कम द्रव्यमान

भौतिकी में, न्यूटनी यांत्रिकी की द्वि-पिंड समस्या में में दिखाई देने वाला "प्रभावी" जड़त्वीय द्रव्यमान समानीत द्रव्यमान है। यह एक ऐसी मात्रा है जो द्वि-पिंड समस्या को समाधित करने की स्वीकृति देती है जैसे कि यह एक-पिंड की समस्या थी। हालाँकि, ध्यान दें कि गुरुत्वाकर्षण बल का निर्धारण करने वाला द्रव्यमान कम नहीं होता है। गणना में, द्रव्यमान को समानीत द्रव्यमान से परिवर्तित किया जा सकता है, यदि इसकी क्षतिपूर्ति दूसरे द्रव्यमान को दोनों द्रव्यमानों के योग से करके की जाती है। समानीत द्रव्यमान को प्रायः $\mu$ (परमाणु द्रव्यमान इकाई ) द्वारा निरूपित किया जाता है, हालांकि मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर को भी $\mu$ से निरूपित किया जाता है (जैसा कि कई अन्य भौतिक राशियां हैं)। इसमें द्रव्यमान का आयाम और अन्तर्राष्ट्रीय मात्रक प्रणाली (एसआई) इकाई किलोग्राम है।

समीकरण

दो निकायों को देखते हुए, एक द्रव्यमान m₁ के साथ और दूसरा द्रव्यमान m₂ के साथ, समतुल्य एक-पिंड समस्या, पिंड की स्थिति दूसरे के संबंध में अज्ञात के रूप में, द्रव्यमान के एकल पिंड की है।

$\mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}},\!\,$

जहां इस द्रव्यमान पर बल दो पिंडों के बीच बल द्वारा दिया जाता है।

गुण

समानीत द्रव्यमान सदैव प्रत्येक पिंड के द्रव्यमान से कम या उसके समान होता है:

$\mu \leq m_{1},\quad \mu \leq m_{2}\!\,$

और पारस्परिक योज्य गुण है:

${\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\,\!$

जो पुनर्व्यवस्था द्वारा अनुकूल माध्य के आधे के समतुल्य है।

उस विशेष स्थिति में $m_{1}=m_{2}$:

${\mu }={\frac {m_{1}}{2}}={\frac {m_{2}}{2}}\,\!$

यदि $m_{1}\gg m_{2}$, उसके बाद $\mu \approx m_{2}$

व्युत्पत्ति

समीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी

Main article: न्यूटोनियन यांत्रिकी

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, एक पिंड (कण 2) द्वारा दूसरे पिंड (कण 1) पर लगाया गया बल है:

$\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}$

कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाया गया बल है:

$\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}$

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, कण 2 कण 1 पर जो बल लगाता है वह कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाए गए बल के समान और विपरीत होता है:

$\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

इसलिए:

$m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}\;\;\Rightarrow \;\;\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}$

दो निकायों के बीच सापेक्ष त्वरण a_rel निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}:=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}$

ध्यान दें कि (क्योंकि व्युत्पन्न एक रैखिक संकारक है) सापेक्ष त्वरण $\mathbf {a} _{\rm {rel}}$ दो कणों के बीच पृथक्करण $\mathbf {x} _{\rm {rel}}$ के त्वरण के समान है।

$\mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{1}}{dt^{2}}}-{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2})={\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\rm {rel}}}{dt^{2}}}$