज़ संकेतन है।

समुच्चय सिद्धांत मे, $\setminus$ का उपयोग 'के समुच्चय में not' को इंगित करने के लिए भी किया जाता है: $U\setminus A$ के सभी इकाइयों का समुच्चय U है जो A के भाग नहीं हैं।

तथापि यह कैसे संकेतित या प्रतीकित हो, निगेशन $\neg P$ को ऐसा नहीं कि P, ''not that P'', या सामान्य रूप से अधिक सरल रूप में not P के रूप में पढ़ा जा सकता है।

गुण

द्विक निगेशन

उत्कृष्ट तर्क की एक प्रणाली के अंदर, दोहरा निगेशन, अर्थात, एक प्रस्ताव के निगेशन का निगेशन $P$, तार्किक रूप से समकक्ष है $P$. प्रतीकात्मक शब्दों में $\neg \neg P\equiv P$ व्यक्त किया जाता है। अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, एक प्रस्ताव का तात्पर्य इसके दोहरे निगेशन से है लेकिन इसके विपरीत नहीं है। यह उत्कृष्ट और अंतर्ज्ञानवादी निगेशन के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर को चिन्हित करता है। बीजगणितीय रूप से, क्लासिक निगेशन को दो आवर्तनांक का एक समावेशन (गणित) कहा जाता है।

हालांकि, अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, दुर्बल समानता $\neg \neg \neg P\equiv \neg P$ धारण करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, $\neg P$ के लिए मात्र एक आशुलिपि $P\rightarrow \bot$, हमारे पास $P\rightarrow \neg \neg P$ भी है। त्रिपक्षीय निगेशन के साथ उस अंतिम निहितार्थ की रचना करना $\neg \neg P\rightarrow \bot$ इसका आशय $P\rightarrow \bot$ है।

परिणामस्वरूप, प्रस्ताव के स्थितिमें, एक कथन उत्कृष्ट रूप से सिद्ध होता है, यदि इसकी दोहरी अस्वीकृति अंतर्ज्ञानवादी रूप से सिद्ध होती है। इस परिणाम को ग्लिवेंको प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

वितरण

डी मॉर्गन के नियम तार्किक संयोजन और तार्किक संयोजन पर वितरणात्मक गुण निगेशन का एक तरीका प्रदान करते हैं:

$\neg (P\lor Q)\equiv (\neg P\land \neg Q)$, और

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}$