घन फलन

File:Polynomialdeg3.svg

3 वास्तविक मूल के साथ एक घन फलन का लेखाचित्र (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यहाँ फलन f(x) = (x3 + 3x2 − 6x − 8)/4 है।

गणित में, एक घन फलन रूप का एक फलन है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और $a\neq 0$। दूसरे शब्दों में, यह उपाधि (डिग्री) तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।

f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

जिनके हल फलन के मूल (रूट्स) कहलाते हैं।

एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक मूल होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं); सभी विषम-उपाधि बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफाइन रूपांतरण तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।

घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।

इतिहास

Main article: घन समीकरण § इतिहास

महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक

File:Cubic graph special points.svg

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

घन फलन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके स्थिर बिंदु हैं, अर्थात वे बिंदु जहां फलन का ढलान शून्य है। इस प्रकार घन फलन f के महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा परिभाषित किया गया है

f(x) = ax³ + bx² + cx + d,

x के मानों पर होता है जैसे कि व्युत्पन्न

$3ax^{2}+2bx+c=0$

घन फलन का शून्य है।

इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।

$x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.$

वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि b² – 3ac = 0, फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि b² – 3ac < 0, है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर b² – 3ac गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।

किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है। एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है

$x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.$

वर्गीकरण

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प्रपत्र के घन फलन $y=x^{3}+cx.$
किसी भी घन फलन का लेखाचित्र ऐसे वक्र के समान होता है।

घन फलन का लेखाचित्र एक घन वक्र है, यद्यपि कई घन वक्र फलन के लेखाचित्र नहीं हैं।

यद्यपि घन फलन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके लेखाचित्र में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक घन फलन का लेखाचित्र हमेशा प्रपत्र के फलन के लेखाचित्र के समान होता है

$y=x^{3}+px.$

इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (एकरूप शल्‍कन), और, संभवतः, y-अक्ष के संबंध में एक प्रतिबिंब (दर्पण छवि)। एक और गैर-एकरूप शल्‍कन लेखाचित्र को तीन घन फलन में से एक के लेखाचित्र में बदल सकती है

${\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}$

इसका मतलब यह है कि अफाइन रूपांतरण तक घन फलन के केवल तीन लेखाचित्र हैं।

सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।

तब, चर x का परिवर्तन x = x₁ – b/3a प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है

$y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.$

यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।

चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है

$y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.$

चर $\textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}$ का परिवर्तन एक एकरूप शल्‍कन से मेल खाता है, और ${\sqrt {a}},$ द्वारा गुणन के बाद प्रपत्र का एक फलन देता है

$y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},$

जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

फिर, यदि p ≠ 0, गैर-एकरूप शल्‍कन $\textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}$ देता है, $\sqrt{{}^{}}$