संकारक (गणित)

This article is about operators in mathematics. For other uses, see Operator (disambiguation).

Not to be confused with the symbol denoting a mathematical operation or mathematical symbol.

गणित में, ऑपरेटर समान्यतः एक मैपिंग (गणित) या फलन (गणित) होता है जो किसी स्थान (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है ताकि किसी अन्य स्थान के तत्वों का उत्पादन किया जा सके (संभवतः और कभी-कभी एक ही स्थान होने की आवश्यकता होती है)। ऑपरेटर की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है, लेकिन इस शब्द का प्रयोग प्रायः फलन के स्थान पर किया जाता है, जब किसी फलन का डोमेन फलन या अन्य संरचित वस्तुओं का एक सेट होता है। इसके अलावा, एक ऑपरेटर के डोमेन को स्पष्ट रूप से चित्रित करना प्रायः मुश्किल होता है (उदाहरण के लिए एक अभिन्न ऑपरेटर के मामले में), और संबंधित वस्तुओं तक बढ़ाया जा सकता है (एक ऑपरेटर जो कार्यों पर कार्य करता है, अंतर समीकरणों पर भी कार्य कर सकता है जिसका समाधान फलन हैं जो समीकरण को संतुष्ट करता है)। अन्य उदाहरणों के लिए ऑपरेटर (भौतिकी) देखें।

सबसे बुनियादी ऑपरेटर रैखिक मानचित्र हैं, जो वेक्टर रिक्त स्थान पर कार्य करते हैं। रेखीय संचालिकाएँ ऐसे रेखीय मानचित्रों को संदर्भित करती हैं जिनके डोमेन और श्रेणी समान स्थान हैं, उदाहरण के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ को $\mathbb {R} ^{n}$. ऐसे ऑपरेटर अक्सर निरंतर कार्य जैसे गुणों को संरक्षित करते हैं। उदाहरण के लिए, अवकलन (गणित) और अनिश्चित समाकलन रैखिक संकारक हैं; ऑपरेटर जो उनसे निर्मित होते हैं, उन्हें अंतर ऑपरेटर, इंटीग्रल ऑपरेटर या इंटीग्रो-डिफरेंशियल ऑपरेटर कहा जाता है।

ऑपरेटर का उपयोग गणितीय ऑपरेशन के प्रतीक को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। यह कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में ऑपरेटर के अर्थ से संबंधित है, ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) देखें।

रैखिक ऑपरेटर

Main article: Linear operator

सबसे आम प्रकार के ऑपरेटर का सामना रैखिक ऑपरेटरों से होता है। U और V को क्षेत्र (गणित) K पर सदिश समष्टियाँ होने दें। मानचित्र (गणित) A: U → V रैखिक है यदि

$$A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}$$

सभी x, y के लिए U में और सभी के लिए α, β के लिए K में। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक ऑपरेटर वेक्टर स्पेस ऑपरेशंस को संरक्षित करता है, इस अर्थ में कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप जोड़ और स्केलर गुणा के संचालन से पहले या बाद में लीनियर ऑपरेटर को लागू करते हैं या नहीं। अधिक तकनीकी शब्दों में, रैखिक ऑपरेटर वेक्टर रिक्त स्थान के बीच morphisms हैं।

परिमित-आयामी मामले में रैखिक ऑपरेटरों को निम्नलिखित तरीके से मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। होने देना $K$ एक क्षेत्र हो, और $U$ और $V$ परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान बनें $K$. आइए एक आधार चुनें $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ में $U$ और $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ में $V$. तो करने दें $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ में एक मनमाना वेक्टर बनें $U$ (आइंस्टीन सम्मेलन मानते हुए), और $A:U\to V$ एक रैखिक ऑपरेटर बनें। तब

$$A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}.$$

तब $a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K$ ऑपरेटर का मैट्रिक्स है $A$ निश्चित ठिकानों में। $a_{i}^{j}$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है $x$, और $A\mathbf {x} =\mathbf {y}$ अगर $a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}$. इस प्रकार निश्चित आधारों में एन-बाय-एम मेट्रिसेस रैखिक ऑपरेटरों के लिए विशेषण पत्राचार में हैं $U$ को $V$.

परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के बीच ऑपरेटरों से सीधे संबंधित महत्वपूर्ण अवधारणाएं मैट्रिक्स रैंक, निर्धारक, व्युत्क्रम संकारक और egenspace हैं।

रेखीय संचालक भी अनंत-आयामी मामले में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। रैंक और निर्धारक की अवधारणाओं को अनंत-आयामी मैट्रिसेस तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। यही कारण है कि अनंत-आयामी मामले में रैखिक ऑपरेटरों (और सामान्य रूप से ऑपरेटरों) का अध्ययन करते समय बहुत अलग तकनीकें नियोजित होती हैं। अनंत-आयामी मामले में रैखिक ऑपरेटरों के अध्ययन को कार्यात्मक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है (इसलिए कहा जाता है क्योंकि कार्यों के विभिन्न वर्ग अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के दिलचस्प उदाहरण बनाते हैं)।

वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का स्थान, या अधिक सामान्यतः किसी सदिश स्थान में सदिशों के अनुक्रम, स्वयं एक अनंत-आयामी सदिश स्थान बनाते हैं। सबसे महत्वपूर्ण मामले वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम हैं, और ये स्थान, रैखिक उप-स्थानों के साथ, अनुक्रम रिक्त स्थान के रूप में जाने जाते हैं। इन स्थानों पर ऑपरेटरों को अनुक्रम परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

मानक ऑपरेटर मानदंड के संबंध में बानाच अंतरिक्ष पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर एक बानाच बीजगणित बनाते हैं। बनच बीजगणित का सिद्धांत स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) की एक बहुत ही सामान्य अवधारणा विकसित करता है जो ईजेनस्पेस के सिद्धांत को सामान्य रूप से सामान्यीकृत करता है।

बंधे हुए ऑपरेटर

Main articles: Bounded operator, Operator norm, and Banach algebra

U और V को एक ही क्रमित फ़ील्ड पर दो सदिश स्थान होने दें (उदाहरण के लिए, $\mathbb {R}$), और वे मानदंड (गणित) से लैस हैं। तब U से V तक एक रैखिक संकारक को 'परिबद्ध' कहा जाता है यदि वहाँ C > 0 ऐसा मौजूद हो

$$\|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}$$

'यू' में सभी एक्स के लिए।

परिबद्ध संकारक एक सदिश स्थान बनाते हैं। इस सदिश स्थान पर हम एक मानदंड पेश कर सकते हैं जो 'यू' और 'वी' के मानदंडों के अनुकूल है:

$$\|A\|=\inf\{C:\|A\mathbf {x} \|_{V}\leq C\|\mathbf {x} \|_{U}\}.$$

यू से स्वयं के ऑपरेटरों के मामले में यह दिखाया जा सकता है

$$\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|.$$

इस संपत्ति के साथ किसी भी यूनिटल नॉर्म्ड बीजगणित को बनच बीजगणित कहा जाता है। इस तरह के बीजगणितों के लिए वर्णक्रमीय सिद्धांत को सामान्य बनाना संभव है। C*सी * - बीजगणित, जो कि कुछ अतिरिक्त संरचना वाले बनच एल्जेब्रा हैं, क्वांटम यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

उदाहरण

ज्यामिति

Main articles: General linear group and Isometry

ज्यामिति में, सदिश स्थानों पर अतिरिक्त संरचनाओं का कभी-कभी अध्ययन किया जाता है। ऑपरेटर्स जो इस तरह के वेक्टर रिक्त स्थान को खुद को विशेष रूप से मैप करते हैं, इन अध्ययनों में बहुत उपयोगी होते हैं, वे स्वाभाविक रूप से संरचना द्वारा समूह (गणित) बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, सदिश स्थान की संरचना को संरक्षित करने वाले विशेषण संचालिका ठीक उलटा कार्य रैखिक संचालक हैं। वे रचना के तहत सामान्य रेखीय समूह बना�