नकार

For negation in linguistics, see Affirmation and negation. For other uses, see Negation (disambiguation).

Negation

NOT
Venn diagram of Negation
Definition	${\overline {x}}$
Truth table	$(10)$
Logic gate	File:NOT ANSI.svg
Normal forms
Disjunctive	${\overline {x}}$
Conjunctive	${\overline {x}}$
Zhegalkin polynomial	$1\oplus x$
Post's lattices
0-preserving	no
1-preserving	no
Monotone	no
Affine	yes

तर्क में, निषेध, जिसे तार्किक पूरक भी कहा जाता है, एक संक्रिया (गणित) है जो एक प्रस्ताव (गणित) लेता है। $P$ दूसरे प्रस्ताव के लिए नहीं $P$, लिखा हुआ $\neg P$, ${\mathord {\sim }}P$ या ${\overline {P}}$. इसे सहज रूप से सत्य होने के रूप में व्याख्या की जाती है $P$ असत्य है, और असत्य है जब $P$ क्या सच है। इस प्रकार निषेध एक एकात्मक संक्रिया तार्किक संयोजक है। इसे आम तौर पर धारणा (दर्शन), प्रस्तावों, सत्य मूल्यों, या व्याख्या (तर्क) पर एक ऑपरेशन के रूप में लागू किया जा सकता है। शास्त्रीय तर्क में, नकारात्मकता को सामान्य रूप से सत्य कार्य के साथ पहचाना जाता है जो सत्य को असत्यता (और इसके विपरीत) में ले जाता है। अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, ब्रौवर-हेटिंग-कोल्मोगोरोव व्याख्या के अनुसार, एक प्रस्ताव की उपेक्षा $P$ वह प्रस्ताव है जिसके प्रमाण का खंडन है $P$.

परिभाषा

शास्त्रीय निषेध एक तार्किक मूल्य पर एक तार्किक संचालन है, आम तौर पर एक प्रस्ताव का मूल्य, जो सत्य का मान उत्पन्न करता है जब उसका संकार्य गलत होता है, और जब उसका संकार्य सत्य होता है तो असत्य का मान होता है। इस प्रकार यदि कथन P सच है, तो $\neg P$ (उच्चारण नहीं P ) तब गलत होगा; और इसके विपरीत, अगर $\neg P$ असत्य है तो P सच होगा।

की सत्य तालिका $\neg P$ इस प्रकार है:

$P$	$\neg P$
True	False
False	True

निषेध को अन्य तार्किक संक्रियाओं के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $\neg P$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $P\rightarrow \bot$ (कहाँ $\rightarrow$ तार्किक परिणाम है और $\bot$ झूठा (तर्क) है)। इसके विपरीत परिभाषित किया जा सकता है $\bot$ जैसा $Q\land \neg Q$ किसी प्रस्ताव के लिए Q (कहाँ $\land$ तार्किक संयोजन है)। यहाँ विचार यह है कि कोई भी विरोधाभास झूठा है, और जबकि ये विचार शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क दोनों में काम करते हैं, वे परासंगत तर्क में काम नहीं करते हैं, जहाँ विरोधाभास आवश्यक रूप से झूठे नहीं हैं। शास्त्रीय तर्कशास्त्र में हमें एक और पहचान भी मिलती है, $P\rightarrow Q$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\neg P\lor Q$, कहाँ $\lor$ तार्किक वियोजन है।

बीजगणितीय रूप से, शास्त्रीय निषेध एक बूलियन बीजगणित (संरचना) में पूरक (आदेश सिद्धांत) से मेल खाता है, और एक हेटिंग बीजगणित में छद्म पूरकता के लिए अंतर्ज्ञानवादी निषेध। ये बीजगणित क्रमशः शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) प्रदान करते हैं।

नोटेशन

एक प्रस्ताव की अस्वीकृति p चर्चा के विभिन्न संदर्भों और आवेदन के क्षेत्रों में अलग-अलग तरीकों से नोट किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में इनमें से कुछ प्रकार हैं:

Notation	Plain Text	Vocalization
$\neg p$	¬p	Not p
${\mathord {\sim }}p$	~p	Not p
$-p$	-p	Not p
Np		En p
$p'$	p'	p prime, p complement
${\overline {p}}$	̅p	p bar, Bar p
$!p$	!p	Bang p Not p

संकेतन एनपी पोलिश संकेतन है#तर्क के लिए पोलिश संकेतन|लुकासिविज़ संकेतन।

समुच्चय सिद्धांत#मूल अवधारणा और अंकन में, $\setminus$ 'के सेट में नहीं' इंगित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है: $U\setminus A$ के सभी सदस्यों का समुच्चय है U जो इसके सदस्य नहीं हैं A.

भले ही यह कैसे नोट किया गया हो या तर्क प्रतीकों की सूची, निषेध $\neg P$ पढ़ा जा सकता है क्योंकि ऐसा नहीं है P, नहीं कि P, या आमतौर पर अधिक सरल रूप में नहीं P.

गुण

दोहरा निषेध

शास्त्रीय तर्क की एक प्रणाली के भीतर, दोहरा निषेध, अर्थात, एक प्रस्ताव के निषेध का निषेध $P$, तार्किक रूप से समकक्ष है $P$. प्रतीकात्मक शब्दों में व्यक्त, $\neg \neg P\equiv P$. अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, एक प्रस्ताव का तात्पर्य इसके दोहरे निषेध से है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। यह शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी निषेध के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर को चिन्हित करता है। बीजगणितीय रूप से, शास्त्रीय निषेध को अवधि दो का एक समावेशन (गणित) कहा जाता है।

हालांकि, अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, कमजोर समानता $\neg \neg \neg P\equiv \neg P$ धारण करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतर्ज्ञानवादी तर्क में, $\neg P$ के लिए मात्र एक लघुकथा है $P\rightarrow \bot$, और हमारे पास भी है $P\rightarrow \neg \neg P$. ट्रिपल नकार के साथ उस अंतिम निहितार्थ की रचना करना $\neg \neg P\rightarrow \bot$ इसका आशय है $P\rightarrow \bot$ .

नतीजतन, प्रस्ताव के मामले में, एक वाक्य शास्त्रीय रूप से सिद्ध होता है, यदि इसकी दोहरी अस्वीकृति अंतर्ज्ञानवादी रूप से सिद्ध होती है। इस परिणाम को दोहरा-निषेध अनुवाद के रूप में जाना जाता है | ग्लिवेंको का प्रमेय।

वितरणशीलता

डी मॉर्गन के कानून तार्किक संयोजन और तार्किक संयोजन पर वितरणात्मक संपत्ति निषेध का एक तरीका प्रदान करते हैं:

$\mathrm{\neg <!--\; \neg \; -->}(P\vee <!--\; \vee \; -->$