तरंग

This article is about waves in the scientific sense. For waves on seas and lakes, see Wind wave. For other uses, see Wave (disambiguation).

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पानी की लहरें पानी की लहरें पानी के तरंगों को दिखाती हैं

भौतिकी, गणित और संबंधित क्षेत्रों में, तरंग एक या अधिक मात्राओं का गतिशील विक्षोभ (संतुलन से परिवर्तन) है। तरंगें आवर्ती हो सकती हैं, ऐसी स्थिति में वे मात्राएँ संतुलन (बाकी) मान के बारे में किसी आवृत्ति पर बार-बार दोलन करती हैं। जब पूरी तरंग एक दिशा में गमन करती है, तो उसे यात्रा तरंग कहते हैं; इसके विपरीत, विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली आरोपित आवर्ती तरंगों का एक जोड़ा एक स्थायी तरंग बनाता है। एक स्थायी तरंग में, उस स्थिति में कंपन का आयाम शून्य होता है जहां तरंग का आयाम छोटा या शून्य भी प्रतीत होता है। तरंगो को अक्सर एक एकल तरंग समीकरण (दो विपरीत तरंगों के स्थायी तरंग क्षेत्र) या परिभाषित दिशा में फैलने वाली एकल तरंग के लिए एकांगी तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।

चिरसम्मत भौतिकी में, दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक यांत्रिक तरंग में, प्रतिबल और विकृति क्षेत्र यांत्रिक संतुलन के संबंध में में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यम में एक स्थानीय विकृति (तनाव) है जो एक स्थानीय तनाव बनाकर कण से कण तक फैलती है जो निकटवर्ती कणों में तनाव भी पैदा करती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति के रूपांतर हैं जो एक माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतही तरंगें, तार कंपन और भंवर हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, विद्युत चुम्बकीय तरंग (जैसे प्रकाश) में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन इन क्षेत्रों को घेरने वाली तरंग के प्रसार को बनाए रखता है।विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक निर्वात और परावैद्युत माध्यम (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से अवतरण कर सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में रेडियो तरंग, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज तरंग, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार अधिक विशिष्ट पदनाम होते हैं।

अन्य प्रकार की तरंगों में गुरुत्वाकर्षण तरंगें शामिल हैं, जो दिक्काल गड़बड़ी हैं जो सामान्य सापेक्षता गर्मी प्रसार तरंगों के अनुसार फैलती हैं, प्लाज्मा तरंगें जो यांत्रिक विकृतियों को जोड़ती हैं, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रतिक्रिया-प्रसार तरंगें, जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया और कई अन्य। यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ऊर्जा, गति और सूचना को स्थानांतरित करती हैं, लेकिन वे कणों को माध्यम में नहीं ले जाती हैं। गणित और इलेक्ट्रॉनिक्स में तरंगों का अध्ययन संकेतों के रूप में किया जाता है। दूसरी ओर, कुछ तरंगों में ऐसे आवरण होते हैं जो बिल्कुल भी हिलते नहीं हैं जैसे कि अप्रगामी तरंगें (जो संगीत के लिए मूलभूत हैं) और द्रव-चालित अकस्मात वृद्धि। कुछ, क्वांटम यांत्रिकी के संभाव्यता तरंग कार्यों की तरह, पूरी तरह से स्थिर हो सकते हैं।.

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मस्तिष्क कॉर्टेक्स पर विस्तार करने वाली जैविक तरंगों का उदाहरण, विध्रुवण फैलाने का एक उदाहरण।

एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ सीमित क्षेत्र तक ही सीमित रहता है, जिसे उसका कार्यक्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भूकंप से उत्पन्न भूकंपीय तरंगें केवल ग्रह के आंतरिक और सतह पर ही महत्वपूर्ण होती हैं, इसलिए उन्हें इसके बाहर नजरअंदाज किया जा सकता है। हालांकि, अनंत कार्यक्षेत्र वाली तरंगें, जो अंतरिक्ष में फैली हुई हैं, आमतौर पर गणित में अध्ययन की जाती हैं और परिमित कार्यक्षेत्र में भौतिक तरंगों को समझने के लिए बहुत मूल्यवान उपकरण हैं।

समतल तरंग एक महत्वपूर्ण गणितीय आदर्शीकरण है जहां किसी भी (अनंत) समतल के साथ यात्रा की एक विशिष्ट दिशा के लिए अशांति समान होती है। गणितीय रूप से, सरलतम तरंग एक ज्यावक्रीय समतल तरंग है जिसमें किसी भी बिंदु पर क्षेत्र आवृत्ति पर सरल लयबद्ध गति का अनुभव करता है। रैखिक माध्यम में, जटिल तरंगों को आम तौर पर कई ज्यावक्रीय समतल तरंगों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, प्रसार की विभिन्न दिशाओं और/या विभिन्न आवृत्तियों के साथ। एक समतल तरंग को अनुप्रस्थ तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र विक्षोभ को प्रसार की दिशा (ऊर्जा हस्तांतरण की दिशा भी) के लंबवत वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है; या एक अनुदैर्ध्य तरंग यदि वे वैक्टर प्रसार दिशा के साथ संरेखित हों। यांत्रिक तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें शामिल हैं; दूसरी ओर, विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगें सख्ती से अनुप्रस्थ होती हैं जबकि तरल पदार्थ (जैसे वायु) में ध्वनि तरंगें केवल अनुदैर्ध्य हो सकती हैं। प्रसार दिशा के सापेक्ष एक दोलन क्षेत्र की भौतिक दिशा, जिसे तरंग के ध्रुवीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण विशेषता हो सकती है।

गणितीय विवरण

एकल तरंगें

एक तरंग को एक क्षेत्र की तरह वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक फ़ंक्शन $F(x,t)$ के रूप में जहां $x$ एक स्थिति है और $t$ एक समय है।

$x$ का मान अंतराल में एक बिंदु है, विशेष रूप से वह क्षेत्र जिसमें तरंग परिभाषित होती है।गणितीय शब्दों में, यह आमतौर पर कार्तीय त्रि-आयामी अंतराल $\mathbb {R} ^{3}$ में एक वेक्टर होता है। हालांकि, कई मामलों में कोई एक आयाम को अनदेखा कर सकता है, और $x$ को एक कार्टेशियन तल $\mathbb {R} ^{2}$ एक बिंदु के रूप में मान सकता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी कंपन का अध्ययन करते समय। कोई व्यक्ति $x$ कार्टेशियन लाइन $\mathbb {R}$ वास्तविक संख्याओं के समहू पर एक बिंदु तक सीमित कर सकता है। ह मामला है, उदाहरण के लिए, जब वायलिन स्ट्रिंग पर या रिकॉर्डर में कंपन का अध्ययन किया जाता है। दूसरी ओर, समय $t$ को हमेशा एक अदिश राशि अर्थात वास्तविक संख्या माना जाता है।

का मूल्य $F(x,t)$ किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है $x$ यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि $F$ एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य $F(x,t)$ आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है $x$ भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे $x$ कंपन की अनुपस्थिति में। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, $F$ का मान एक विद्युत क्षेत्र वेक्टर $E$, या एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर $H$, या कोई भी संबंधित मात्रा हो सकता है, जैसे कि सूचक वेक्टर $E\times H$। द्रव की गतिशीलता में, मूल्य $F(x,t)$ बिंदु पर द्रव का वेग वेक्टर हो सकता है $x$, या किसी भी अदिश संपत्ति जैसे दबाव, तापमान, या घनत्व। एक रासायनिक प्रतिक्रिया में, $F(x,t)$ बिंदु $x$ के पड़ोस में किसी पदार्थ की सांद्रता प्रतिक्रिया माध्यम हो सकती है।

किसी भी आयाम $d$ (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब $\mathbb {R} ^{d}$ का एक उपसमुच्चय $D$ होता है, ताकि फ़ंक्शन मान $F(x,t)$को $D$ में किसी भी बिंदु $x$ के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है $D$ सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना $\mathbb {R} ^{2}$ मूल में केंद्र के साथ $(0,0)$, और मान लीजिए कि बिंदु $x$ पर $F(x,t)$ सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और $x$ पर समय $t$ है।

तरंग परिवार

कभी-कभी एक विशिष्ट तरंग में रुचि होती है। अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के एक बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है; सभी तरीकों की तरह, ड्रमस्टिक, या हवाई अड्डों के पास हवाई जहाजों से प्राप्त सभी संभावित रडार गूँज से टकराने के बाद ड्रम की त्वचा कंपन करती है।

उनमें से कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन $F(A,B,\ldots ;x,t)$ द्वारा तरंगों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है जो $x$ और $t$ के अलावा कुछ पैरामीटर $A,B,\ldots$ पर निर्भर करता है। फिर कोई अलग-अलग तरंग-कार्य प्राप्त कर सकता है - यानी $x$ और $t$ के विभिन्न कार्य - उनके लिए अलग-अलग मान चुनकर मापदंड।

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एक आधे-खुले पाइप में ध्वनि दबाव खड़ी लहर मौलिक के 7 वें हार्मोनिक खेलते हुए (n = 4)

उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि दबाव जो "शुद्ध" सुर बजा रहा है, आमतौर पर एक स्थायी तरंग होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos <!--\; \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x\frac{2n-<!--\; -\; -->1}{4L}\right)(\cos$