संयोजन वलय

गणित में, एक रचना वलय, में पेश किया गया (Adler 1962), एक क्रमविनिमेय वलय (R, 0, +, -, ·) है, संभवतः एक पहचान 1 के बिना (गैर-इकाई वलय देखें), एक साथ एक ऑपरेशन के साथ

$\circ :R\times R\rightarrow R$

जैसे कि, किन्हीं तीन तत्वों के लिए $f,g,h\in R$ किसी के पास

1. $(f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h)$
2. $(f\cdot g)\circ h=(f\circ h)\cdot (g\circ h)$
3. $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

अमूमन ऐसा नहीं होता है $f\circ g=g\circ f$, और न ही आमतौर पर ऐसा होता है $f\circ (g+h)$ (या $f\circ (g\cdot h)$) से कोई बीजगणितीय संबंध है $f\circ g$ और $f\circ h$.

उदाहरण

कुछ भी नया पेश किए बिना एक कंपोजिशन रिंग में कम्यूटेटिव रिंग R बनाने के कुछ तरीके हैं।

• संरचना द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $f\circ g=0$ सभी के लिए एफ, जी। परिणामी रचना रिंग एक बल्कि निर्बाध है।
• संरचना द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $f\circ g=f$ सभी के लिए एफ, जी। यह स्थिर फलनों के लिए संघटन नियम है।
• यदि R एक बूलियन रिंग है, तो गुणन रचना के रूप में दोगुना हो सकता है: $f\circ g=fg$ सभी के लिए एफ, जी।

R से निर्मित एक अन्य वलय पर एक रचना को परिभाषित करके और अधिक रोचक उदाहरण बनाए जा सकते हैं।

• बहुपद वलय R [X] एक संयोजन वलय है जहाँ $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ सभी के लिए $f,g\in R$.
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला अंगूठी आर[[X]] एक प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी है, लेकिन यह केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब श्रृंखला जी को प्रतिस्थापित किया जा रहा है जिसमें शून्य स्थिर शब्द है (यदि नहीं, तो परिणाम की निरंतर अवधि मनमाना गुणांक के साथ एक अनंत श्रृंखला द्वारा दी जाएगी)। इसलिए, R का उपसमुच्चय[[X]] शून्य स्थिर गुणांक के साथ शक्ति श्रृंखला द्वारा बनाई गई संरचना को बहुपद के समान प्रतिस्थापन नियम द्वारा दी गई संरचना के साथ एक संरचना रिंग में बनाया जा सकता है। चूंकि अशून्य स्थिर श्रृंखला अनुपस्थित हैं, इसलिए इस रचना वलय में गुणक इकाई नहीं है।
• यदि R एक अभिन्न डोमेन है, तो परिमेय कार्यों के क्षेत्र R(X) में भी बहुपदों से व्युत्पन्न एक प्रतिस्थापन संक्रिया होती है: एक अंश g को प्रतिस्थापित करना₁/जी₂ X के लिए डिग्री n के बहुपद में भाजक के साथ एक परिमेय फलन देता है $g_{2}^{n}$, और एक अंश में प्रतिस्थापित करके दिया जाता है

${\frac {f_{1}}{f_{2}}}\circ g={\frac {f_{1}\circ g}{f_{2}\circ g}}.$

हालांकि, औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए, रचना को हमेशा परिभाषित नहीं किया जा सकता है जब सही संकार्य g एक स्थिरांक हो: दिए गए सूत्र में भाजक $f_2\circ <!--\; \circ \; -->$